(a-a)f(a)=aom++(a1-aoa)z"+.+(an -an-1a)I-ana 40 a1-a00 a2-01a an-an-1a a1-a0a a2-a1a an-an-la es((a-a)f,g) bo b1 bo b2 m+1 b 自第一列起,各列乘a加到后一列,直至最后一列,可得 Res((z-a)f,9)= bo b1+boa b2+b)a+boa b1+boa g(a)am-I 从最后一行起,各行乘(-a)加到前一行,直到第n+1行,再按最后一列展开,可得 Res(( -af, g)=ga)Res(f, g). 2.设f(x)=a(x-x1)…(x-xn),g(x)=b(x-)…(x-ym) 证明Re(,9)="9()=(-1)m)=互(- 证明:Res(f,9)= am res(x-x1)…(x-xn),g(x) amg(a1)Res((r-I2).(r-In), g(r)) a"g(x1)g(x2)…g(xn) amb∏∏(x1-y)=(-1)mnbⅡf(v 3.证明:Res(f(x),91(x)92(x))=Res(f(x),g1(x)Res(f(x),y2(x) 证明:设 g1(x)=a0(x-a1)…(x-an),g2(x)=b(x-b1)…(x-bm), Res(f, g192)=(-1)deg f(deg g1g2 )Res(g192, f) (-1)yfkggnaIf(a)If() (-1)egf(deg 91g2)Res(g1, f)Res(92, f) Res(f, g1)Res(f, 92) 4.设∫为首一多项式证明:对任意多项式h,Res(f,g)=Res(f,g+hf)✪ (x − a)f(x) = a0x n+1 + (a1 − a0a)x n + · · · + (an − an−1a)x − ana. Res((x−a)f, g)=                     a0 a1−a0a a2−a1a · · · an−an−1a −ana a0 a1−a0a a2−a1a · · · an−an−1a −ana . . . . . . . . . · · · . . . . . .    n a0 · · · · · · · · · an−an−1a −ana b0 b1 b2 · · · bm−1 bm b0 b1 b2 · · · bm−1 bm . . . . . . . . . · · · . . . . . .    m+1 b0 · · · · · · · · · bm−1 bm                     ❿➁➀P✒❅✒➂, ✇✒❅✒➃ a ➄✒➅✒✈✒P✒❅, ➆ ♦✷✒✈✒P✒❅, ✿✒❑ Res((x − a)f, g) =                    a0 a1 a2 · · · an 0 a0 a1 a2 · · · an 0 . . . . . . . . . · · · . . . . . .    n a0 · · · · · · · · · an 0 b0 b1+b0a b2+b1a+b0a 2 · · · · · · g(a) · · · g(a)a m b0 b1+b0a · · · · · · · · · · · · g(a)a m−1 . . . . . . . . . · · · . . . . . . . . .    m+1 b0 · · · · · · · · · · · · g(a)                    ✉ ✷✒✈✒P✒❆✒➂, ✇✒❆✒➃ (−a) ➄✒➅✒➇✒P✒❆, ➆✒➅➀ n + 1 ❆, ➈✒➉✒✷✒✈✒P✒❅✒➊✒➋, ✿✒❑ Res((x − a)f, g) = g(a) Res(f, g). 2. ✎ f(x) = a(x − x1)· · ·(x − xn), g(x) = b(x − y1)· · ·(x − ym). ✜✣✢: Res(f, g) = a m Qn i=1 g(xi) = (−1)mnb n Qm j=1 f(yj ) = a mb n Qn i=1 Qm j=1 (xi − yj ). ✭✒✮: Res(f, g)= a m Res((x − x1)· · ·(x − xn), g(x)) = a mg(x1) Res((x − x2)· · ·(x − xn), g(x)) = a mg(x1)g(x2)· · · g(xn) = a mb n Qn i=1 Qm j=1 (xi − yj ) = (−1)mnb n Qm j=1 f(yj ). 3. ✜✣✢: Res(f(x), g1(x)g2(x)) = Res(f(x), g1(x)) Res(f(x), g2(x)). ✭✒✮: ✎ g1(x) = a0(x − a1)· · ·(x − an), g2(x) = b0(x − b1)· · ·(x − bm), ✪ Res(f, g1g2) = (−1)deg f(deg g1g2) Res(g1g2, f) = (−1)deg f(deg g1g2) a deg f 0 b deg f 0 Yn i=1 f(ai) Ym j=1 f(bj ) = (−1)deg f(deg g1g2) Res(g1, f) Res(g2, f) = Res(f, g1) Res(f, g2). 4. ✎ f ✴✒➌P✒✙✒✚✒✛, ✜✣✢: ❭✒➍✒➎✒✙✒✚✒✛ h, Res(f, g) = Res(f, g + hf). · 6 ·