1,x,x2,…,x"},微分算子DdP上的一个线性变换 证明显然D对P而言是变换 要证明D满足线性变换的条件 J,g∈Pn,k,l∈R2 D(+g)=k(Df)+l(Dg) D是P上的线性变换 2.性质 (1)线性变换把零元素仍变为零元素 (2)负元素的象为原来元素的象的负元素 (3)线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明]线性变换Tkx+by=k1xy+ly (1)T0=T0x)=0x=0 (2)T(x)=(-1)(Tx)=(7x) (3)元素组x12x2…,xm线性相关,即存在一组不全为零的数k1,k2,…,km使 x1=0 7(∑kx)=∑k(Tx)=7()=0 Tx}线性相关 「得证 应该注意,线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的,变换后的情况与元素组和线 性变换有关。若线性变换T将所有的元素组仍变换为线性无关的元素组,则称之为满秩的线性变换 其变换矩阵为满秩矩阵 3.线性变换的运算 (1)恒等变换T。:Vx∈V,Tx=x (2)零变换To:Vx∈,T0x=0 (3)变换的相等:T1、T2是V的两个线性变换,Vx∈,均有Tx=T2x,则称T1=T2 (4)线性变换的和T+T2:Vx∈,(71+72)x=T1x+T (5)线性变换的数乘kT:Vx∈F,()x=k(x)  2 1, , , , n x x x ，微分算子 d D dx = 是 P n 上的一个线性变换。 [证明] 显然 D 对 P n 而言是变换， 要证明 D 满足线性变换的条件 , n   f g P ，k，l 2 R D kf lg k Df l Dg ( ) ( ) ( ) + = +  D 是 P n 上的线性变换。 2. 性质 （1） 线性变换把零元素仍变为零元素 （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素 （3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明] 线性变换 T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) （1）T(0)=T(0x)=0(Tx)=0 （2）T(-x)=(-1)(Tx)=-(Tx) （3）元素组 1 2 , , , m x x x 线性相关，即存在一组不全为零的数 1 2 , , , m k k k 使 1 0 m i i i k x =  = 则 1 1 ( ) ( ) (0) 0 m m i i i i i i T k x k Tx T = =  = = =  Txi 线性相关。 [得证] 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的，变换后的情况与元素组和线 性变换有关。若线性变换 T 将所有的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩的线性变换， 其变换矩阵为满秩矩阵。 3. 线性变换的运算 （1） 恒等变换 T e ： , e   = x V T x x （2） 零变换 T0 ： 0   = x V T x , 0 （3） 变换的相等： T1 、T2 是 V 的两个线性变换，  x V ，均有 T x T x 1 2 = ，则称 T1 ＝T2 （4） 线性变换的和 T1 + T2 ： x V ， 1 2 1 2 ( ) T T x T x Tx + = + （5） 线性变换的数乘 kT ： x V ， ( ) ( ) kT x k Tx =