iman=r>1,则∑a4发散 证明:设m乳an=r<1,取E>0使r+E<1,由上极限定义知,彐N,使n>N时 n<r+E,因此an<(+E)”.但∑(r+E)收敛,由比较判别法得∑a收敛 如果lm r>1,则存在an的子列an,使an≥1.显然an不趋于零,级数发散 思考题:达郎倍尔判别法能否用哥西判别法的形式,用上极限给出?应该怎样表述? 例3.3.6:设a>0,b>0为常数,定义级数 1+a+ab+ab2+a2b2+…+a"b+a"b"+… 试问a,b在什么样条件下级数收敛 解:令 a2b2,n为奇数 a2b2,n为偶数 则级数为∑xn而 xnja,m为奇数 xn1b,n为偶数 因此mxn=max{a,b},得a<Lb<1时级数收敛.而mx=mmta,b},得 n→+∞X a>1b>1时级数发散.(由级数∑xn的定义,这点显然) 如果用哥西判别法则有mxn=√mb因此ab<1时级数收敛,ab>1时级数发 散,ab=1时xn不趋于零,级数显然也发散 在上例中哥西判别法给出的收敛范围包含了达郎倍尔判别法的结果这一点并非偶然 事实上我们有下面命题55 lim = > 1 ®+¥ a r n n n , 则å +¥ k =0 ak 发散. 证明：设 lim = < 1 ®+¥ a r n n n , 取e > 0使r +e <1, 由上极限定义知, $N , 使n > N 时 a < r + e n n , 因此 n n a < (r + e ) . 但å +¥ = + 0 ( ) k k r e 收敛, 由比较判别法, 得å +¥ k =0 ak 收敛. 如果 lim = > 1 ®+¥ a r n n n , 则存在an 的子列 nk a , 使 ³ 1 nk a . 显然an 不趋于零, 级数发散. 思考题：达郎倍尔判别法能否用哥西判别法的形式, 用上极限给出？应该怎样表述？ 例 3. 3. 6：设a > 0, b > 0 为常数, 定义级数 1+ a + ab + ab2 + a 2 b 2 +L+ a n b n-1 + a n b n +L. 试问a, b 在什么样条件下级数收敛. 解：令 ï î ï í ì = - - - . , , , 2 1 2 2 1 2 1 为偶数 为奇数 a b n a b n x n n n n n 则级数为å +¥ n=1 xn . 而 î í ì = + . , , , 1 为偶数 为奇数 b n a n x x n n 因此 lim max{ , } 1 a b x x n n n = + ®+¥ , 得 a < 1, b < 1 时级数收敛. 而 lim min{ , } 1 a b x x n n n = + ®+¥ , 得 a > 1, b > 1时级数发散. （由级数å +¥ n=1 xn 的定义, 这点显然. ） 如果用哥西判别法, 则有 n xn ab n = ®+¥ lim . 因此ab <1时级数收敛, ab >1时级数发 散, ab =1时 n x 不趋于零, 级数显然也发散. 在上例中哥西判别法给出的收敛范围包含了达郎倍尔判别法的结果, 这一点并非偶然. 事实上我们有下面命题