广=∫+广(证明并解释几何意义) 规定 系设函数∫在区间[A,B]上可积.则对a,b∈[A,B],有 广=∫+ (证) 4.积分关于函数的单调性 Th5设函数/g∈Ra小,且sg,=∫fs[g.(证)(反之确否 积分的基本估计:m(b-a)≤[f≤M(b-a).其中m和M分别为函数∫在区间 [a,b]上的下确界与上确界 5.绝对可积性: Th6设函数∫∈R小,=1/ab,且门1121八(注意a<b) 证以f(x)-1f(x)s(x)-f(x证明∑(fAx≤∑()Ax,。以 f(x)|≤∫(x)≤|∫(x)证明不等式 x为有理数, 该定理之逆不真以例f(x)= x为无理数做说明 6.积分第一中值定理: Th7(积分第一中值定理)∫∈C[a,b,→彐5∈[a,b],使 f=f(5)(b-a) Th8(推广的积分第一中值定理)f,g∈C[a,b],且g不变号,则 3∈a.b,使∫g=)∫g (证) 关于积分中值定理中值点的渐近性质有与微分中值定理类似的结果,其中最基本的可参阅 Bernard Jacobson, On the mean value theorem for integrals. The American Mathematical Monthly,1982.No5.P300-301.在该文中得到如下结果 f∫ is differentiable at a,f'(a)≠0,and aken In Theorem for integral then lim- 变限积分:定义上限函数Φ(x)=[f(d,(以及函数平(x)=[f()dt),其中 函数∫∈R[a,b.指出这是一种新的函数,也叫做面积函数)∫∫∫ += b c c a b a . ( 证明并解释几何意义 ) 规定 = 0 , . ∫ a a ∫∫ −= a b b a 系 设函数 在区间 f BA ] , [ 上可积 . 则对 ∀ ] ,ba ∈ BA , [ , 有 += ∫∫∫ . （ 证 ） b c c a b a 4. 积分关于函数的单调性: Th 5 设函数 ∈ baRgf ],[, , 且 f ≤ g , ⇒ ∫ b a f ≤ ∫ b a g .（ 证 ）(反之确否?) 积分的基本估计: − abm )( ≤ ∫ b a f ≤ − abM )( . 其中 m 和 M 分别为函数 在区间 上的下确界与上确界. f ba ] , [ 5. 绝对可积性: Th 6 设函数 ∈ baRf ],[ , ⇒ ∈ baRf ],[|| , 且 ∫ (注意 b a f || ≥ ∫ b a f .|| < ba .) 证 以 ′ − ′′ ≤ ′ − xfxfxfxf ′′)()(|)(||)(| 证明∑ωi |)(| xf i ≤Δ ∑ i Δ i ω )( xf 。 以 ≤≤− xfxfxf |)(| )( |)(| 证明不等式. 该定理之逆不真. 以例 做说明. ⎩ ⎨ ⎧ − = , 1 . , 1 , )( 为无理数 为有理数 x x xf 6. 积分第一中值定理: Th 7 ( 积分第一中值定理 ) ∈ baCf ],,[ ⇒ ∃ξ ∈ ba ] , [ , 使 = ∫ b a f f ξ )( − ab )( . （ 证 ） Th 8 ( 推广的积分第一中值定理 ) ∈ baCgf ],,[, 且 g 不变号， 则 ξ ∈∃ ba ] , [ , 使 gf = b ∫a f ξ )( ∫ b a g . （ 证 ） 关于积分中值定理中值点的渐近性质有与微分中值定理类似的结果, 其中最基本的可参阅: Bernard Jacobson , On the ｍean value theorem for integrals. The American Mathematical Monthly, 1982. No 5. P300—301 . 在该文中得到如下结果: Th If f is differentiable at a ， ′ af ≠ 0)( ， and is taken in the Theorem for integral ，then c 2 1 lim = − − → x a ac ax . 二. 变限积分: 定义上限函数 ，（以及函数 ），其中 函数 . 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数.） ∫ =Φ x a )()( dttfx ∫ =Ψ b x )()( dttfx ∈ baRf ],[ 107