中国科学:数学2019年第49卷第3期:621~642 《中国科学》杂志社 SCIENTIA SINICA Mathematica SCIENCE CHINA PRESS 论文 CrossMark 单生过程的研究进展 献给王梓坤教授90华诞 张余辉 北京师范大学数学科学学院,北京100875 E-mail: zhangyhabnu. edu.cn 收稿日期:2017-12-11;接受日期:2018-05-08:网络出版日期:2019-03-07 家自然科学基金(批准号:11131003,11571043,11626245,11771047和11871008)资助项目 摘要单生过程,作为最简单的过程一生灭过程的自然推广,本身具有可靠的研究背景.一方面,单生 过程是对经典问题可预期有显式判别准则的最大类过程,从而使得单生过程成为研究无穷维反应扩散 过程的基本工具;另一方面,单生过程通常是非对称的,因此被视为非对称过程的突出代表,而关于非 对称过程的研究,至今所得结果并不完善,但对于单生过程,研究成果相对完整.本文将介绍单生过程 经典问题的判别准则,包括唯一性、常返性、遍历性和强遍历性,还包括回返(灭绝)概率和平稳分布 的表示,特别是近年来,我们得到了关于单生过程 Poisson方程解的表示,以其为工具,举例说明如何 统一处理上述问题以及回返时的多项式阶矩、指数阶矩和生命时的分布等.此外,本文还给出单生过 程指数遍历的一个显式充分条件.最后回顾单生过程在粒子系统等模型研究中的一些具体应用 关键词单生过程生灭过程遍历性 MSC(2010)主题分类60J60 1引言 令(X(t)1>0为定义在可数状态空间E={0,1,2,}上的连续时间不可约 Markov链,具有转移 概率矩阵P(t)=(p(t)和速率Q矩阵Q=().如果其速率矩阵Q=(q)满足:q;+1>0,=0 ≥i+2,i,j∈E),则称(X(t)≥0为单生过程,该速率矩阵称为单生Q矩阵.假定此过程代表某生 物种群的个体数目,由σ的概率意义可知,在每个时刻群体个数增加(生)只能是一个.如果其速率 矩阵Q=(q)满足 q1,i+1=:b1>0(i≥0),q:-1=:a1>0(i≥1), 且对一切|-j≥2,有=0,则称(X()≥0为生灭过程,该速率矩阵称为生灭Q矩阵,简记为 (a1,b)生灭过程是单生过程的特例 英文引用格式: Zhang Y H. Progress in single birth processes (in Chinese). Sci Sin Math,2019,49:621-642,doi:10.1360 N012017-00261 ⊙2019《中国科学》杂志社
中国科学 : 数学 2019 年 第 49 卷 第 3 期 : 621 ∼ 642 SCIENTIA SINICA Mathematica 论 文 英文引用格式: Zhang Y H. Progress in single birth processes (in Chinese). Sci Sin Math, 2019, 49: 621–642, doi: 10.1360/ N012017-00261 ⃝c 2019《中国科学》杂志社 www.scichina.com mathcn.scichina.com 单生过程的研究进展 献给王梓坤教授 90 华诞 张余辉 北京师范大学数学科学学院, 北京 100875 E-mail: zhangyh@bnu.edu.cn 收稿日期: 2017-12-11; 接受日期: 2018-05-08; 网络出版日期: 2019-03-07 国家自然科学基金 (批准号: 11131003, 11571043, 11626245, 11771047 和 11871008) 资助项目 摘要 单生过程, 作为最简单的过程—生灭过程的自然推广, 本身具有可靠的研究背景. 一方面, 单生 过程是对经典问题可预期有显式判别准则的最大类过程, 从而使得单生过程成为研究无穷维反应扩散 过程的基本工具; 另一方面, 单生过程通常是非对称的, 因此被视为非对称过程的突出代表, 而关于非 对称过程的研究, 至今所得结果并不完善, 但对于单生过程, 研究成果相对完整. 本文将介绍单生过程 经典问题的判别准则, 包括唯一性、常返性、遍历性和强遍历性, 还包括回返 (灭绝) 概率和平稳分布 的表示, 特别是近年来, 我们得到了关于单生过程 Poisson 方程解的表示, 以其为工具, 举例说明如何 统一处理上述问题以及回返时的多项式阶矩、指数阶矩和生命时的分布等. 此外, 本文还给出单生过 程指数遍历的一个显式充分条件. 最后回顾单生过程在粒子系统等模型研究中的一些具体应用. 关键词 单生过程 生灭过程 遍历性 MSC (2010) 主题分类 60J60 1 引言 令 (X(t))t>0 为定义在可数状态空间 E = {0, 1, 2, . . .} 上的连续时间不可约 Markov 链, 具有转移 概率矩阵 P(t) = (pij (t)) 和速率 Q 矩阵 Q = (qij ). 如果其速率矩阵 Q = (qij ) 满足: qi,i+1 > 0, qij = 0 (j > i + 2, i, j ∈ E), 则称 (X(t))t>0 为单生过程, 该速率矩阵称为单生 Q 矩阵. 假定此过程代表某生 物种群的个体数目, 由 qij 的概率意义可知, 在每个时刻群体个数增加 (生) 只能是一个. 如果其速率 矩阵 Q = (qij ) 满足: qi,i+1 =: bi > 0 (i > 0), qi,i−1 =: ai > 0 (i > 1), 且对一切 |i − j| > 2, 有 qij = 0, 则称 (X(t))t>0 为生灭过程, 该速率矩阵称为生灭 Q 矩阵, 简记为 (ai , bi). 生灭过程是单生过程的特例
张余辉:单生过程的研究进展 通常,Q矩阵满足≥0(≠i,∑≠≤9:=一·本文只考虑全稳定且保守的单生Q矩 阵即对一切i>0有=∑9<∞如果Q矩阵全稳定保守且确定唯一的Q过程,则称此Q矩 阵是正则的 我们研究单生过程的理由主要是四个.一是由于通常单生过程是非对称的,而非对称过程的研究 通常要困难得多,因此,这给我们的研究带来挑战注意生灭过程是最简单的对称过程,而其研究也并 不简单(参见文献[1-9).二是由于单生Q矩阵的流出边界至多一个极点,从方程的观点来说,我们处 理的通常是单参数方程,这又给研究带来希望.三是单生过程本身有很强的应用背景,在生物学、人 口学、化学、经济学和电子通信等学科中都有重要的应用,在种群理论中又称该过程为向上非跨跳过 程(skip- free upwardly process、种群过程( population process)、带大灾难的生灭过程( birth and death process with catastrophes)或分枝大灾难过程( branching-catastrophe process),参见文献[10-15]:也有 人称之为广义生灭过程( generalized birth and death process),参见文献[16-18四是单生过程在理论 上是一类极其重要的 Markov过程,在粒子系统的研究中有将多维过程用某个一维过程去控制的方法, 在实际应用中,常常是将多维复杂过程与单生过程比较进行研究,这使得单生过程往往成为研究一般 Markov过程的切入点和有力工具,参见文献5,19-21] 这些年来,关于单生过程的研究己获得很多结果,研究的侧重点也不一样,一是主要用母函数的方 法研究灭绝概率等问题,自然要对Q矩阵施加条件,即硏究一些特定的单生Q矩阵(参见文献[0-15] 是对一般的单生Q矩阵使用分析方法研究其唯一性和遍历理论等经典问题;对其唯一性、常返性 遍历性和强遍历性,已得到了显式判别准则;对指数遍历性也得到显式充分条件,获得了其平稳分布 首次回返时(击中时)和占位时矩的显式表达参见文献⑤5.6,16和20-39.特别地,文献0研究了 单生过程 Poisson方程解的表示,以此作为工具,统一处理前面提到的单生过程经典问题的判别准则 还包括回返时的多项式阶矩、指数阶矩、灭绝时的分布和灭绝概率等 本文余下内容安排如下:第2节介绍单生过程唯一性的显式判别准则;第3节介绍单生过程常返 性的显式判别准则、回返(灭绝)概率和平均占位时;第4节介绍单生过程 Poisson方程解的显式表 示,举例说明如何以其为工具,统一处理单生过程的相关问题:第5节介绍单生过程的遍历性和强遍 历性的显式判别准则,以及回返时一阶矩的显式表达;第6节介绍单生过程回返时和生命时高阶矩的 显式表达、C遍历的判别准则以及平稳分布的显式计算公式;第7节介绍回返时(生命时)的指数阶矩 和 Laplace变换,并涉及我们最关心的部分—单生过程指数遍历性,给出单生过程指数遍历的一个显 式充分条件;最后一节回顾单生过程在粒子系统等模型研究中的若干应用 单生过程其他方面的研究,如带吸收边界的单生过程,可以参见文献[20,23,27,29,而文献34则 是研究带移民的单生过程;文献[4,42】分别研究了生灭过程和单生过程分离切断( separation cutoff 现象发生的显式判别准则,这个方向的最新文章是文献[43],其工具是 Martin边界理论、位势理论 波动理论和谱分析.文献[44用对偶方法通过分支过程研究一类单生过程.文献45]研究单生过程 的中心极限定理.Ma)研究了单生Q矩阵的 Lipschitz范数.对于离散时间单生过程的研究,参见文 献[46,47].为节省篇幅,不再一一详细介绍这些内容.有兴趣的读者,可以参考相应的文献 本节最后,为后面叙述方便,引入一些单生过程的常用记号,这些记号源于文献[] 对0≤k<n,定义=∑=09,再定义 F(n)=1.F() ∑q)F,0 1) Ma Y T Lipschitz norm for Q-matrix of birth processes. Preprint, 2007
张余辉: 单生过程的研究进展 通常, Q 矩阵满足 qij > 0 (j ̸= i), ∑ j̸=i qij 6 qi := −qii. 本文只考虑全稳定且保守的单生 Q 矩 阵, 即对一切 i > 0 有 qi = ∑ j̸=i qij < ∞. 如果 Q 矩阵全稳定保守且确定唯一的 Q 过程, 则称此 Q 矩 阵是正则的. 我们研究单生过程的理由主要是四个. 一是由于通常单生过程是非对称的, 而非对称过程的研究 通常要困难得多, 因此, 这给我们的研究带来挑战. 注意生灭过程是最简单的对称过程, 而其研究也并 不简单 (参见文献 [1–9]). 二是由于单生 Q 矩阵的流出边界至多一个极点, 从方程的观点来说, 我们处 理的通常是单参数方程, 这又给研究带来希望. 三是单生过程本身有很强的应用背景, 在生物学、人 口学、化学、经济学和电子通信等学科中都有重要的应用, 在种群理论中又称该过程为向上非跨跳过 程 (skip-free upwardly process)、种群过程 (population process)、带大灾难的生灭过程 (birth and death process with catastrophes) 或分枝大灾难过程 (branching-catastrophe process), 参见文献 [10–15]; 也有 人称之为广义生灭过程 (generalized birth and death process), 参见文献 [16–18]. 四是单生过程在理论 上是一类极其重要的 Markov 过程, 在粒子系统的研究中有将多维过程用某个一维过程去控制的方法, 在实际应用中, 常常是将多维复杂过程与单生过程比较进行研究, 这使得单生过程往往成为研究一般 Markov 过程的切入点和有力工具, 参见文献 [5, 19–21]. 这些年来, 关于单生过程的研究已获得很多结果, 研究的侧重点也不一样, 一是主要用母函数的方 法研究灭绝概率等问题, 自然要对 Q 矩阵施加条件, 即研究一些特定的单生 Q 矩阵 (参见文献 [10–15]). 二是对一般的单生 Q 矩阵使用分析方法研究其唯一性和遍历理论等经典问题; 对其唯一性、常返性、 遍历性和强遍历性, 已得到了显式判别准则; 对指数遍历性也得到显式充分条件, 获得了其平稳分布、 首次回返时 (击中时) 和占位时矩的显式表达. 参见文献 [5, 6, 16] 和 [20–39]. 特别地, 文献 [40] 研究了 单生过程 Poisson 方程解的表示, 以此作为工具, 统一处理前面提到的单生过程经典问题的判别准则, 还包括回返时的多项式阶矩、指数阶矩、灭绝时的分布和灭绝概率等. 本文余下内容安排如下: 第 2 节介绍单生过程唯一性的显式判别准则; 第 3 节介绍单生过程常返 性的显式判别准则、回返 (灭绝) 概率和平均占位时; 第 4 节介绍单生过程 Poisson 方程解的显式表 示, 举例说明如何以其为工具, 统一处理单生过程的相关问题; 第 5 节介绍单生过程的遍历性和强遍 历性的显式判别准则, 以及回返时一阶矩的显式表达; 第 6 节介绍单生过程回返时和生命时高阶矩的 显式表达、ℓ 遍历的判别准则以及平稳分布的显式计算公式; 第 7 节介绍回返时 (生命时) 的指数阶矩 和 Laplace 变换, 并涉及我们最关心的部分—单生过程指数遍历性, 给出单生过程指数遍历的一个显 式充分条件; 最后一节回顾单生过程在粒子系统等模型研究中的若干应用. 单生过程其他方面的研究, 如带吸收边界的单生过程, 可以参见文献 [20, 23, 27, 29], 而文献 [34] 则 是研究带移民的单生过程; 文献 [41, 42] 分别研究了生灭过程和单生过程分离切断 (separation cutoff) 现象发生的显式判别准则, 这个方向的最新文章是文献 [43], 其工具是 Martin 边界理论、位势理论、 波动理论和谱分析. 文献 [44] 用对偶方法通过分支过程研究一类单生过程. 文献 [45] 研究单生过程 的中心极限定理. Ma1) 研究了单生 Q 矩阵的 Lipschitz 范数. 对于离散时间单生过程的研究, 参见文 献 [46, 47]. 为节省篇幅, 不再一一详细介绍这些内容. 有兴趣的读者, 可以参考相应的文献. 本节最后, 为后面叙述方便, 引入一些单生过程的常用记号, 这些记号源于文献 [5]. 对 0 6 k < n, 定义 q (k) n = ∑k j=0 qnj . 再定义 F (n) n = 1, F(i) n = 1 qn,n+1 n∑−1 k=i q (k) n F (i) k , 0 6 i < n. (1.1) 1) Ma Y T. Lipschitz norm for Q-matrix of single birth processes. Preprint, 2007 622
中国科学:数学第49卷第3期 2唯一性 给定Q矩阵Q=()如果具非负性、 Chapman-Kolmogorov条件、连续性条件(跳条件)以及 P(t)1≤1的次转移概率矩阵P(t),满足P'(t)l=0=Q,则称该过程P(t)为Q过程从 Chapman Kolmogorov方程出发,可以导出两个微分方程: ov向后方程P(t)=QP(t) Kolmogorov向前方程P(t)=P(t)Q 类似于微分方程,在实践中,我们知道的是Q而非P(t) 现在,自然要问,对于给定Q矩阵,Q过程是否存在?若存在又是否唯一?回顾Q矩阵全稳定且 保守的假设,我们知道每一个Q过程都满足 Kolmogorov向后方程.由此出发,Q过程的存在性和唯 性就转化为 Kolmogorov向后方程的解的存在性和唯一性问题.事实上,Q过程总存在,因为方程的 最小解就是一个Q过程,而且 Kolmogorov向后、向前方程有相同的最小解 将P()做 Laplace变换得P() ii(t)dt 相应的 Kolmogorov方程为 一pkj(X)+ P(入) Pk(入) λ+qjA+q 记最小过程为Pm(入).考虑P(A)-Pmn(A),由上述 Kolmogorov向后方程知,其为下面方程的解: 关于Q矩阵决定的Q过程唯一性的判别,实际上有下面的结论(参见文献[48,49]) 定理21给定全稳定保守Q矩阵Q=(q),则其决定的Q过程是唯一的,当且仅当方程(2.1) 对某个(等价地,对所有)λ>0只有平凡解,或者说最大解为零解.等价地,方程 u1≥0 0 对某个(等价地,对所有)A>0的非平凡解无界 此判别准则的优美之处是只用到Q矩阵,但依赖方程解的性质,然而方程的最大解存在迭代算法, 所以,对单生过程,一个更好的判别准则(显式的、完全可计算的)是可期盼的.最终的确得到这样的 唯一性判别准则.注意它只依赖于单生Q矩阵,因此是可计算的.为陈述结论,定义 n≥1. k=0 定理22给定全稳定保守单生Q矩阵Q=(q),则单生过程唯一(非爆炸)当且仅当 n=0 23
中国科学 : 数学 第 49 卷 第 3 期 2 唯一性 给定 Q 矩阵 Q = (qij ). 如果具非负性、Chapman-Kolmogorov 条件、连续性条件 (跳条件) 以及 P(t)1 6 1 的次转移概率矩阵 P(t), 满足 P ′ (t)|t=0 = Q, 则称该过程 P(t) 为 Q 过程. 从 ChapmanKolmogorov 方程出发, 可以导出两个微分方程: Kolmogorov 向后方程 P ′ (t) = QP(t), Kolmogorov 向前方程 P ′ (t) = P(t)Q. 类似于微分方程, 在实践中, 我们知道的是 Q 而非 P(t). 现在, 自然要问, 对于给定 Q 矩阵, Q 过程是否存在? 若存在又是否唯一? 回顾 Q 矩阵全稳定且 保守的假设, 我们知道每一个 Q 过程都满足 Kolmogorov 向后方程. 由此出发, Q 过程的存在性和唯 一性就转化为 Kolmogorov 向后方程的解的存在性和唯一性问题. 事实上, Q 过程总存在, 因为方程的 最小解就是一个 Q 过程, 而且 Kolmogorov 向后、向前方程有相同的最小解. 将 P(t) 做 Laplace 变换得 P(λ): pij (λ) = ∫ ∞ 0 e −λtpij (t)dt. 相应的 Kolmogorov 方程为 pij (λ) = ∑ k̸=i qik λ + qi pkj (λ) + δij λ + qi , pij (λ) = ∑ k̸=j pik(λ) qkj λ + qj + δij λ + qi . 记最小过程为 P min(λ). 考虑 P(λ) − P min(λ), 由上述 Kolmogorov 向后方程知, 其为下面方程的解: ui = ∑ k̸=i qik λ + qi uk, 0 6 ui 6 1, i > 0. (2.1) 关于 Q 矩阵决定的 Q 过程唯一性的判别, 实际上有下面的结论 (参见文献 [48, 49]). 定理 2.1 给定全稳定保守 Q 矩阵 Q = (qij ), 则其决定的 Q 过程是唯一的, 当且仅当方程 (2.1) 对某个 (等价地, 对所有) λ > 0 只有平凡解, 或者说最大解为零解. 等价地, 方程 ui = ∑ k̸=i qik λ + qi uk, ui > 0, i > 0 (2.2) 对某个 (等价地, 对所有) λ > 0 的非平凡解无界. 此判别准则的优美之处是只用到 Q 矩阵, 但依赖方程解的性质, 然而方程的最大解存在迭代算法, 所以, 对单生过程, 一个更好的判别准则 (显式的、完全可计算的) 是可期盼的. 最终的确得到这样的 唯一性判别准则. 注意它只依赖于单生 Q 矩阵, 因此是可计算的. 为陈述结论, 定义 m0 = 1 q01 , mn = 1 qn,n+1 ( 1 + n∑−1 k=0 q (k) n mk ) , n > 1. (2.3) 定理 2.2 给定全稳定保守单生 Q 矩阵 Q = (qij ), 则单生过程唯一 (非爆炸) 当且仅当 R := ∑∞ n=0 mn = ∞, 623
张余辉:单生过程的研究进展 其中mn由(2.3)定义 这个结果先由文献6用概率方法给出,而后,文献②20]用分析方法证明.对于吸收边界情形的 非爆炸,参见文献[23,27]、对于带移民情形,参见文献阝3 文献[16证明了mn=EnTn+1,R=E0r,其中mn为状态n的首次击中时,ra:=imn→sTn (极限以概率1存在),故τ可看作∞的首次击中时.注意由单生的向上非跨跳性,T∞几乎处处等于 过程的飞跃时(生命时) 对生灭Q矩阵(a1,b),(2.3)有简单的形式 0.n],n≥0, 其中 40=1,p bb…0-,i≥1,成对=∑ a1a 3常返性、回返(灭绝)概率和平均占位时 对于连续时间情形,可以证明p:(t)>0(t≥0),p(t)关于t在(0,∞)上恒为正或恒为零.因而 不存在周期问题.另外,(P(1)不可约等价于Q=(q)不可约 给定过程P(t)=(P(t)若对一切h>0,离散链P(h)常返,等价地,J。p(t)t=∞,则称该过 程P(t)为常返的 对于嵌入链(I1) 1(1-6)当+1(=05 与最小过程有如下关系(参见文献[48]): 定理31给定全稳定保守Q矩阵Q=(q),则 I 特别地如果Q是不可约且正则的,则相应的Q过程P(t)常返当且仅当嵌入链常返 关于一般Q过程常返性的判别有如下引理(参见文献[5引理451) 定理32给定正则不可约Q矩阵Q=(q),则相应的Q过程常返当且仅当方程 0≤x≤1 对某个(等价地,对所有)固定的j只有平凡解,或者说最大解为零解.等价地,方程 lij 对某个(等价地,对所有)固定的jo的非平凡解无界 对嵌入链(1)而言,定义a为其(首次)回返时,fo:=P(<∞),则(fn:i∈E)是下列 方程的最小非负解 ∏1kxk+Ili,i≥0, k≠jo 624
张余辉: 单生过程的研究进展 其中 mn 由 (2.3) 定义. 这个结果先由文献 [16] 用概率方法给出, 而后, 文献 [20] 用分析方法证明. 对于吸收边界情形的 非爆炸, 参见文献 [23, 27]. 对于带移民情形, 参见文献 [34]. 文献 [16] 证明了 mn = Enτn+1, R = E0τ∞, 其中 τn 为状态 n 的首次击中时, τ∞ := limn→∞ τn (极限以概率 1 存在), 故 τ∞ 可看作 ∞ 的首次击中时. 注意由单生的向上非跨跳性, τ∞ 几乎处处等于 过程的飞跃时 (生命时). 对生灭 Q 矩阵 (ai , bi), (2.3) 有简单的形式: mn = 1 µnbn µ[0, n], n > 0, 其中 µ0 = 1, µi = b0b1 · · · bi−1 a1a2 · · · ai , i > 1, µ[i, k] = ∑ k j=i µj . 3 常返性、回返 (灭绝) 概率和平均占位时 对于连续时间情形, 可以证明 pii(t) > 0 (t > 0), pij (t) 关于 t 在 (0, ∞) 上恒为正或恒为零. 因而 不存在周期问题. 另外, (pij (t)) 不可约等价于 Q = (qij ) 不可约. 给定过程 P(t) = (pij (t)). 若对一切 h > 0, 离散链 P(h) 常返, 等价地, ∫ ∞ 0 pii(t)dt = ∞, 则称该过 程 P(t) 为常返的. 对于嵌入链 (Πij ): Πij = 1{qi̸=0}(1 − δij ) qij qi + 1{qi=0}δij , 与最小过程有如下关系 (参见文献 [48]): 定理 3.1 给定全稳定保守 Q 矩阵 Q = (qij ), 则 ∫ ∞ 0 p min ij (t)dt = ∑∞ n=0 Π (n) ij qj . 特别地, 如果 Q 是不可约且正则的, 则相应的 Q 过程 P(t) 常返当且仅当嵌入链常返. 关于一般 Q 过程常返性的判别有如下引理 (参见文献 [5, 引理 4.51]). 定理 3.2 给定正则不可约 Q 矩阵 Q = (qij ), 则相应的 Q 过程常返当且仅当方程 xi = ∑ j̸=j0,i qij qi xj , 0 6 xi 6 1, i > 0 对某个 (等价地, 对所有) 固定的 j0 只有平凡解, 或者说最大解为零解. 等价地, 方程 xi = ∑ j̸=j0,i qij qi xj , xi > 0, i > 0 (3.1) 对某个 (等价地, 对所有) 固定的 j0 的非平凡解无界. 对嵌入链 (Πij ) 而言, 定义 σj0 为其 (首次) 回返时, fij0 := Pi(σj0 0, 624
中国科学:数学第49卷第3期 而嵌入链(I1)常返当且仅当f≡1.由这些事实,再结合定理31,不难得到定理32的结果 这个判别准则也依赖于方程解的性质,对于单生过程,我们还是希望得到一个只依赖于单生Q矩 阵的判别准则,即是显式的、可计算的.答案如下(此结果最早由文献[20]得到) 定理33给定正则不可约单生Q矩阵Q=(y),则其相应的单生过程常返当且仅当∑。0F x,其中F)由(1.1)所定义 由后面的定理3.4的结论,我们将更好地理解此准则的概率意义 对生灭Q矩阵(a1,b),(1.1)有简单的形式 bo nbnn≥0. 对可数状态一般 Markov过程的回返(或灭绝)概率,文献p50,第9章有很多研究,对单生过程 的回返(或灭绝)概率,文献[10.第9章]和[12]则是较早研究的,方法不同于文献0].定义ao为状 态0的回返时,即σo=inf{t≥首次跳时刻:Xt=0}.单生过程的回返(灭绝)概率结果如下 定理34给定正则不可约单生Q矩阵Q=(),则回返(或灭绝)概率为 P0(ooi≥0, gn, n+l k=i 625
中国科学 : 数学 第 49 卷 第 3 期 而嵌入链 (Πij ) 常返当且仅当 fij0 ≡ 1. 由这些事实, 再结合定理 3.1, 不难得到定理 3.2 的结果. 这个判别准则也依赖于方程解的性质, 对于单生过程, 我们还是希望得到一个只依赖于单生 Q 矩 阵的判别准则, 即是显式的、可计算的. 答案如下 (此结果最早由文献 [20] 得到). 定理 3.3 给定正则不可约单生 Q 矩阵 Q = (qij ), 则其相应的单生过程常返当且仅当 ∑∞ n=0 F (0) n = ∞, 其中 F (k) n 由 (1.1) 所定义. 由后面的定理 3.4 的结论, 我们将更好地理解此准则的概率意义. 对生灭 Q 矩阵 (ai , bi), (1.1) 有简单的形式: F (0) n = b0 µnbn , n > 0. 对可数状态一般 Markov 过程的回返 (或灭绝) 概率, 文献 [50, 第 9 章] 有很多研究, 对单生过程 的回返 (或灭绝) 概率, 文献 [10, 第 9 章] 和 [12] 则是较早研究的, 方法不同于文献 [40]. 定义 σ0 为状 态 0 的回返时, 即 σ0 = inf{t > 首次跳时刻: Xt = 0}. 单生过程的回返 (灭绝) 概率结果如下. 定理 3.4 给定正则不可约单生 Q 矩阵 Q = (qij ), 则回返 (或灭绝) 概率为 P0(σ0 1. 进而, Pn(σ0 0) 当且仅当 P0(σ0 i > 0, (4.1) 625
张余辉:单生过程的研究进展 要注意,如果c≤0,则4)≥0.,F()≥0(n>k≥0).一旦c≡0,我们省略F和的上标“”,自然 回到第1节原来的定义约定∑=0.我们的结论如下 定理41给定全稳定保守单生Q矩阵Q=(q)及两个函数c和f,则 Poisson方程 的解g有如下表示: F60(f-c190) 0≤k≤n-10≤j≤k 特别地,算子g的调和函数g(即gg=0)可以表示为 反之,对每个边界初值90∈R,(4.4)定义的函数(n)是 Poisson方程(43)的一个解 文献[1]引进了一种近乎调和的H变换,显式构造了一大类积分算子和二阶微分算子的等谱算 子.这使得先前所研究的较小一类算子的谱性质(或主特征值估计)可立即扩充到很大一类算子.我 们知道,带位势所对应的是 Schrodinger算子,与无位势情形相比,其难度主要表现在:无位势情形的 特征函数是单峰的,但带位势情形的特征函数却可以相当振荡.现在通过H变换方法,可将带位势情 形化为无位势情形,从而将后者已有的全部结果推广到前者中去.特别地,文献[51]在对带杀死速率 的生灭过程主特征值进行估计时,使用了H变换,其中H函数的单调性质可以由定理41中解的表 示来得到 定理4』的证明关键要用到下面的结论(参见文献[40,推论23]) 命题42给定函数f,递归定义数列(hn ()h ≥1 i≤k≤n-1 或者说,(hn)为以下方程的解 ∑)h+一hn 则(hn)有下面的统一表示 fk 特别地,(41)定义的数列(F)有下面的表示 F( F n≥i+1. qk.k+1 26
张余辉: 单生过程的研究进展 q˜ (k) n = q (k) n − cn := ∑ k j=0 qnj − cn, 0 6 k 0, Fe(k) n > 0 (n > k > 0). 一旦 ci ≡ 0, 我们省略 Fe 和 q˜ 的上标 “e”, 自然 回到第 1 节原来的定义. 约定 ∑ ∅ = 0. 我们的结论如下. 定理 4.1 给定全稳定保守单生 Q 矩阵 Q = (qij ) 及两个函数 c 和 f, 则 Poisson 方程 Ωg = f (4.3) 的解 g 有如下表示: gn = g0 + ∑ 06k6n−1 ∑ 06j6k Fe(j) k (fj − cjg0) qj,j+1 , n > 0. (4.4) 特别地, 算子 Ω 的调和函数 g (即 Ωg = 0) 可以表示为 gn = g0 ( 1 − ∑ 06k6n−1 ∑ 06j6k Fe(j) k cj qj,j+1 ) , n > 0. 反之, 对每个边界初值 g0 ∈ R, (4.4) 定义的函数 (gn) 是 Poisson 方程 (4.3) 的一个解. 文献 [51] 引进了一种近乎调和的 H 变换, 显式构造了一大类积分算子和二阶微分算子的等谱算 子. 这使得先前所研究的较小一类算子的谱性质 (或主特征值估计) 可立即扩充到很大一类算子. 我 们知道, 带位势所对应的是 Schr¨odinger 算子, 与无位势情形相比, 其难度主要表现在: 无位势情形的 特征函数是单峰的, 但带位势情形的特征函数却可以相当振荡. 现在通过 H 变换方法, 可将带位势情 形化为无位势情形, 从而将后者已有的全部结果推广到前者中去. 特别地, 文献 [51] 在对带杀死速率 的生灭过程主特征值进行估计时, 使用了 H 变换, 其中 H 函数的单调性质可以由定理 4.1 中解的表 示来得到. 定理 4.1 的证明关键要用到下面的结论 (参见文献 [40, 推论 2.3]). 命题 4.2 给定函数 f, 递归定义数列 (hn): hn = 1 qn,n+1 ( fn + ∑ i6k6n−1 q˜ (k) n hk ) , n > i, 或者说, (hn) 为以下方程的解: hn = 1 qn ∑ i6k6n−1 q˜ (k) n hk + q (n−1) n qn hn + fn qn , n > i, 则 (hn) 有下面的统一表示: hn = ∑n k=i Fe(k) n qk,k+1 fk, n > i. 特别地, (4.1) 定义的数列 (Fe(k) n ) 有下面的表示: Fe(i) i = 1, Fe(i) n = ∑n k=i+1 Fe(k) n q˜ (i) k qk,k+1 , n > i + 1. (4.5) 626
中国科学:数学第49卷第3期 下面举例说明如何用定理4.1来证明单生过程的一些相关结果 定义 由命题42及(4.1)和(4.6)立刻得到 F ,n≥0. 定理2.2的证明由文献5,定理2.47和2.40或定理21,单生过程唯一当且仅当对某个(等 价地,对所有)A>0,方程 i≥0, (4.8) 的解(u)无界.改写(4.8)为 2u= Qu-Au=0 应用定理41,此时c≡-A,f≡0,我们得到唯一解: 1+入 显然,n关于n单调增加,因此,其无界当且仅当∑nmn=∞.剩下的只需证明两个级数∑nmn和 ∑nmn=∞等价.为节省篇幅,我们在此略去,有兴趣者可参见文献[40 定理33的证明由文献[5,引理4.51]或定理32,单生过程常返当且仅当方程 0≤r;≤ 只有零解.容易看出,后者等价于方程 i≥0,x0=1 的解无界.改写上述方程为 应用定理4.1,此时c≡0,f1=90(1-6o),立刻得到唯一解: 由(4.7)推出 ∑F=∑ ≥1 显然,(xn)无界当且仅当∑x=0F8=∞.换而言之,方程(4.9)只有零解当且仅当∑0F0=∞.口 627
中国科学 : 数学 第 49 卷 第 3 期 下面举例说明如何用定理 4.1 来证明单生过程的一些相关结果. 定义 me 0 = 1 q01 , me n = 1 qn,n+1 ( 1 + n∑−1 k=0 q˜ (k) n me k ) , n > 1, (4.6) 由命题 4.2 及 (4.1) 和 (4.6) 立刻得到 Fe(i) n = ∑n k=i+1 Fe(k) n q˜ (i) k qk,k+1 , n > i > 0, me n = ∑n k=0 Fe(k) n qk,k+1 , n > 0. (4.7) 定理 2.2 的证明 由文献 [5, 定理 2.47 和 2.40] 或定理 2.1, 单生过程唯一当且仅当对某个 (等 价地, 对所有) λ > 0, 方程 (λ + qi)ui = ∑ j̸=i qijuj , i > 0, u0 = 1 (4.8) 的解 (ui) 无界. 改写 (4.8) 为 Ωu = Qu − λu = 0, u0 = 1. 应用定理 4.1, 此时 ci ≡ −λ, fi ≡ 0, 我们得到唯一解: un = 1 + λ ∑ 06k6n−1 ∑ k j=0 Fe(j) k qj,j+1 = 1 + λ ∑ 06k6n−1 me k, n > 0. 显然, un 关于 n 单调增加, 因此, 其无界当且仅当 ∑ n me n = ∞. 剩下的只需证明两个级数 ∑ n me n 和 ∑ n mn = ∞ 等价. 为节省篇幅, 我们在此略去, 有兴趣者可参见文献 [40]. 定理 3.3 的证明 由文献 [5, 引理 4.51] 或定理 3.2, 单生过程常返当且仅当方程 xi = ∑ k̸=0 Πikxk, 0 6 xi 6 1, i > 0 (4.9) 只有零解. 容易看出, 后者等价于方程 xi = ∑ k̸=0 Πikxk, i > 0, x0 = 1 的解无界. 改写上述方程为 (Qx)0 = 0, (Qx)i = qi0, i > 1, x0 = 1. 应用定理 4.1, 此时 ci ≡ 0, fi = qi0(1 − δi0), 立刻得到唯一解: x0 = 1, xn = 1 + n∑−1 k=1 ∑ k j=1 F (j) k qj0 qj,j+1 = 1 + n∑−1 k=1 ∑ k j=1 F (j) k q (0) j qj,j+1 , n > 1. 由 (4.7) 推出 xn = 1 + n∑−1 k=1 F (0) k = n∑−1 k=0 F (0) k , n > 1. 显然, (xn) 无界当且仅当 ∑∞ k=0 F (0) k = ∞. 换而言之, 方程 (4.9) 只有零解当且仅当 ∑∞ k=0 F (0) k = ∞. 627
张余辉:单生过程的研究进展 定理3.4的证明由文献⑤5,引理4.46,取H={0},可知(P(o00,所以可推出 k=0 由此得到最小非负解 1 ≥1. 证毕 对单生过程,我们关心的几乎所有问题都与特定的 Poisson方程有关.下面列出各种问题相应 Poisson方程的函数c和f(见表1) 注意,在遍历性和强遍历性两种情形,虽然 Poisson方程及函数c和f相同,但解分别是有限和有 界的 总之,我们的统一处理方法分三步:第1步,建立所研究问题对应的 Poisson方程;第2步,应用 定理4.1得到 Poisson方程的解;第3步,利用得到的 Poisson方程解的性质推出所研究问题的答案 表1单生过程几种问题对应的 Poisson方程 问题 调和函数 f:≡0 唯一性 A0 回返时的 Laplace变换c≡-<0f1=qo0(1-50)(90-1) 28
张余辉: 单生过程的研究进展 定理 3.4 的证明 由文献 [5, 引理 4.46], 取 H = {0}, 可知 (Pi(σ0 0. 上述方程等价于 (Qx)i = qi0(1 − δi0)(x0 − 1), i > 0. 应用定理 4.1, 此时 ci ≡ 0, fi = qi0(1 − δi0)(x0 − 1), 结合 (4.7), 得到 xn = x0 ( 1 + ∑ 16k6n−1 F (0) k ) − ∑ 16k6n−1 F (0) k , n > 0. 因为 xn > 0, 所以可推出 x0 > sup n>1 ∑n−1 k=1 F (0) k ∑n−1 k=0 F (0) k = 1 − 1 ∑∞ k=0 F (0) k . 由此得到最小非负解: x ∗ 0 = 1 − 1 ∑∞ k=0 F (0) k , x∗ n = 1 − ∑n−1 k=0 F (0) k ∑∞ k=0 F (0) k , n > 1. 证毕. 对单生过程, 我们关心的几乎所有问题都与特定的 Poisson 方程有关. 下面列出各种问题相应 Poisson 方程的函数 c 和 f (见表 1). 注意, 在遍历性和强遍历性两种情形, 虽然 Poisson 方程及函数 c 和 f 相同, 但解分别是有限和有 界的. 总之, 我们的统一处理方法分三步: 第 1 步, 建立所研究问题对应的 Poisson 方程; 第 2 步, 应用 定理 4.1 得到 Poisson 方程的解; 第 3 步, 利用得到的 Poisson 方程解的性质推出所研究问题的答案. 表 1 单生过程几种问题对应的 Poisson 方程 问题 ci ∈ R fi ∈ R 调和函数 ci ∈ R fi ≡ 0 唯一性 ci ≡ −λ 0 fi = qi0(1 − δi0)(g0 − 1) 回返时的 Laplace 变换 ci ≡ −λ < 0 fi = qi0(1 − δi0)(g0 − 1) 628
中国科学:数学第49卷第3期 5遍历性、强遍历性和回返时的一阶矩 在 Markov链的遍历理论研究中,通常研究的三种遍历性即(普通)遍历性、指数遍历性和强遍历 性.关于这三种遍历性的相关论题,参见文献[5,6,10.本节将分别给出单生过程遍历性和强遍历性的 显式判别准则,以及回返时一阶矩的显式表达,同时研究三者之间的关系 给定过程P(t)=(P(t)和正概率测度π=(π)若对一切h>0.离散链P(h)遍历,等价地 则称该过程P(t)为遍历的,丌为过程的平稳分布 对于不可约 Markov链,遍历性等价地有lim→∞p(t)=丌>0与i无关,进而,等价地,对所有 E,有 p()-xlk=∑m()-m=0 我们回顾利用检验函数的遍历性判别准则,参见文献[,定理445或者[52 定理51设Q=()是正则不可约Q矩阵,H是E的一个非空有限子集,则相应Q过程遍 历当且仅当方程 ∑≤-1,iH (5.1) liji 有非负有限解 对于单生过程,我们依然希望得到一个只依赖于Q矩阵、无需检验函数的判别准则.为此,引入 下列记号 do=0, dn ql)dk 由命题42和(5.2),可以证明 ≥0 k=19kk+1 结合(47)和(5.3)知,三组记号(1.1)、(23)和(5.2)满足如下关系 +dn,m≥0. 单生过程遍历性(正常返性)显式判别准则如下(参见文献[20]) 定理52给定正则不可约单生Q矩阵Q=()则其决定的单生过程遍历(正常返)当且仅当 d sup (5.5) Fk 在过程常返的假定下,文献[40进一步证明了 1=职
中国科学 : 数学 第 49 卷 第 3 期 5 遍历性、强遍历性和回返时的一阶矩 在 Markov 链的遍历理论研究中, 通常研究的三种遍历性即 (普通) 遍历性、指数遍历性和强遍历 性. 关于这三种遍历性的相关论题, 参见文献 [5, 6, 10]. 本节将分别给出单生过程遍历性和强遍历性的 显式判别准则, 以及回返时一阶矩的显式表达, 同时研究三者之间的关系. 给定过程 P(t) = (pij (t)) 和正概率测度 π = (πi). 若对一切 h > 0, 离散链 P(h) 遍历, 等价地, limt→∞ pjj (t) = πj (j ∈ E), 则称该过程 P(t) 为遍历的, π 为过程的平稳分布. 对于不可约 Markov 链, 遍历性等价地有 limt→∞ pij (t) = πj > 0 与 i 无关, 进而, 等价地, 对所有 i ∈ E, 有 limt→∞ ∥pi·(t) − π∥Var := limt→∞ ∑ j |pij (t) − πj | = 0. 我们回顾利用检验函数的遍历性判别准则, 参见文献 [5, 定理 4.45] 或者 [52]. 定理 5.1 设 Q = (qij ) 是正则不可约 Q 矩阵, H 是 E 的一个非空有限子集, 则相应 Q 过程遍 历当且仅当方程 ∑ j∈E qijyj 6 −1, i /∈ H, ∑ i∈H ∑ j̸=i qijyj 1. (5.2) 由命题 4.2 和 (5.2), 可以证明 dn = ∑n k=1 F (k) n qk,k+1 , n > 0. (5.3) 结合 (4.7) 和 (5.3) 知, 三组记号 (1.1)、(2.3) 和 (5.2) 满足如下关系: mn = F (0) n q01 + dn, n > 0. (5.4) 单生过程遍历性 (正常返性) 显式判别准则如下 (参见文献 [20]). 定理 5.2 给定正则不可约单生 Q 矩阵 Q = (qij ), 则其决定的单生过程遍历 (正常返) 当且仅当 d := sup n>0 ∑n k=0 dk ∑n k=0 F (0) k < ∞. (5.5) 在过程常返的假定下, 文献 [40] 进一步证明了 d = limn→∞ ∑n k=0 dk ∑n k=0 F (0) k , 629
张余辉:单生过程的研究进展 继而,若极限 存在,则由 Stolz定理知,d等于该极限 注意,在过程唯一的假定下,若过程非常返,由定理22和33及(54),可以推出∑=0dn=∝x 进而d=∞,因此,若d19%0>0,则此单生过程遍历 因为由合分比性质及(47)和(5.3),可得 inf> quo 后面的命题5.5将告诉我们,此单生过程实际上是强遍历的 对生灭Q矩阵(a1,b2),(52)有简单的形式 1 1,n],n≥0. 此时 d d = sU 若过程还是常返的,由 Stolz定理知,d等于该极限 给定正则不可约Q矩阵Q=()和概率测度(r1>0).相应的Q过程记为P(t)=(p3(t+).若 limt→ssup;l(t)-可=0G∈E),则称该过程P(t)为强遍历的或一致遍历的 强遍历性可等价于 sup|p2(t)-rlar=O(e-),当t→∞ 最佳(即最大)的β称为强遍历速度 对于一般的Q过程,文献⑤5,定理4.45和⑤2]给出了一个利用检验函数的强遍历性判别准则 如下 定理54设Q=(q)是正则不可约Q矩阵,H是E的一个非空有限子集,则相应Q过程强 遍历当且仅当方程 E H, q0,则相应的Q 过程是强遍历的 对于单生过程,我们还是能够得到如下只依赖于Q矩阵、无需检验函数的强遍历判别准则,参见 文献[21] 630
张余辉: 单生过程的研究进展 继而, 若极限 limn→∞ dn F (0) n 存在, 则由 Stolz 定理知, d 等于该极限. 注意, 在过程唯一的假定下, 若过程非常返, 由定理 2.2 和 3.3 及 (5.4), 可以推出 ∑∞ n=0 dn = ∞, 进而 d = ∞, 因此, 若 d 1 qk0 > 0, 则此单生过程遍历. 因为由合分比性质及 (4.7) 和 (5.3), 可得 d 6 sup i>1 di F (0) i 6 sup k>1 1 q (0) k = 1 infk>1 qk0 0. 此时, limn→∞ dn F (0) n = sup n>0 dn F (0) n = 1 b0 µ[1,∞). 若过程还是常返的, 由 Stolz 定理知, d 等于该极限. 给定正则不可约 Q 矩阵 Q = (qij ) 和概率测度 (πi > 0). 相应的 Q 过程记为 P(t) = (pij (t)). 若 limt→∞ supi |pij (t) − πj | = 0 (j ∈ E), 则称该过程 P(t) 为强遍历的或一致遍历的. 强遍历性可等价于 sup i ∥pi·(t) − π∥Var = O(e−βt), 当 t → ∞. 最佳 (即最大) 的 β 称为强遍历速度. 对于一般的 Q 过程, 文献 [5, 定理 4.45] 和 [52] 给出了一个利用检验函数的强遍历性判别准则 如下. 定理 5.4 设 Q = (qij ) 是正则不可约 Q 矩阵, H 是 E 的一个非空有限子集, 则相应 Q 过程强 遍历当且仅当方程 ∑ j∈E qijyj 6 −1, i /∈ H, ∑ i∈H ∑ j̸=i qijyj 0 满足 inf i̸=k qik > 0, 则相应的 Q 过程是强遍历的. 对于单生过程, 我们还是能够得到如下只依赖于 Q 矩阵、无需检验函数的强遍历判别准则, 参见 文献 [21]. 630
