其中S的侧与L的方向按右手法则确定 称该公式为 Stokes公式 证先证式正在-小=P,具体证明参阅P ax ay 0 Stokes公式也记为 P Q R=+ Pdx+Ody+Rdz dydz dex dxdy 例5计算积分 (2y+=dx+(x-a)dy +(=xdc 其中L为平面x+y+z=1与各坐标平面的交线,方向为:从平面的上方往下看为 逆时针方向 [P397E §2曲线积分和与路径的无关性 单连通域和复连通域 1.积分与路径无关的等价条件: Ih224设DcR2是单连通闭区域.若函数P和O在闭区域D内连续,且有 连续的一阶偏导数,则以下四个条件等价 i>沿D内任一按段光滑的闭合曲线L,有中Pax+Qhy=0 i)对D内任一按段光滑的曲线L,曲线积分5P2d+Qb与路径无关只与曲线 的起点和终点有关 i)Pax+Qd是D内某一函数L的全微分,即在D内有dh=Pdx+Qdh 在D内每一点处有=2 证)[1P378-379 2.恰当微分的原函数:其中 的侧与 S L 的方向按右手法则确定 . 称该公式为 Stokes 公式 . 证 先证式 ∫∫ ∫∫ ∫ = ∂ ∂ − ∂ ∂ S S dxdy Pdx y P dzdx z P L . 具体证明参阅[1]P395—396. Stokes 公式也记为 ∫∫ ∫ ++= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ S L RdzQdyPdx dxdydzdxdydz RQP zyx . 例 5 计算积分 ∫ −+−++ L )()()2( dzxydyzxdxzy , 其中 L 为平面 + + zyx = 1与各坐标平面的交线, 方向为: 从平面的上方往下看为 逆时针方向. [1]P397 E2 § 2 曲线积分和与路径的无关性: 单连通域和复连通域. 1. 积分与路径无关的等价条件: Th22.4 设 D ⊂ R 是单连通闭区域. 若函数 和 在闭区域 D 内连续, 且有 2 P Q 连续的一阶偏导数 , 则以下四个条件等价 : ⅰ> 沿 D 内任一按段光滑的闭合曲线 L, 有 ∫ =+ L QdyPdx 0 . ⅱ> 对 D 内任一按段光滑的曲线 L, 曲线积分 ∫ + L QdyPdx 与路径无关, 只与曲线 L 的起点和终点有关. ⅲ> + QdyPdx 是 D 内某一函数 的全微分 u , 即在 D 内有 du = + QdyPdx . ⅳ> 在 D 内每一点处有 x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ . ( 证 ) [1]P378—379 . 2. 恰当微分的原函数: 268