张余辉:单生过程的研究进展 其中mn由(2.3)定义 这个结果先由文献6用概率方法给出,而后,文献②20]用分析方法证明.对于吸收边界情形的 非爆炸,参见文献[23,27]、对于带移民情形,参见文献阝3 文献[16证明了mn=EnTn+1,R=E0r,其中mn为状态n的首次击中时,ra:=imn→sTn (极限以概率1存在),故τ可看作∞的首次击中时.注意由单生的向上非跨跳性,T∞几乎处处等于 过程的飞跃时(生命时) 对生灭Q矩阵(a1,b),(2.3)有简单的形式 0.n],n≥0, 其中 40=1,p bb…0-,i≥1,成对=∑ a1a 3常返性、回返(灭绝)概率和平均占位时 对于连续时间情形,可以证明p:(t)>0(t≥0),p(t)关于t在(0,∞)上恒为正或恒为零.因而 不存在周期问题.另外,(P(1)不可约等价于Q=(q)不可约 给定过程P(t)=(P(t)若对一切h>0,离散链P(h)常返,等价地,J。p(t)t=∞,则称该过 程P(t)为常返的 对于嵌入链(I1) 1(1-6)当+1(=05 与最小过程有如下关系(参见文献[48]): 定理31给定全稳定保守Q矩阵Q=(q),则 I 特别地如果Q是不可约且正则的,则相应的Q过程P(t)常返当且仅当嵌入链常返 关于一般Q过程常返性的判别有如下引理(参见文献[5引理451) 定理32给定正则不可约Q矩阵Q=(q),则相应的Q过程常返当且仅当方程 0≤x≤1 对某个(等价地,对所有)固定的j只有平凡解,或者说最大解为零解.等价地,方程 lij 对某个(等价地,对所有)固定的jo的非平凡解无界 对嵌入链(1)而言,定义a为其(首次)回返时,fo:=P(<∞),则(fn:i∈E)是下列 方程的最小非负解 ∏1kxk+Ili,i≥0, k≠jo 624张余辉: 单生过程的研究进展 其中 mn 由 (2.3) 定义. 这个结果先由文献 [16] 用概率方法给出, 而后, 文献 [20] 用分析方法证明. 对于吸收边界情形的 非爆炸, 参见文献 [23, 27]. 对于带移民情形, 参见文献 [34]. 文献 [16] 证明了 mn = Enτn+1, R = E0τ∞, 其中 τn 为状态 n 的首次击中时, τ∞ := limn→∞ τn (极限以概率 1 存在), 故 τ∞ 可看作 ∞ 的首次击中时. 注意由单生的向上非跨跳性, τ∞ 几乎处处等于 过程的飞跃时 (生命时). 对生灭 Q 矩阵 (ai , bi), (2.3) 有简单的形式: mn = 1 µnbn µ[0, n], n > 0, 其中 µ0 = 1, µi = b0b1 · · · bi−1 a1a2 · · · ai , i > 1, µ[i, k] = ∑ k j=i µj . 3 常返性、回返 (灭绝) 概率和平均占位时 对于连续时间情形, 可以证明 pii(t) > 0 (t > 0), pij (t) 关于 t 在 (0, ∞) 上恒为正或恒为零. 因而 不存在周期问题. 另外, (pij (t)) 不可约等价于 Q = (qij ) 不可约. 给定过程 P(t) = (pij (t)). 若对一切 h > 0, 离散链 P(h) 常返, 等价地, ∫ ∞ 0 pii(t)dt = ∞, 则称该过 程 P(t) 为常返的. 对于嵌入链 (Πij ): Πij = 1{qi̸=0}(1 − δij ) qij qi + 1{qi=0}δij , 与最小过程有如下关系 (参见文献 [48]): 定理 3.1 给定全稳定保守 Q 矩阵 Q = (qij ), 则 ∫ ∞ 0 p min ij (t)dt = ∑∞ n=0 Π (n) ij qj . 特别地, 如果 Q 是不可约且正则的, 则相应的 Q 过程 P(t) 常返当且仅当嵌入链常返. 关于一般 Q 过程常返性的判别有如下引理 (参见文献 [5, 引理 4.51]). 定理 3.2 给定正则不可约 Q 矩阵 Q = (qij ), 则相应的 Q 过程常返当且仅当方程 xi = ∑ j̸=j0,i qij qi xj , 0 6 xi 6 1, i > 0 对某个 (等价地, 对所有) 固定的 j0 只有平凡解, 或者说最大解为零解. 等价地, 方程 xi = ∑ j̸=j0,i qij qi xj , xi > 0, i > 0 (3.1) 对某个 (等价地, 对所有) 固定的 j0 的非平凡解无界. 对嵌入链 (Πij ) 而言, 定义 σj0 为其 (首次) 回返时, fij0 := Pi(σj0 < ∞), 则 (fij0 : i ∈ E) 是下列 方程的最小非负解: xi = ∑ k̸=j0 Πikxk + Πij0 , i > 0, 624