8、平面波方法评论 评论:平面波方法的特点? ·二阶当然不够,完各的平面波函敷集是无限 的,前面行列式的阶数是无限的!? 校好的解析形式傅立叶展开系数基本都可 设问:取多少平面波才是合适的? 以解析表达矩阵元) 由势场傅立叶分量的大小决定 理论上可以无限制地改善基函数集的完备性 V(K大 v(K)较小,因此 使解收敛 基函数是非局城的,不依赖于原子位置—有 设问:什么情况下,可以只需较少平面波? 好处也有坏处—视所描写的晶体电子的性质 假如势是常数,一个就够了,即自由电子情况 定 所以,势能变化平缓,所需平面波较少 ·戳断:动能小于某个值的所有平面波 平面波的个数决定了久其方程的维数 5xB如(k+K)2<E断 体理学 评论:平面波方法的困难? 9、赝势方法( pseudopotential) ·收做很慢:在靠近原子核区城,电子有很大的 的能谱可以明显地区分;一般芯态 在深能级区城构成非常狭窄的,几乎没有色 动量;而在原离原子核区城,动量较小 来开都体波透数的平面凌基动数需要很多1 化学环境对芯态只有很小的影响,使芯态能带 位置有些微移动 比如A晶体,估计用上101个平面波,仅能保 ·国体电子性质主要是由 Fermi能级附近的电子 证1s态收斂,而癔兴趣的是3态和3态 决定的! 没有用平面波和真正的全电子势来作实际计算 计入芯态的全电子势方法代价:能带敷量增 加;收斂很慢;总能量 对精度低 ·理想的选择—只计入价态 何实现? 们45.24132che回体学 趣452413 binche体理学 赝势方法的思路 晶体赝势的导出 ·不考虑芯态,只考虑价态有可能只需要用少量 ·假定晶体芯态、价态都是已知的 的平面波 H +c=Eclds) ·但问题是,这样得到的价态是否真正的价态? H|or)=E,lor) 真正的价态波函数应与芯态正交,在芯区变化 要修改势,但从波函数着手 很大。用平面波展开这种波函敷,也很困难 正的价态波函敷与芯态正交,在芯区附近报 考虑到,价态波函数在芯区以外很平滑,同 变化很大 时,我们只关心芯区外的性质→ ·这意味着,如果用平面波去辰开价态波函数 ·赝波函数:芯区外与价态波函数相同,芯区内 也需要很多平面波 变得平滑 构造质波函敷,芯区以外保留价态成分,但在 芯区去抖芯态成分而使波函数平滑 种的45.24132he园你物学 加42412j 4")=| 66 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 31 8、平面波方法评论 • 二阶当然不够，完备的平面波函数集是无限 的，前面行列式的阶数是无限的！？ • 设问：取多少平面波才是合适的？ • 由势场傅立叶分量的大小决定 * K小时，V(K)较大，K大时， V(K)较小，因此，一 定K以后，V(K)小到可以忽略 • 设问：什么情况下，可以只需较少平面波？ • 假如势是常数，一个就够了，即自由电子情况 * 所以，势能变化平缓，所需平面波较少 • 截断：动能小于某个值的所有平面波 * 平面波的个数决定了久其方程的维数 + < E 截断 2 (k K ) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 32 评论：平面波方法的特点？ • 较好的解析形式——傅立叶展开系数基本都可 以解析表达(矩阵元) • 理论上可以无限制地改善基函数集的完备性— —使解收敛 • 基函数是非局域的，不依赖于原子位置——有 好处也有坏处——视所描写的晶体电子的性质 而定 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 33 评论：平面波方法的困难？ • 收敛很慢：在靠近原子核区域，电子有很大的 动量；而在原离原子核区域，动量较小 * 因此，即需要小的也需要大的动量的平面波。即用 来展开晶体波函数的平面波基函数需要很多！ • 比如Al晶体，估计用上1016个平面波，仅能保 证1s态收敛，而感兴趣的是3s态和3p态 • 没有用平面波和真正的全电子势来作实际计算 的 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 34 9、赝势方法（pseudopotential） • 芯态和价态的能谱可以明显地区分：一般芯态 在深能级区域构成非常狭窄的，几乎没有色散 的能带 • 化学环境对芯态只有很小的影响，使芯态能带 位置有些微移动 • 固体电子性质主要是由Fermi能级附近的电子 决定的！ • 计入芯态的全电子势方法代价：能带数量增 加；收敛很慢；总能量计算相对精度低 • 理想的选择——只计入价态 • 如何实现？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 35 赝势方法的思路 • 不考虑芯态，只考虑价态有可能只需要用少量 的平面波 • 但问题是，这样得到的价态是否真正的价态？ • 真正的价态波函数应与芯态正交，在芯区变化 很大。用平面波展开这种波函数，也很困难 • 考虑到，价态波函数在芯区以外很平滑，同 时，我们只关心芯区外的性质Æ • 赝波函数：芯区外与价态波函数相同，芯区内 变得平滑 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 36 晶体赝势的导出 • 要修改势，但从波函数着手 • 真正的价态波函数与芯态正交，在芯区附近振 荡——变化很大 • 这意味着，如果用平面波去展开价态波函数， 也需要很多平面波 • 构造赝波函数，芯区以外保留价态成分，但在 芯区去掉芯态成分而使波函数平滑 H φ C = E C φ C ˆ • 和 H φ V = EV φ V ˆ • 假定晶体芯态、价态都是已知的 C C φ = φ V − ∑ μ CV φ ps