由Gm公式-M在=3R=42 例2计算积分乐yx-)+x2dd+(y2+x)db,其中S是边长为 a的正方体V的表面取外侧v:0≤x≤a,0≤y≤a,0≤2≤a.[1P394E1 解应用 Gauss公式,有 练--0…+p的 ∫y+x)b小+x)=q+ap= 000 例3计算积分xd+ydax+a,∑为锥面z=√x2+y2在平面 z=4下方的部分,取外法线方向 解设S为圆z=4,x2+y2≤16取上侧,则Σ+S构成由其所围锥体v的表面 外侧,由Gass公式,有 xdydz ydedx +=dxdy 64 add=3×锥体v的体积=3y=64 而 xdydz+ ydzdx+eddy=4 dxdy=64T x2+y2≤1 因而,∫=-∫=0 例4设V是三维空间的区域,其内任何封闭曲面都可不通过v外的点连续收缩 为F上的一点.又设函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)和R(x,y,z)在V上有连续的偏导数.S 表示V内任一不自交的光滑封闭曲面,n是S的外法线试证明:对V内任意曲面S恒有 f[cos(n, x)+@cos(n, y)+Rcos(n, =)Is=0由 Gauss 公式 ∫∫ ∫∫∫ Σ = =⋅= V dxdydz RR3 3 4 3 4 33 ππ . 例 2 计算积分 ∫∫ +++− S )( )( dxdyxzydzdxxdydzzxy 2 2 ，其中 是边长为 S a 的正方体 V 的表面取外侧. V : ≤≤ ≤ ≤ 0 , 0 , 0 ≤ ≤ azayax . [1]P394 E1 解 应用 Gauss 公式 , 有 ( ) ∫∫∫∫∫ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +− ∂ ∂ = V S dxdydzxzy z x y zxy x )( )( 2 2 ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = +=+ V aaa a dxdydzxy adyaayadxxydydz 000 0 2 4 2 1 )( )( . 例3 计算积分 ∫∫ ， Σ xdydz ydzdx ++ zdxdy Σ 为锥面 22 += yxz 在平面 z = 4下方的部分，取外法线方向 . 解 设 为圆 S , 4 16取上侧 , 则 22 yxz ≤+= Σ + S 构成由其所围锥体 V 的表面 外侧 , 由 Gauss 公式 , 有 ∫∫ +Σ =++ S xdydz ydzdx zdxdy =3∫∫∫dxdydz 3×= 锥体 V 的体积 V 64ππ 3 64 3 =⋅= ; 而 ∫∫ ∫∫ ≤+ =++ = S yx xdydz ydzdx zdxdy dxdy 16 22 4 64π 因而, 0 ∫∫∫∫∫∫ =−= +ΣΣ SS . 例4 设 V 是三维空间的区域, 其内任何封闭曲面都可不通过 V 外的点连续收缩 为 V 上的一点. 又设函数 、 和 在 zyxP ),,( zyxQ ),,( zyxR ),,( V 上有连续的偏导数. S 表示 V 内任一不自交的光滑封闭曲面, n 是 的外法线 S . 试证明: 对 V 内任意曲面 恒有 S [ ] ∫∫ + + = S dSznRynQxnP 0),cos(),cos(),cos( 266