等数学B期末考试试卷(A) 2011年7月1日 3.(10分)求椭球面+y2+=1和平面2x+2y+2+5=0之间的最短距离 1解:楠球面上点(x,y)处的法向量为(x2y3引,当它与向量(2)平行时,则有 x=2y=2,代入椭球面,有(xy,=)=土1,这两点到已知平面的距离分别是3 和1/3。而它们所相应的切平面为2x+2y+z±4=0,显然已知平面不在这两个平面 之间。所以要求的最短距离为1/3 分)计算二重积分+y+,其中2=(下 y+x+y≤ 2 ∫x+y+lh=Jx+yy=2』(x x2+ysl, x+y20 装订线内不要答题 解: 2F(cos0+sin 0Me/r2adr=412 5(10分)求曲面=+和平面=4所围的有限立体的体积,这里a和b是两个正 实数 解: 16mab-[ de abrar=8ab 6.(10分)求级数∑(-1 的和 3"(n+ S(x)=∑(-1)2n= 1+-x 再积分,又有S(x)=3h(3+x)-3hn3-x,故S()=6h2-3h3-1。 7.(10分)将函数∫(x)=x-x在(0,2丌)内展开成以2丌为周期的 Fourier级数,并求级 数∑的和 第2页,共3页高等数学 B 期末考试试卷（A） 2011 年 7 月 1 日 第 2 页，共 3 页 3.（10 分）求椭球面 1 2 4 2 2 2    z y x 和平面 2x  2y  z 5  0 之间的最短距离。 解：椭球面上点 x, y,z 处的法向量为       2 ,2 , z x y ，当它与向量 2,2,1 平行时，则有 x  2y  z ，代入椭球面，有           ,1 2 1 x, y,z 1, ，这两点到已知平面的距离分别是 3 和 1/3。而它们所相应的切平面为 2x  2y  z  4  0 ，显然已知平面不在这两个平面 之间。所以要求的最短距离为 1/3。 4.（10 分）计算二重积分 x y dxdy    1 ，其中               2 1 , 2 2 x y x y x y 。 解：     3 4 2 2 cos sin 1 2 1 0 2 4 3 4 1 1, 0 2 2 2 2                       d r d r x y dxdy x ydxdy x y dxdy x y x y x y      。 5.（10 分）求曲面 2 2 2 2 b y a x z   和平面 z  4 所围的有限立体的体积，这里 a 和 b 是两个正 实数。 解： a b d abr d r a b dxdy b y a x V dxdy d z a b b y a b x y a x b y a x      16 8 16 2 0 3 2 0 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                          。 6.（10 分）求级数          1 3 1 1 1 n n n n 的和。 解：令              1 1 3 1 1 n n n n n x S x ，则       , 0 0 3 1 1 1 1 1       S n S n n n 。求导，有     1 3 3 1 3 1 1 1 3 1 1            x x x S x n n n n 。 再积分，又有 Sx  3ln3 x3ln 3 x ，故 S1  6ln 23ln 31。 7.（10 分）将函数   2 x f x    在 0,2  内展开成以 2 为周期的 Fourier 级数，并求级 数   1 2 1 n n 的和。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）