高等数学B期末考试试卷(A) 2011年7月1日 解:f(x)=xx=∑",x∈(02x),由 Parseval等式,∑ 8(10分)设p是一个实数,分析级数1-11)+、6+…的收敛 2P34P 性,给出详细理由 解:1)p≤0,此时通项不趋于0,级数发散。2)p≥1,由于 (少收敛,而∑ 发散,所以原级数一定发散。3)p=1,级数显然收敛。4)0<p<1,此时,由比值判 别法的极限形式,正项级数∑11 (当n适当大后,级数是正项级数)与级 a(2n)2n-1) 数 a(2n) 具有相同的收敛性,由此推得原级数发散 9.(10分)求微分方程少=y的通解 解:求=x+2x=x2+2x这个 Bernoull方程的通解,即如+2n=-1的通解,这 里u=x-1。显然l=-y是它的一个特解。其通解为u=Cy y 原方程的通解。另一个解法:令=,可以将方程化为变量可分离方程+3) 100)设八()是实数轴上的连续函数,且满足八()=x2+12osx-「(x-(m 求f(x) 解:等价于求定解问题:y+y=21-x,o)=1,y()=0.方程y+y=1有特解 y1=,方程y”+y=-Cx有特解y2 又xSmx,由解的叠加定理,y+1 coSX 特解了=2-4smx其通解为y=Cx+C2smx+2-4 sinx,将定解条件代入,有 C1=0,C2=0。所以原定解问题的解为y xsIn x 第3页,共3页高等数学 B 期末考试试卷（A） 2011 年 7 月 1 日 第 3 页，共 3 页 解：       , 0,2 sin 2 1       x n x nx f x ，由 Parseval 等式， 6 1 2 1 2     n n 。 8.（10 分）设 p 是一个实数，分析级数            p p p n 2n 1 2 1 1 4 1 3 1 2 1 1 的收敛 性，给出详细理由。 解：1） p  0 ，此时通项不趋于 0，级数发散。 2） p 1 ，由于     1 2 1 n p n 收敛，而   1 2 1 1 n n 发散，所以原级数一定发散。3） p 1 ，级数显然收敛。4） 0  p 1 ，此时，由比值判 别法的极限形式，正项级数                1 2 1 1 2 1 n p n n （当 n 适当大后，级数是正项级数）与级 数     1 2 1 n p n 具有相同的收敛性，由此推得原级数发散。 9.（10 分）求微分方程 x y x y dx dy 2 2   的通解。 解：求 x y x y x y x dy dx 2 2 2 2     这个 Bernoulli 方程的通解，即 1 2  u   dy y du 的通解，这 里 1 u  x 。显然 u y 3 1   是它的一个特解。其通解为 u Cy y 3 2 1    ，即 x Cy y 3 1 2 1     为 原方程的通解。另一个解法：令 u  xy ，可以将方程化为变量可分离方程    2 3    x u u u dx du 。 10．（10 分）设 f x 是实数轴上的连续函数，且满足 f x x x x tf tdt x      0 2 cos 2 1 4 1 ， 求 f x。 解：等价于求定解问题：   , 0 0 2 1 , 0 2 1 cos        y y x y y 。方程 2 1 y   y  有特解 2 1 y1  ，方程 2 cos x y   y   有特解 sin , 4 1 2 y   x x 由解的叠加定理， 2 1 cos x y y     有 特解 sin , 4 1 2 1 y   x x  其通解为 sin , 4 1 2 1 y  C1 cosx C2 sin x   x x 将定解条件代入，有 C1  0，C2  0 。所以原定解问题的解为 y xsin x 4 1 2 1  