2002-2003学年第二学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 四.(本题满分10分) 设随机变量X~N(O,1),Y=x·试求随机变量y的密度函数f() 解 随机变量X的密度函数为 f(x)= 设随机变量Y=X的分布函数为F(v),则 F()=P≤y}=P{x1≤y )当y≤0时,F()=P≤y=P{xy=0 (2)当y>0时, F()=Py=PX≤y=P(y≤X5y x 所以,F(y)= e 2 dx y>0 y≤0 2 所以,f(v)=F(y) >0 y≤0 五.(本题满分10分) 房间有3扇同样大小的窗户,其中只有一扇是打开的.有一只鸟在房子里飞来飞去,它只能从开着 的窗子飞出去.假定这只鸟是没有记忆的,且鸟飞向各个窗子是随机的.若令X表示鸟为了飞出房间试飞 的次数.求(1)X的分布律.(2)这只鸟最多试飞3次就飞出房间的概率.(3)若有一只鸟飞进该房间5次, 其中有4次它最多试飞了3次就飞出房间,请问“假定这只鸟是没有记忆的”是否合理? 解 (1)X的取值为1,2,3,…,并且 P{x=k=Pk-1次试飞均未飞出房间,第次试飞出房间=(2 因此X的分布律为 第5页共9页2002-2003 学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 5 页 共 9 页 四．（本题满分 10 分） 设随机变量 X ~ N(0, 1)，Y = X ．试求随机变量 Y 的密度函数 f (y) Y ． 解： 随机变量 X 的密度函数为 ( ) 2 2 2 1 x X f x e − =  (−  x  +)． 设随机变量 Y = X 的分布函数为 F (y) Y ，则 FY (y) = PY  y= PX  y． ⑴ 当 y  0 时， FY (y) = PY  y= PX  y= 0 ． ⑵ 当 y  0 时， FY (y) = PY  y= PX  y= P− y  X  y ( )    − − − − = = = y y x y y x y f X x dx e dx e dx 0 2 2 2 2 2 2 2 1   所以， ( )        =  − 0 0 0 2 2 0 2 2 y e dx y F y y x Y  ． 所以， ( ) ( )        =  = − 0 0 0 2 2 2 2 y e y f y F y y Y Y  ． 五．（本题满分 10 分） 一房间有 3 扇同样大小的窗户，其中只有一扇是打开的．有一只鸟在房子里飞来飞去，它只能从开着 的窗子飞出去．假定这只鸟是没有记忆的，且鸟飞向各个窗子是随机的．若令 X 表示鸟为了飞出房间试飞 的次数．求⑴ X 的分布律．⑵ 这只鸟最多试飞 3 次就飞出房间的概率．⑶ 若有一只鸟飞进该房间 5 次， 其中有 4 次它最多试飞了 3 次就飞出房间，请问“假定这只鸟是没有记忆的”是否合理？ 解： ⑴ X 的取值为 1, 2, 3,  ，并且     3 1 3 2 1 1        = = − = k− P X k P 前k 次试飞均未飞出房间，第k次试飞飞出房间 因此 X 的分布律为   3 1 3 2 1        = = k− P X k (k =1, 2, 3, )．