北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第五章 5.1 双线性函数 5.1.3 线性空间上的对称双线性函数、二次型函数的定义 5.2 二次型 5.2.1 数域上的二次型的定义，二次型 5.2.2 二次型化为标准形的计算方法（配方法）

第一学期第三十次课 513线性空间上的对称双线性函数、二次型函数的定义 定义若∫为上的双线性函数且f(a,B)=f(B,a),则称f为上的对称双线性函 数 命题f为对称双线性函数,当且仅当∫在任意一组基下的矩阵为对称矩阵,当且仅当 ∫在某一组基下的矩阵为对称矩阵。 证明任取V的一组基E1,E2…,En,任取a,B∈V,设它们在此组基下的坐标所构成 的列向量分别为X和Y,∫在此组基下的矩阵记为A,若∫为对称双线性函数,则由定义 f(a,B)=f(B,a),于是XAY=YAX,即有X'AY=X'AY,f双线性,则A=A' 反过来,若在任意一组基下的矩阵为对称矩阵,则f(a,B)=f(B,a),第一个充要性得证。 若∫在某组基E1E2…,5n下的矩阵为对称矩阵,记为A,任取V的另一组基n12…,n, 设从E1,E2,…,En到71…n的过渡矩阵为T,则∫在n1,…,n下的矩阵为B=T'AT, 且B'=(T'AT)=T"A'T=T'AT=B,第二个充分必要性得证。证毕 定理数域K上的n维线性空间上的对称双线性函数的矩阵必合同于对角阵。 证明对n作归纳。n=1时命题成立。假设n-1时成立,对于n维线性空间,若对称 双线性函数∫恒等于零,则命题成立。若f不恒等于零,则存在a∈,使得f(a,a)≠0。 否则若a∈p 均有f(a,a)=0 则VB,y∈V, f(B+y,B+y)=f(B,B)+f(y,B)+f(B,y)+f(y,y)=0→f(B,y)=-f(y,B),f 对称,则∫(B,y)=0,与∫非零矛盾。取该a,即满足f(a,a)≠0。将其扩充为V的 组基,记为a,25…“5·=~( ,则∫(na)=0,于是∫在 f(a, a a,72,n3,…,n'下的矩阵为 取子空间M=L(n2,7∴…),将∫视为其上的对称线性函数,则由归纳假设,存在 组基B2,B3…,Bn使得∫l在此组基上的矩阵成对角形,于是易知∫在a,B2,B3…,Bn下 的矩阵成对角形。证毕 定义设f(a,B)是V内的一个对称双线性函数,我们定义Q(a)=f(a,a),称为 f(a,B)决定的二次型函数。如果在内取定一组基E1,E2…En,又令∫(E,E,)=a A=(aq),于是

第一学期第三十次课 5.1.3 线性空间上的对称双线性函数、二次型函数的定义 定义 若 f 为 V 上的双线性函数且 f f ( , ) ( , )     = ，则称 f 为 V 上的对称双线性函 数。 命题 f 为对称双线性函数，当且仅当 f 在任意一组基下的矩阵为对称矩阵，当且仅当 f 在某一组基下的矩阵为对称矩阵。 证明 任取 V 的一组基 1 2 , , , n    ，任取  , V ，设它们在此组基下的坐标所构成 的列向量分别为 X 和 Y ， f 在此组基下的矩阵记为 A ，若 f 为对称双线性函数，则由定义， f f ( , ) ( , )     = ，于是 X AY Y AX ' ' = ，即有 X AY X A Y ' ' ' = ，f 双线性，则 A A = ' ； 反过来，若在任意一组基下的矩阵为对称矩阵，则 f f ( , ) ( , )     = ，第一个充要性得证。 若 f 在某组基 1 2 , , , n    下的矩阵为对称矩阵，记为 A ，任取 V 的另一组基   n , , 1  ， 设从 1 2 , , , n    到   n , , 1  的过渡矩阵为 T ，则 f 在   n , , 1  下的矩阵为 B T AT = ' ， 且 B T AT T A T T AT B ' ( ' )' ' ' ' = = = = ，第二个充分必要性得证。证毕。 定理 数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的对称双线性函数的矩阵必合同于对角阵。 证明 对 n 作归纳。 n =1 时命题成立。假设 n−1 时成立，对于 n 维线性空间，若对称 双线性函数 f 恒等于零，则命题成立。若 f 不恒等于零，则存在  V ，使得 f ( , ) 0    。 否则若   V ，均有 f ( , ) 0   = ， 则    , V ， f f f f f f f ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , )                 + + = + + + =  = − ，f 对称，则 f ( , ) 0   = ，与 f 非零矛盾。取该  ，即满足 f ( , ) 0    。将其扩充为 V 的一 组基，记为 2 3 , , , ,     n 。 ( , ) ' ( , ) i i i f f       = − ， 则 ( ', ) 0 i f   = ，于是 f 在 2 3 , ', ', , '    n 下的矩阵为 ( , ) 0 0   f        ， 取子空间 M L = (   2 3 ', ', , ' n ) ，将 f 视为其上的对称线性函数，则由归纳假设，存在一 组基 2 3 , , ,   n 使得 |M f 在此组基上的矩阵成对角形，于是易知 f 在 2 3 , , , ,    n 下 的矩阵成对角形。证毕。 定义 设 f ( , )   是 V 内的一个对称双线性函数，我们定义 ( ) ( , ) Q f f    = ，称为 f ( , )   决定的二次型函数。如果在 V 内取定一组基 1 2 , , , n    ，又令 ( , ) i j ij f a   = ， A a = ( ij) ，于是

Q(a)=f(a,a)=∑∑axx 上式称为二次型函数在E1,E2…,En下的解析表达式。由定义可见,对称双线性函数与二次 型函数一一对应 第五章§2二次型 52l数域上的二次型的定义,二次型∫对应的二次型函数Q(a)的定义;二次型的矩 阵和秩的定义 定义设f(a,B)是数域K上的对称双线性函数∫=∑∑qx,其中(x,x2…x) 和(1,y2,…y)分别为a和B在某组基s,E2…,5n下的坐标, a=an∈K(v1sjsm)取B=a,则f(a,a)=∑∑ %M,称厂=x为 K上的一个n元二次型(即是一个二次齐次函数),其系数矩阵 称为此二次型的矩阵,A的秩r(称为此二次型的秩。而Q(a)=∑∑xx称为二次 型函数 定理数域K上的n元二次型在可逆变数替换下可以化为只有平方项的标准形。 522二次型化为标准形的计算方法(配方法) 分两种情况进行讨论。 (1)、二次型种由某个变量平方项的系数不为零,例如a1≠0,此时把二次型对x1进 行配方得 auxf+2a,x i=2j=2 1x1+ 作变数替换

1 1 ( ) ( , ) n n f ij i j i j Q f a x x    = = = =  （ ij ji a a = ） 上式称为二次型函数在 1 2 , , , n    下的解析表达式。由定义可见，对称双线性函数与二次 型函数一一对应。 第五章 §2 二次型 5.2.1 数域上的二次型的定义，二次型 f 对应的二次型函数 () Qf 的定义；二次型的矩 阵和秩的定义 定义 设 f ( , )   是数域 K 上的对称双线性函数 1 1 n n ij i i i j f a x y = = = ，其中 1 2 ( , , , ) n x x x 和 1 2 ( , , , ) n y y y 分别为  和  在某组基 1 2 , , , n    下的坐标， ( 1 , ) ij ji a a K i j n =     。取  = ，则 1 1 ( , ) n n ij i j i j f a x x   = = = ，称 1 1 n n ij i j i j f a x x = = = 为 K 上的一个 n 元二次型（即是一个二次齐次函数），其系数矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       称为此二次型的矩阵， A 的秩 r A( ) 称为此二次型的秩。而 1 1 ( ) n n f ij i j i j Q a x x  = = = 称为二次 型函数。 定理 数域 K 上的 n 元二次型在可逆变数替换下可以化为只有平方项的标准形。 5.2.2 二次型化为标准形的计算方法（配方法） 分两种情况进行讨论。 （1）、二次型种由某个变量平方项的系数不为零，例如 11 a  0 ，此时把二次型对 1 x 进 行配方得 2 11 1 12 1 2 1 1 2 2 2 12 1 11 1 2 11 11 2 2 2 2 , n n n n ij i j i j n n n n ij i j i j f a x a x x a x x a x x a a a x x x b x x a a = = = = = + + + +   = + + + +         作变数替换

VI=x1 x2 V2 Vn 反解为 V2 写成矩阵形式 0‖y 经过变数替换,二次型化作 a1+∑∑byy, 然后再对上式右边的n-1个变量继续进行计算。如果a1=0,而某个an≠0,则对x配方。 (2)、所有a=0(i=1,2…,n),而有一个an≠0(i<j,则作变数替换 =y +y x=yi-yi y(k≠i,j) 这就可以把二次型化为第一种情况

12 1 1 1 2 11 11 2 2 . n n n n a a y x x x a a y x y x  = + + +     =    = 反解为 12 1 1 1 2 11 11 2 2 . n n n n a a x y y y a a x y x y  = − − −     =    = 写成矩阵形式 12 1 1 1 11 11 2 2 1 1 1 0 0 n n n a a x y a a x y x y   − −               =             。 经过变数替换，二次型化作 2 11 1 2 2 n n ij i j i j a y b y y = = + ， 然后再对上式右边的 n−1 个变量继续进行计算。如果 11 a = 0 ，而某个 0 ii a  ，则对 i x 配方。 （2）、所有 0 ii a = （ i n =1, 2, , ），而有一个 0 ij a  （ i j  ），则作变数替换 , , ( , ). i i j j i j k k x y y x y y x y k i j  = +   = −   =  这就可以把二次型化为第一种情况