523能态密度 求解孤立原子的薛定谔方程,可得到描写孤 立原子中电子运动状态的波函数,及一系列分立 的能量本征值,并可通过标明各能级的能量,来 说明它们的分布情况。当孤立原子形成晶体时, 晶体内电子的能态是非常密集的,能级间的差很 小,形成准连续的分布,在这种情况下,讨论单 能级是没有意义的。为了说明固体中电子能态 的分布情况,通常引入能态密度的概念:单位能 量间隔内的电子状态数量 图54k空间中的单电子许可态,图中仅画 如果能量在E~E+dE内的状态的数量为 出k平面上的一部分,每个点占据的体积为 △N,则能态密度的定义是 (2n几)3 D(E)=lim△_aN (535) →0AEdE 由于能量E是波矢k的函数(式520),所以E~E+dE之间的状态数△N就应等于 k空间中对应于E与E+dE两等能面间的壳层内允许的状态代表点数。再考虑每个状态 代表点可容纳自旋相反的两个电子,那么 △N=24(2m+(E~E+dE壳层内k空间的体积 (5.36) 在自由电子近似下,k空间的等能面是一个球面,则半径为k的球体内电子的状态 数为: 24 2 因此,自由电子的能态密度为 D(E)=d(E)=v(2m)E/2=CE/ (5.38) 式中C=n(2) 2丌2h 定义单位体积电子的能态密度g(E)为 图55自由电子气的能态密 8(E)=DE)1 度和能量的关系 E h (539) 单位体积材料中自由电子的能态密度g(E)随E的变化关系见图5.5。由图55可知,5.2.3 能态密度 求解孤立原子的薛定谔方程，可得到描写孤 立原子中电子运动状态的波函数，及一系列分立 的能量本征值，并可通过标明各能级的能量，来 说明它们的分布情况。当孤立原子形成晶体时， 晶体内电子的能态是非常密集的，能级间的差很 小，形成准连续的分布，在这种情况下，讨论单 个能级是没有意义的。为了说明固体中电子能态 的分布情况，通常引入能态密度的概念：单位能 量间隔内的电子状态数量。 图 5.4 k空间中的单电子许可态，图中仅画 出kykx平面上的一部分，每个点占据的体积为 （2π/L）3 如果能量在 E～E+dE 内的状态的数量为 ΔN，则能态密度的定义是： dE dN E N ED E = Δ Δ = →Δ 0 lim)( （5.35） 由于能量 E 是波矢 k 的函数（式 5.20），所以 E～E+dE 之间的状态数ΔN 就应等于 k 空间中对应于 E 与 E+dE 两等能面间的壳层内允许的状态代表点数。再考虑每个状态 代表点可容纳自旋相反的两个电子，那么 E V N ( )2( 2 3 ××=Δ π ～ + 壳层内kdEE 空间的体积) (5.36) 在自由电子近似下，k 空间的等能面是一个球面，则半径为 k 的球体内电子的状态 数为： 2/3 22 3 3 ) 2 ( 33 4 )2( 2 )( h V Em k V EN e π π π =×= (5.37) 因此，自由电子的能态密度为： 2/12/3 2/1 22 ) 2 ( 2 )( )( CEE V m dE EdN ED e == = π h （5.38） 式中 2/3 22 ) 2 ( 2 h V me C π = 定义单位体积电子的能态密度 g（E）为： 图 5.5 自由电子气的能态密 2 1 2 3 22 2 2 1)( )( E me V ED Eg ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ == π h ∝ 2 1 E (5.39) 度和能量的关系 单位体积材料中自由电子的能态密度 g(E)随 E 的变化关系见图 5.5。由图 5.5 可知， 9