(7)y(x)=1 y"(x)= >0,曲线没有拐点 +x 函数的保凸区间:(-1,+∞)下凸 (8)y(x) 1,y"(x)= 阶导数有零点x=0,根据二阶 导数的符号,可知点(0,0)是曲线的拐点; 函数的保凸区间:(-∞,0下凸,[0,+∞)上凸。 (9)y"x)=12(x+1)2+e2>0,曲线没有拐点; 函数的保凸区间:(-∞,+∞)下凸。 2 2-2x2 (10)y(x) (x) ,二阶导数有零点x=±1,根据二阶 1+x (1+x2)2 导数的符号,可知点(土1,n2)是曲线的拐点 函数的保凸区间:(-∞,-1和[,+∞)上凸,[-1下凸。 (11)y(x)=e 1+x2,"x)=em1-2x (1+r)2,二阶导数有零点x2 根据二阶导数的符号,可知点,已是曲线的拐点 函数的保凸区间:(=21下凸,+)上凸 (12)y(x)=1+ 2√xy(x)=-1 0,曲线没有拐点 4(x-1) 函数的保凸区间:[+∞)上凸。 3.设∫(x)在x。处二阶可导,证明:f(x)在x处取到极大值(极小值) 的必要条件是f(x)=0且f(x)≤0(f"(x)≥0)。 证先设f(x)在x0处取到极大值,则由于f(x)在x处可导,所以 f(x)=0。若f"(x)>0,则由（7） 2 1 1 '( ) 1 , ''( ) 0 1 (1 ) y x y x x x = − = > + + ，曲线没有拐点； 函数的保凸区间：(−1,+∞)下凸。 （8） 2 1 '( ) 1, ''( ) 1 ( 2 2 2 1 ) x y x y x x x = − = − + + ，二阶导数有零点 x = 0，根据二阶 导数的符号，可知点(0,0)是曲线的拐点； 函数的保凸区间：(−∞,0]下凸, [0,+∞)上凸。 （9） y x ''( ) = + 12(x 1) 2 + ex > 0，曲线没有拐点； 函数的保凸区间：(−∞,+∞) 下凸。 （10） 2 2 2 2 '( ) , ''( ) 1 (1 2 2 2 ) x x y x y x x x − = = + + ，二阶导数有零点 x = ±1，根据二阶 导数的符号，可知点( 1± ,ln 2)是曲线的拐点； 函数的保凸区间：(−∞,−1]和[1,+∞)上凸, [−1,1]下凸。 （11） arctan arctan 2 1 '( ) , ''( ) 1 ( x x 2 2 1 2 1 ) x y x e y x e x x − = = + + ，二阶导数有零点 1 2 x = ， 根据二阶导数的符号，可知点 1 arctan 2 1 , 2 e ⎛ ⎞ ⎜ ⎝ ⎠⎟ 是曲线的拐点； 函数的保凸区间： ] 2 1 (−∞, 下凸, , ) 2 1 [ +∞ 上凸。 （12） 3 2 1 1 '( ) 1 , ''( ) 0 2 1 4( 1) y x y x x x = + = − < − − ，曲线没有拐点； 函数的保凸区间：[1,+∞)上凸。 ⒊ 设 在 处二阶可导，证明：f x 在 处取到极大值（极小值） 的必要条件是 f x( ) x0 ( ) x0 f ′(x0 ) = 0 且 f ′′(x0 ) ≤ 0（ f ′′(x0 ) ≥ 0）。 证 先设 f x 在 处取到极大值，则由于 在 处可导，所以 。若 ( ) x0 f x( ) x0 f ′(x0 ) = 0 0 f x ′′( ) > 0，则由 140