aP 若有一=-,则称微分形式Px+Qd是一个恰当微分恰当微分有原函数,(它的 个)原函数为 (x, y)=P(, o dt+oc 或a(xy)-x,1)+P(yM (其中点(x0,y0)∈D,当点(0,0)∈D时,常取(x0,y0)=(0,0).) 验证第一式.Om P(x,yo)+o,(x, t)dt=P(x, o)+P(x,tdt P(x,y0)+P(x,1)==P(x,y)+P(x,y)-P(x,y0)=P(x,y) o(,y) 例6验证式(2x+siny)dhx+ xcos yd是恰当微分,并求其原函数 Ex [1 P382 2.空间曲线上第二型曲线积分与路径无关性 空间单连通、复连通域 Ih28设ΩcR3为空间单连通区域若函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)和R(x,y,z) 在Ω上连续,且有一阶连续的偏导数,则以下四个条件等价 i>对于2内任一按段光滑的封闭曲线L,有P+Qh+R=0 i>对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L,曲线积分 Pdx+Ody+ rdz 与路径无关; ii)Pax+Q小+Rz是Ω内某一函数的全微分; aP a0a0 OR aR aP iv> 在Ω内处处成立 []P398若有 x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ , 则称微分形式 是一个恰当微分. 恰当微分有原函数, ( 它的一 个 ) 原函数为 : + QdyPdx . ∫ ∫ = + x x y y dttxQdtytPyxu 0 0 ),(),(),( 0 或 . ),(),(),( 0 0 = ∫ ∫ 0 + y y x x dtytPdttxQyxu ( 其中点 ) , ( 00 yx ∈D, 当点 ) 0 , 0 ( ∈D 时, 常取 ) , ( = . 00 yx ) 0 , 0 ( ) 验证第一式: ∫ ∫ += += ∂ ∂ y y t y y x dttxPyxPdttxQyxP x u 0 0 ),(),(),(),( 0 0 += =−+= ; = = ),(),(),(|),(),( 0 0 0 0 yxPyxPyxPtxPyxP yt yt yxP ),( yxQ ),( y u = ∂ ∂ . 例 6 验证式 + + cos) sin2 ( ydyxdxyx 是恰当微分, 并求其原函数. Ex [1]P382 3，4，5. 2. 空间曲线上第二型曲线积分与路径无关性: 空间单连通、复连通域. Th 22.8 设Ω ⊂ R 为空间单连通区域 . 若函数 、 和 在Ω 上连续, 且有一阶连续的偏导数 , 则以下四个条件等价: 3 zyxP ),,( zyxQ ),,( zyxR ),,( ⅰ> 对于 内任一按段光滑的封闭曲线 Ω L , 有 ∫ =++ L RdzQdyPdx 0 ; ⅱ> 对于 内任一按段光滑的封闭曲线 Ω L , 曲线积分 ∫ ++ L RdzQdyPdx 与路径无关; ⅲ> + + RdzQdyPdx 是 内某一函数 的全微分 Ω u ; ⅳ> z P x R y R z Q x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ , , 在Ω 内处处成立 . [1]P398 269