第一章数项级数 1.1数项级数及其与序列极限和无穷积分的关系 设{an}是一个给定的序列我们称形式和∑a=a1+a2+…为序列{an}的数项级 数或无穷级数.我们希望将加法从有限个数的和推广到无穷,即希望求序列{an}的和 令Sn=∑a=a1+a2+…+an,s称为级数∑a4的部分和 如果序列{sn}是收敛的,则称∑a收敛,定义其和为∑a=msn 如果序列msn=土,则称∑a发散到±∞,记为∑a4=士 如果序列lmsn不存在,则称∑a发散,其和无意义 例等比级数∑2,其部分和sn=号c=1-q lim s= 级数∑cq收敛,∑cq4 当21时,∑cq4=+当q=-1c≠0时,∑c=c-c+c-c+…其发 散 当 cq 例通常一个实数r∈R可表示为无穷小数r=a0a1a2…,其中a0∈Z,0≤a1≤9 利用级数可将r表示为r=∑4 例3.1:1证明∑ k+收就并求其和
46 第一章 数项级数 §1. 1 数项级数及其与序列极限和无穷积分的关系 设{ } an 是一个给定的序列, 我们称形式和å = + +L +¥ = 1 2 1 a a a k k 为序列{ } an 的数项级 数或无穷级数. 我们希望将加法从有限个数的和推广到无穷, 即希望求序列{ } an 的和. 令 n n n k sn ak a1 a2 a , s 1 = å = + + + = L 称为级数å +¥ k=1 ak 的部分和. 如果序列{ }n s 是收敛的, 则称å +¥ k=1 ak 收敛, 定义其和为 n k n åak s +¥ = ®+¥ = 1 lim ； 如果序列 = ±¥ ®+¥ n n lim s , 则称å +¥ k=1 ak 发散到± ¥ , 记为å = ± ¥ +¥ k=1 ak ； 如果序列 n n s ®+¥ lim 不存在, 则称å +¥ k=1 ak 发散, 其和无意义. 例 等比级数 å +¥ k =0 k cq , 其部分和 å= + - - = = n k n k n q q s cq c 0 1 1 1 . 当 q <1 时 q c s n n - = ® +¥ 1 lim , 级数å +¥ k =0 k cq 收敛, q c cq k k - å = +¥ =0 1 . 当 q ³1 时, å +¥ = = +¥ k 0 k cq . 当q = -1, c ¹ 0 时, å +¥ = = - + - + k 0 k cq c c c c L 其发 散. 当q < -1时, å = = ¥ +¥ = ®+¥ n k n k cq s 0 lim . 例 通常一个实数r Î R 可表示为无穷小数 r = a0 .a1a2L, 其中a0 Î Z,0 £ ai £ 9 . 利用级数可将r 表示为 å +¥ = = k 0 10k k a r . 例 3. 11：证明å +¥ =1 ( +1) 1 k k k 收敛, 并求其和
证明:级数的部分和sn=∑ 因此 k(k+1)(kk+1 k(k+1)=加msn 例3.1.2:任给x∈R,证明级数∑收敛,并求其和 证明:利用函数f(x)=e的 Taylor公式,对于任意n,存在日n,0<n<1,使得 0<e xx”c<-xe,因而lm k!(n+1)(n+1) kI 我们将级数∑a的收敛和求和问题化为由其部分和构成的序列{sn}的收敛和求极限 问题.利用序列极限的性质容易得到 定理3.1如果∑a,∑b收敛,则vc∈R,∑ca和(a+b2)收敛并且 ∑a,∑(a+b)=∑a+∑ 定理312:如果∑an收敛,则 lim a=0 证明:由an=Sn-Sn an收敛等价于{sn}收敛因此 lim a,= lim(s,-Sn=lim s,-lim s_=0 设{Sn}是一给定的序列,定义a1=S,ak=Sk-Sk-1,k=2,3,…则{Sn}是级数 ∑a的部分和构成的序列因此}的收敛和求极限问题就是级数∑a的收敛和求和 问题.所以序列和级数是表示极限理论的两个等价的工具.但另一方面级数作为加法的推广 又有其自身独特的问题、特点和研究方法.例如我们可以将级数看作一个无穷积分
47 证 明 ： 级数的部分和 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 + ÷ = - ø ö ç è æ + = - + = å å = k k = k k n s n k n k n , 因 此 å +¥ = ®+¥ = = 1 + lim 1 ( 1) 1 k n n s k k . 例 3. 1. 2：任给x Î R , 证明级数å +¥ =0 ! k k k x 收敛, 并求其和. 证明：利用函数 x f (x) = e 的 Taylor 公式, 对于任意n , 存在qn , 0 < qn < 1, 使得 x n x n n k k x e n x e n x k x e ! ( 1)! ( 1)! 0 1 0 + < + < - = + = å q , 因而 x n k k n e k x å = = ®+¥ 0 ! lim . 我们将级数 å +¥ k=1 ak 的收敛和求和问题化为由其部分和构成的序列{ }n s 的收敛和求极限 问题. 利用序列极限的性质容易得到 定理 3. 1. 1：如果å å +¥ = +¥ =1 1 , k k k ak b 收敛, 则"c Î R , å å( ) +¥ = +¥ = + 1 k 1 k k k cak和 a b 收敛并且 å å å( ) å å +¥ = +¥ = +¥ = +¥ = +¥ = = + = + 1 1 1 1 1 , k k k k k k k k k k cak c a a b a b . 定理 3. 1. 2：如果å +¥ n=1 an 收敛, 则 lim = 0 ®+¥ n n a . 证明：由 n = n - n-1 a s s , å +¥ n=1 an 收敛等价于{ }n s 收敛. 因此 lim lim ( ) lim lim 0 = - 1 = - -1 = ®+¥ ®+¥ - ®+¥ ®+¥ n n n n n n n n n a s s s s . 设 { }n s 是一给定的序列, 定义 a1 = s1 , ak = sk - sk-1 , k = 2,3,L . 则{ }n s 是级数 å +¥ k=1 ak 的部分和构成的序列. 因此{ }n s 的收敛和求极限问题就是级数 å +¥ k=1 ak 的收敛和求和 问题. 所以序列和级数是表示极限理论的两个等价的工具. 但另一方面级数作为加法的推广, 又有其自身独特的问题、特点和研究方法. 例如我们可以将级数看作一个无穷积分
定理3..3:设∑a是给定的级数,定义[O+∞)上的函数f(x)为f(x)=a4如果 x∈[k,k+1),则∑a收敛的充分必要条件是「,f(x)d收敛如果∑a收敛,则 ∑a=「"f(x)dk 证明:如果厂f(x)收敛则由∑a=sn=」 f(x)dx得 ∑a=lms=lmn∫"f()k=lmn「,f(x)k 反之,设∑a收敛,则对T∈(1+),有 ∫f(k=门/(k+m/(k=+(-pn 由∑a收敛知mna4=0.因此 lm∫/(对k=m+m(-pm1=lm=∑a 由这一定理,级数可以表示为无穷积分.因此我们可以利用上一章中给出的关于无穷积 分的许多方法和结果来研究级数 §3.2无穷级数的 Cauchy准则和绝对收敛性 设{sn}是级数∑a的部分和,利用序列极限的 Cauchy准则,我们不难得到级数收敛 的 Cauchy准则 定理3.2.1 Cauchy准则):级数∑an收敛的充分必要条件是vE>0,N,只要 n>Nk=012…,就有snk-sn|=km+…+ank|<E 证明:(思考题) 在 Cauchy准则中令k→+∞,则得
48 定理 3. 1. 3：设å +¥ k=1 ak 是给定的级数, 定义[0,+¥) 上的函数 f (x) 为 ak f (x) = . 如果 x Î[k, k + 1) , 则å +¥ k=1 ak 收敛的充分必要条件是 ò +¥ 1 f (x)dx 收敛. 如果 å +¥ k=1 ak 收敛, 则 å ò +¥ = +¥ = 1 1 ( ) k ak f x dx . 证明：如果ò +¥ 1 f (x)dx 收敛, 则由å ò + = = = 1 1 1 ( ) n n k ak sn f x dx 得 å ò ò +¥ ®+¥ + ®+¥ +¥ = ®+¥ = = = 1 1 1 1 a lim s lim f (x)dx lim f (x)dx n n n k n n k . 反之, 设å +¥ k=1 ak 收敛, 则对"T Î (1,+¥) , 有 [ ] [ ] [ ] ( [ ]) T [T ] T T T T f x dx = f x dx + f x dx = s + T - T a ò ò ò -1 1 1 ( ) ( ) ( ) . 由å +¥ k=1 ak 收敛知 lim = 0 ®+¥ k k a . 因此 [ ] ( [ ]) ò [ ] [ ] å +¥ = - ®+¥ ®+¥ - ®+¥ ®+¥ = + - = = 1 1 1 1 lim ( ) lim lim lim k T k T T T T T T T f x dx s T T a s a . 由这一定理, 级数可以表示为无穷积分. 因此我们可以利用上一章中给出的关于无穷积 分的许多方法和结果来研究级数. §3. 2 无穷级数的 Cauchy 准则和绝对收敛性 设{ }n s 是级数å +¥ k=1 ak 的部分和, 利用序列极限的 Cauchy 准则, 我们不难得到级数收敛 的 Cauchy 准则. 定理 3. 2. 1（Cauchy 准则）：级数 å +¥ n=1 an 收敛的充分必要条件是 "e > 0, $N , 只要 n > N, k = 0,1,2L, 就有 - = + + < e n+k n an+ an+k s s 1 L . 证明：（思考题）. 在 Cauchy 准则中令k ® +¥, 则得
定理322:如果∑an收敛,则对vE>0,3N,只要n>N,就有∑a0.∑不满足 Cauchy准则,因而∑发散由 0得 k =+ k=1 sin kx 例3.2.2:Vx∈R,证明 收敛 证明:由 sin(n+1)x n(n+k)x 1 ≤ 因 此VE>0,取N使N,k=0,1,2…时恒有 sin(n+I)x sin(n+k)x n+1 0,玉N,只要n>N,k=02 就有an+…+{nk<E.但
49 定理 3. 2. 2：如果å +¥ n=1 an 收敛, 则对"e > 0, $N , 只要n > N , 就有 å + + + = + + n n n n n n L L . 令 2 1 e0 = , 则对 任意 n , 有 0 2 1 1 1 1 + + > e + + n n n L . å +¥ =1 1 k k 不满足 Cauchy 准则, 因而 å +¥ =1 1 k k 发散. 由 0 1 > k 得å = +¥ +¥ =1 1 k k . 例 3. 2. 2："x Î R , 证明å +¥ =0 2 sin k k kx 收敛. 证明：由 n k n n k n n k n n x n k x 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 sin( ) 2 sin( 1) 1 1 1 1 0, 取N 使 N, k = 0,1,2L时恒有 0, $N , 只要n > N, k = 0,1,2L, 就有 + + < e an+1 L an+k . 但
因而∑a满足 Cauchy准则,得∑a收敛 类似于无穷积分,我们有下面定义 定义325:如果∑收敛则称∑a绝对收敛;如果∑a收敛而∑a|=+∞, k=1 k=1 则称∑ak条件收敛 在无穷积分中我们知道∫在是条件收敛的现令a4=2,则 ak dx收敛 ∑|a|= (+D)sin x 因而∑a4不是绝对收敛的 §3.3正项级数 如果对于k=1,2,3…,恒有a>0,则级数∑a1称为正项级数:如果a1≥0,则称 为非负项级数例如∑a是任意项级数,则∑/a|是正项级数 如果∑a1是非负项级数则其部分和,=∑a是单调上升序列,因而仅有两种可能 或者∑a收敛,即{sn}有界:或者∑a=+∞.因此对正项级数,我们通常用一些已知其 收敛和发散性的级数作为标准级数,用以和一般级数进行比较建立收敛的各种判别法 比较判别法:设∑an和∑b都是正项级数,如果存在常数c使n充分大后,有
50 an+1 +L+ an+k £ an+1 +L+ an+k , 因而å +¥ k=1 ak 满足 Cauchy 准则, 得å +¥ k=1 ak 收敛. 类似于无穷积分, 我们有下面定义. 定义 3. 2. 5：如果å +¥ k=1 ak 收敛, 则称å +¥ k=1 ak 绝对收敛；如果å +¥ k=1 ak 收敛, 而å = +¥ +¥ k=1 ak , 则称å +¥ k=1 ak 条件收敛. 在无穷积分中我们知道 ò +¥ p dx x sin x 是条件收敛的. 现令 ò + = p p (k 1) sin k k dx x x a , 则 å ò +¥ +¥ = = p dx x x a k k sin 1 收敛. 但 å å ò åò ò +¥ = + +¥ +¥ = +¥ = + = = = = +¥ 1 ( 1) ( 1 1 ( 1) sin sin sin k k k k k k k k dx x x dx x x dx x x a p p p p p , 因而å +¥ k=1 ak 不是绝对收敛的. §3. 3 正项级数 如果对于 k = 1,2,3L, 恒有ak > 0, 则级数å +¥ k=1 ak 称为正项级数；如果 ak ³ 0 , 则称 å +¥ k=1 ak 为非负项级数. 例如å +¥ k=1 ak 是任意项级数, 则å +¥ k=1 ak 是正项级数. 如果å +¥ k =0 ak 是非负项级数, 则其部分和 å= = n k sn ak 0 是单调上升序列, 因而仅有两种可能. 或者å +¥ k =0 ak 收敛, 即{ }n s 有界；或者å = + ¥ +¥ k=1 ak . 因此对正项级数, 我们通常用一些已知其 收敛和发散性的级数作为标准级数, 用以和一般级数进行比较, 建立收敛的各种判别法. 比较判别法：设 å +¥ n=1 an 和 å +¥ n=1 bn 都是正项级数, 如果存在常数 c 使 n 充分大后, 有
a,≤cb,,则 (1)如果∑b收敛,则∑an收敛 (2)如果∑a发散,则∑bn发散 证明:不妨设对所有n,都成立an≤cb,因此,对任意n,∑an≤C∑b如果 ∑收敛则∑b}有果因而{∑}有界得应a收敛 利用比较判别法不难得到 定理33.1:设∑an和∑bn都是正项级数,设m=1,则 →∞ 1.0<l<+∞时, b同时收敛或发散 2.如果=0,并且∑bn收敛则∑a收敛 3如果l=+∞,并且∑bn发散,则∑a发散 如果我们将收敛级数∑an的通项an构成的序列{an}看作无穷小序列,则上面定理可 表示为同阶无穷小构成的正项级数同时收敛或者同时发散:如果低阶无穷小构成的正项级数 收敛,则高阶无穷小构成的正项级数也收敛:如果高阶无穷小构成的正项级数发散,则低阶 无穷小构成的正项级数也发散 例33.1:证明∨x∈R,2in绝对收敛 证明:由lm 因此 是 2 3415}的同阶无穷小(x≠0)
51 n n a £ cb , 则 （1） 如果å +¥ n=1 bn 收敛, 则å +¥ n=1 an 收敛； （2） 如果å +¥ n=1 an 发散, 则å +¥ n=1 bn 发散. 证明：不妨设对所有n , 都成立 n n a £ cb . 因此, 对任意n , å å +¥ = +¥ = £ 1 n 1 n n an c b . 如果 å +¥ n=1 bn 收敛, 则 þ ý ü î í ì å= n k bk 1 有界, 因而 þ ý ü î í ì å= n k ak 1 有界, 得å +¥ n=1 an 收敛. 利用比较判别法不难得到 定理 3. 3. 1：设å +¥ n=1 an 和å +¥ n=1 bn 都是正项级数, 设 l b a n n n = ®+¥ lim , 则 1. 0 < l < +¥时, å +¥ n=1 an 和å +¥ n=1 bn 同时收敛或发散； 2. 如果l = 0 , 并且å +¥ n=1 bn 收敛, 则å +¥ n=1 an 收敛； 3. 如果l = +¥ , 并且å +¥ n=1 bn 发散, 则å +¥ n=1 an 发散. 如果我们将收敛级数 å +¥ n=1 an 的通项 an 构成的序列{ } an 看作无穷小序列, 则上面定理可 表示为同阶无穷小构成的正项级数同时收敛或者同时发散；如果低阶无穷小构成的正项级数 收敛, 则高阶无穷小构成的正项级数也收敛；如果高阶无穷小构成的正项级数发散, 则低阶 无穷小构成的正项级数也发散. 例 3. 3. 1：证明"x Î R , å +¥ =1 3 2 sin k k k x 绝对收敛. 证明：由 x x k k k k = ÷ ø ö ç è æ ®+¥ 3 2 3 2 sin lim , 因此 þ ý ü î í ì k k x 3 2 sin 是 ïþ ï ý ü ïî ï í ì ÷ ø ö ç è æ k 3 2 的同阶无穷小（ x ¹ 0 ）
或高阶无穷小(x=0).而∑/2)4 收敛,因此∑2sin绝对收敛 例3.3.2:证明级数 SI 在p≤1时发散,p>1时收敛 证明:p1时,121.但已知调和级数1=+0,因此1=+ n 当p>1时,在+∞)上定义函数8(x)=如果x∈团n+1)定义函数f(x)为 ∫(x)=1如果x∈(1,2) f(x)= 如果x∈[2,+∞),则在[,+∞)上 01时,f(x)dx收敛,利用广义积分的比较判别法 得厂“g()收但∑ N=」,g(x)x,因而p>1时 收敛 例3.3.3:讨论级数 的收敛性 解:令∫(x)=x-ln(1+x),则∫(0)=0,f'(x)=1 因此x>0时 1+x1+x ∫(x)>0,∫(x)单调递增。特别地,当x>0时有f(x)>f(0)=0.令x1得 1 是正项级数 利用洛必达法则,当x→0时将f(x)和x2进行比较,得Imf(x)=m1+S少 x→02x 即x→0时f(x)与x2是同阶无穷小特别地,令x=-,得{-h1+-与 同阶无穷小但已知总1收敛因此(1-1+1)收敛 k 为部分和,则
52 或高阶无穷小（ x = 0）. 而 k k å +¥ = ÷ ø ö ç è æ 1 3 2 收敛, 因此å +¥ =1 3 2 sin k k k x 绝对收敛. 例 3. 3. 2：证明级数å +¥ =1 1 n p n 在 p £ 1时发散, p > 1时收敛. 证明： p £ 1时, n n p 1 1 ³ . 但已知调和级数å +¥ = = +¥ 1 1 n n , 因此å +¥ = = +¥ 1 1 n p n . 当 p > 1 时 , 在 [1,+¥) 上定义函数 p n g x 1 ( ) = 如 果 x Î[n, n + 1) . 定义函数 f (x) 为 f (x) = 1 如 果 x Î (1,2) , p x f x ( 1) 1 ( ) - = 如 果 x Î[2,+¥) , 则 在 [1,+¥) 上 0 1时 ò +¥ 1 f (x)dx 收敛, 利用广义积分的比较判别法 得 ò +¥ 1 g(x)dx 收敛, 但å ò +¥ +¥ = = 1 1 ( ) 1 g x dx n n p , 因而 p > 1时å +¥ =1 1 n p n 收敛. 例 3. 3. 3：讨论级数å +¥ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ - + 1 1 ln 1 1 n n n 的收敛性. 解：令 f (x) = x - ln(1+ x) , 则 f (0) = 0 , x x x f x + = + ¢ = - 1 1 1 ( ) 1 . 因此 x > 0 时 f ¢(x) > 0 , f (x) 单调递增. 特别地, 当 x > 0 时有 f (x) > f (0) = 0 . 令 n x 1 = , 得 0 1 ln 1 1 ÷ > ø ö ç è æ - + n n , å +¥ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ - + 1 1 ln 1 1 n n n 是正项级数. 利用洛必达法则, 当 x ® 0 时将 f (x) 和 2 x 进行比较, 得 2 1 2 1 lim ( ) lim 0 2 0 = + = ® + ® + x x x x f x x x , 即 x ® 0 时 f (x) 与 2 x 是同阶无穷小. 特别地, 令 n x 1 = , 得 þ ý ü î í ì ÷ ø ö ç è æ - + n n 1 ln 1 1 与 þ ý ü î í ì 1 2 n 是 同阶无穷小. 但已知å +¥ =1 2 1 n n 收敛, 因此å +¥ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ - + 1 1 ln 1 1 n n n 收敛. 令 å +¥ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ = - + 1 1 ln 1 1 n n n c , å= ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ = - + n k n k k s 1 1 ln 1 1 为部分和, 则
k+1 In(n+1) k 得∑大=(n+1)+c+an其中,→0是无穷小如果用hn代替1(n+D),上式可表 示为∑=n+C+a,即→+时调和级数y 与hn是等价无穷小.上式中c称 为欧拉( Euler)常数.利用其它方法可得 C=0.57721566490 为了与某些给定的标准级数进行比较,我们通常将比较判别法表示为 比较判别法:设∑a,∑b是正项级数,如果n充分大时分。bm,则当 bn收敛时,∑an收敛: 发散时 发散 证明:由于改变一个级数的有限项不影响其收敛和发散性,因此不妨设对于n=1,2,3 恒有 anb,特别地a_ana 因此an≤,bn,我们的定理就是前面的比较判别法 利用等比级数∑cq”作为标准级数,用以判别其它级数的收敛和发散性,我们可以建 立下面的达郎倍尔( D Alembert)判别法 达郎倍尔判别法:设∑an是正项级数,如果lmg=r1,则>an发散 证明:设lman=r0使r+EN时, (r+E) <P十E 但r+E<1,因而∑(+6)”收敛,得∑an收敛 (r+E)
53 ln( 1) 1 1 ln 1 1 1 1 ÷ = - + ø ö ç è æ + = å -å å = = = n k k k k s n k n k n k n , 得 n n k n c k å = + + +a = ln( 1) 1 1 , 其中an ® 0是无穷小. 如果用ln n 代替ln( n + 1) , 上式可表 示为 n n k n c k å = + +a = ln 1 1 , 即n ® +¥ 时调和级数 å= n k 1 k 1 与ln n 是等价无穷小. 上式中 c 称 为欧拉（Euler）常数. 利用其它方法可得 c = 0.57721566490L. 为了与某些给定的标准级数进行比较, 我们通常将比较判别法表示为 比较判别法：设å +¥ n=1 an , å +¥ n=1 bn 是正项级数, 如果n 充分大时恒有 n n n n b b a a +1 +1 £ , 则当 å +¥ n=1 bn 收敛时, å +¥ n=1 an 收敛；å +¥ n=1 an 发散时, å +¥ n=1 bn 发散. 证明：由于改变一个级数的有限项不影响其收敛和发散性, 因此不妨设对于n = 1,2,3L 恒有 n n n n b b a a +1 +1 £ . 特别地, 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 b b b b b b b b a a a a a a a a n n n n n n n n n n = × × × £ × × × = - - - - - - L L . 因此 n bn b a a 1 1 £ . 我们的定理就是前面的比较判别法. 利用等比级数å +¥ n=0 n cq 作为标准级数, 用以判别其它级数的收敛和发散性, 我们可以建 立下面的达郎倍尔（D’Alembert）判别法. 达郎倍尔判别法：设å +¥ n=0 an 是正项级数, 如果 lim 1 1 = + ®+¥ r a a n n n , 则å +¥ n=0 an 发散. 证明：设 lim 1 1 = 0使r +e N 时, 有 n n n n r r r a a ( ) ( ) 1 1 e e e + + < + = + + , 但r +e <1, 因而å +¥ = + 0 ( ) n n r e 收敛, 得å +¥ n=0 an 收敛
设mam=r>1,取ε>0使r-E>1,则彐N,当n>N时,有 a.>F-E=(-)",但∑(-)”发散,由比较判别法∑an发散 例3.3.4:讨论级数∑一的收敛性 计1时x收数时1时时发散容易看出1时→,因此工显然 n 发散当=1时,达郎倍尔判别法不能判别其是否收敛 例33.5:讨论级数∑ 的收敛性 解:x=0时显然收敛.设x≠0,则 n+1 +1 n n 因此lm 得e时由ln|>n,得|a单调上 升,因而不趋于零,级数发散.当团=e时,lmP=1,达郎倍尔判别法不能判别其是 否收敛 同样以等比级数∑cq为标准级数,我们有下面的哥西判别法 哥西判别法:设∑a是正项级数,如果man=r<1,则∑a收敛:如果
54 设 lim 1 1 = > + ®+¥ r a a n n n , 取 e > 0 使 r -e >1 , 则 $N , 当 n > N 时 , 有 n n n n r r r a a ( ) ( ) 1 1 e e e - - > - = + + , 但å +¥ = - 0 ( ) n n r e 发散, 由比较判别法å +¥ n=0 an 发散. 例 3. 3. 4：讨论级数å +¥ n=1 n n x 的收敛性. 解 ： x n n n x n x a a n n n n 1 1 1 1 + = + = + + , 因此 x a a n n n = + ®+¥ 1 lim . 由达郎倍尔判别法得, x 1时å +¥ n=1 n n x 发散. 容易看出 x >1时 ® ¥ n x n , 因此å +¥ n=1 n n x 显然 发散. 当 x =1时, 达郎倍尔判别法不能判别其是否收敛. 例 3. 3. 5：讨论级数å +¥ = ÷ ø ö ç è æ 1 ! n n n x n 的收敛性. 解：x = 0时显然收敛. 设x ¹ 0 , 则 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 1 ( 1)! ( 1) 1 1 - + + + ÷ ø ö ç è æ + ÷ - ø ö ç è æ + = - ÷ ø ö ç è æ + ÷ = - ø ö ç è æ + = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = + n n n n n n n n n x n x n n x n x n n x n a a 因此 e x a a n n n = + ®+¥ 1 lim , 得 x e 时由 an+1 > an , 得 an 单调上 升, 因而不趋于零, 级数发散. 当 x = e时, lim 1 1 = + ®+¥ n n n a a , 达郎倍尔判别法不能判别其是 否收敛. 同样以等比级数å +¥ k =0 k cq 为标准级数, 我们有下面的哥西判别法. 哥西判别法 ：设 å +¥ k =0 ak 是正项级数 , 如果 lim = < 1 ®+¥ a r n n n , 则 å +¥ k =0 ak 收敛；如果
iman=r>1,则∑a4发散 证明:设m乳an=r0使r+EN时 n1,则存在an的子列an,使an≥1.显然an不趋于零,级数发散 思考题:达郎倍尔判别法能否用哥西判别法的形式,用上极限给出?应该怎样表述? 例3.3.6:设a>0,b>0为常数,定义级数 1+a+ab+ab2+a2b2+…+a"b+a"b"+… 试问a,b在什么样条件下级数收敛 解:令 a2b2,n为奇数 a2b2,n为偶数 则级数为∑xn而 xnja,m为奇数 xn1b,n为偶数 因此mxn=max{a,b},得a1b>1时级数发散.(由级数∑xn的定义,这点显然) 如果用哥西判别法则有mxn=√mb因此ab1时级数发 散,ab=1时xn不趋于零,级数显然也发散 在上例中哥西判别法给出的收敛范围包含了达郎倍尔判别法的结果这一点并非偶然 事实上我们有下面命题
55 lim = > 1 ®+¥ a r n n n , 则å +¥ k =0 ak 发散. 证明：设 lim = 0使r +e N 时 a 1 ®+¥ a r n n n , 则存在an 的子列 nk a , 使 ³ 1 nk a . 显然an 不趋于零, 级数发散. 思考题：达郎倍尔判别法能否用哥西判别法的形式, 用上极限给出？应该怎样表述？ 例 3. 3. 6：设a > 0, b > 0 为常数, 定义级数 1+ a + ab + ab2 + a 2 b 2 +L+ a n b n-1 + a n b n +L. 试问a, b 在什么样条件下级数收敛. 解：令 ï î ï í ì = - - - . , , , 2 1 2 2 1 2 1 为偶数 为奇数 a b n a b n x n n n n n 则级数为å +¥ n=1 xn . 而 î í ì = + . , , , 1 为偶数 为奇数 b n a n x x n n 因此 lim max{ , } 1 a b x x n n n = + ®+¥ , 得 a 1, b > 1时级数发散. （由级数å +¥ n=1 xn 的定义, 这点显然. ） 如果用哥西判别法, 则有 n xn ab n = ®+¥ lim . 因此ab 1时级数发 散, ab =1时 n x 不趋于零, 级数显然也发散. 在上例中哥西判别法给出的收敛范围包含了达郎倍尔判别法的结果, 这一点并非偶然. 事实上我们有下面命题