第四章导数的应用 6 f(4(x)=,f((x) f(x)=x3hx在点x=1带有皮亚诺余项的三阶台劳公式为 f(x)=x3hx=(x-1)+3(x-1)2+2(x-1)3+o(x-1)3 f(x)=x3hx在点x=1带有拉格朗日余项的三阶台劳公式为 f(x)=xhnx=(x-+2(x-011(x2的 16 (2)求f(x)=x3hx在点x=0的2阶台劳公式 ∫(x)=x3hnx,f(0)=0 f(x)=3x In x+x',f(0=0 f"(x)=6xnx+5x,f"(0)=0 ∫"(x)=6hx+11,r"(0)=11 该函数在0点的1阶台劳公式 f(x)=x3hnx=f(0)+f(0)·x+f"(2)x2 该函数在0点,只能写出带皮亚诺余项的2阶台劳公式 f(x=xIn x f(0)+f(0)·x+f"(0)-x2+o(x2)=0(x2) 试研究:f(x)=x3-x2+1,在点x0=0的阶台劳公式 4-4-2台劳公式的应用 下面举例说明台劳公式在近似计算和求不定型极限方面的应用 例2:求函数f(x)=sn2x的5阶台劳多项式,并用其作为(sn)2 的近似 解:f(x)=sn2x,f(0)=0 f(x)=sn 2x, f(0)=0 f∫"(x)=2cos2x,f∫"O0)=2 f"(x)=-4sn2x,f"(O0)=0 f((x)=-8cos2x,f(+0) f((x)=16sin2x,f(°(0)=0 所以函数f(x)=sn2x的5阶台劳多项式为 P5(x)==x2-x=x2-x 23244848 例3:用台劳公式求极限lm (2-D)tan x 第四章导数的应用第四章 导数的应用 第四章 导数的应用   6 , ( ) 6 ( ) (4) (4) f x = f x = f (x) x ln x 3 = 在点 x =1 带有皮亚诺余项的三阶台劳公式为: 3 2 3 3 ( 1) ( 1) 3! 11 ( 1) 2! 5 f (x) =x ln x = (x −1) + x − + x − +o x − f (x) x ln x 3 = 在点 x =1 带有拉格朗日余项的三阶台劳公式为 3 2 3 4 ( 1) 6 4! 1 ( 1) 3! 11 ( 1) 2! 5 f (x) =x ln x = (x −1) + x − + x − + x −  (2) 求 f (x) x ln x 3 = 在点 x = 0 的 2 阶台劳公式. ( ) ln , (0) 0 3 f x =x x f = ( ) 3 ln , (0) 0 2 2 f  x = x x +x f  = f (x) = 6x ln x + 5x, f (0) = 0 f (x) = 6 ln x +11, f (0) =11 该函数在 0 点的 1 阶台劳公式: f (x) x ln x 3 = = 2 ( ) 2! 1 f (0) + f (0) x + f   x = 2 (6ln 5) 2  + x  该函数在 0 点,只能写出带皮亚诺余项的 2 阶台劳公式: f (x) x ln x 3 = = (0) ( ) ( ) 2! 1 (0) (0) 2 2 2 f + f   x + f  x +o x = o x 试研究： ( ) 1 3 2 f x = x − x + , 在点 x0 = 0 的阶台劳公式。 4-4-2 台劳公式的应用 下面举例说明台劳公式在近似计算和求不定型极限方面的应用. 例 2: 求函数 f x x 2 ( ) = sin 的 5 阶台劳多项式,并用其作为 2 ) 2 1 (sin 的近似. 解: ( ) sin , (0) 0 2 f x = x f = ( ) sin 2 , (0) 0 ' f  x = x f = f (x) = 2 cos 2x, f (0) = 2 f (x) = −4sin 2x, f (0) = 0 ( ) 8cos 2 , (0) 8 (4) (4) f x = − x f = − ( ) 16sin 2 , (0) 0 (5) (5) f x = x f = 所以函数 f x x 2 ( ) = sin 的 5 阶台劳多项式为 2 4 2 4 5 3 1 4! 8 2! 2 P (x) = x − x = x − x 2 ) 2 1 (sin  48 11 48 1 4 1 ) 2 1 ( 3 1 ) 2 1 ( 2 4 − = − = 例3:用台劳公式求极限 x x x e x x x (2 1) tan 1 1 ( 1) lim 3 2 0 − + − − − →