aP a0 aR 的充要条件是一++ 0在V内处处成立 乐 Pcos(n, x)+ Ocos(n,y)+Rcom2)S=乐Pad+d+Rhd )由Gass公式直接得到 →)反设不然,即存在点M(x1y:)e,使(+2+E)≠0 不妨设其>0.由一++ ax ay az 在点M连续,存在以点M为中心且在V内的小球 I,使在其内有++->0.以∑表示小球"的表面外侧,就有 任 P aR 与乐=0矛盾 Ex[jP399-4001 二. Stokes公式 空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L正向的匹配关系:右手螺旋法则,即当人站 在曲面的正侧上,沿边界曲线L行走时,若曲面在左侧,则把人的前进方向定为L的正向 1. Stokes定理: Th227设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线.若函数P(x,y,z) Q(x,y,=)和R(x,y,)在S(连同L止上连续,且有一阶连续的偏导数,则 R aP aR d dzdx+og_aP dy=A Pdx+Ody+Rdz az ax ax a的充要条件是 = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z R y Q x P 在 V 内处处成立. 证 [ ] ∫∫ ∫∫ + + = ++ S S ),cos(),cos(),cos( dSznRynQxnP Pdydz Qdzdx Rdxdy . ⇐) 由 Gauss 公式直接得到 . ⇒) 反设不然 , 即存在点 zyxM 0000 ),,( ∈V, 使( ) 0| 0 ≠ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ M z R y Q x P , 不妨设其 > 0. 由 z R y Q x P ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 在点 连续 M0 , 存在以点 为中心且在 M0 V 内的小球 V ′ , 使在其内有 z R y Q x P ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ > 0. 以 表示小球 Σ V ′ 的表面外侧, 就有 ∫∫∫∫∫ ′ Σ > ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = V dxdydz z R y Q x P 0 , 与 ∫∫Σ = 0 矛盾. Ex [1]P399—400 1 . 二. Stokes 公式: 空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线 L 正向的匹配关系: 右手螺旋法则, 即当人站 在曲面的正侧上, 沿边界曲线 L 行走时, 若曲面在左侧, 则把人的前进方向定为 L 的正向. 1. Stokes 定理: Th22.7 设光滑曲面 的边界L是按段光滑的连续曲线 . 若函数 、 和 在 ( 连同L S zyxP ),,( zyxQ ),,( zyxR ),,( S )上连续 ,且有一阶连续的偏导数 , 则 ∫∫ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ S dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ∫ ++ L RdzQdyPdx . 267