第三章幂级数 在函数级数∑un(x)中令un(x)=an(x-x)”,为最简单的幂级数,则我们得到形为 an(x-x0)”的函数级数,称之为x0处展开的幂级数.本章中我们将讨论幂级数的性质, 并证明从可导性而言,幂级数构成所有函数中最好的一类函数.幂级数更进一步的理论将在 《复变函数论》中讲授 从形式上看,幂级数∑an(x-x0)”是多项式的推广,利用变换x=x-x0,我们可 以仅考虑形如anx"的幂级数 §3.1幂级数的收敛半径 定理1设幂级数∑anx”在x收敛,则对于任意0≤r<x∑anx”在-r,门 上绝对一致收敛 证明:当x∈[-r,r]时,∑anx ∑anx收敛,因而anx→0, 得存在M,使对于任意n,恒有115M,因而x5M(但∑M收 敛,由控制收敛判别法,得∑anx"在r,门]上绝对一致收敛 设∑anx”是给定的幂级数,定义 R=sp{∑anx”在x收敛 由于x=0时总是收敛的,因而R是有意义的,并且0≤R≤+∞,R称为幂级数∑anx”的 收敛半径,其意义是
86 第三章 幂级数 在函数级数å +¥ =1 ( ) n un x 中令 n n n u (x) a (x x ) = - 0 ，为最简单的幂级数，则我们得到形为 å +¥ = - 0 0 ( ) n n an x x 的函数级数，称之为 0 x 处展开的幂级数. 本章中我们将讨论幂级数的性质， 并证明从可导性而言，幂级数构成所有函数中最好的一类函数. 幂级数更进一步的理论将在 《复变函数论》中讲授. 从形式上看，幂级数 å +¥ = - 0 0 ( ) n n an x x 是多项式的推广，利用变换 0 x = x - x ，我们可 以仅考虑形如å +¥ n =0 n an x 的幂级数. §3. 1 幂级数的收敛半径 定理 5. 1. 1：设幂级数å +¥ n =0 n an x 在 0 x 收敛，则对于任意0 0 £ r < x ，å +¥ n =0 n an x 在[-r,r] 上绝对一致收敛. 证明：当x Î [-r,r] 时， n n n n n n n x x a x a x ÷ ÷ ø ö ç ç è æ å = å +¥ = +¥ = 0 0 0 0 . å +¥ =0 0 n n an x 收敛，因而 0 an x0 n ® ， 得存在 M ，使对于任意n ，恒有 a x M n n 0 £ ，因而 n n n x r a x M ÷ ÷ ø ö ç ç è æ £ 0 . 但å +¥ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ n 0 0 n x r M 收 敛，由控制收敛判别法，得å +¥ n =0 n an x 在[-r,r] 上绝对一致收敛. 设å +¥ n =0 n an x 是给定的幂级数，定义 þ ý ü î í ì = å +¥ =0 sup n n n R x a x 在x收敛 . 由于 x = 0 时总是收敛的，因而 R 是有意义的，并且0 £ R £ +¥. R 称为幂级数å +¥ n =0 n an x 的 收敛半径，其意义是
定理51.2设R>0是幂级数∑anx”的收敛半径,则对于任意01时发散,因 而收敛半径为1,其在收敛区域(-1,1)的两个端点都是收敛的 达郎倍尔判别法可以用来求给定幂级数的收敛半径 定理513对给定的幂级数1x”,如果hm=P,则R=1 证明:如果lmn=p,则当一时 =px>1,anx"发散,因而R= 同理,我们也可用 Cauchy判别法给出幂级数的收敛半径 设R是幂级数∑anx”的收敛半径,则∑ax"在(-R,R)中任意闭区间上一致收敛 n=0
87 定理 5. 1. 2：设R > 0是幂级数å +¥ n =0 n an x 的收敛半径，则对于任意0 1时发散，因 而收敛半径为 1，其在收敛区域(-1,1) 的两个端点都是收敛的. 达郎倍尔判别法可以用来求给定幂级数的收敛半径. 定理 5. 1. 3：对给定的幂级数å +¥ n =0 n an x ，如果 = r + ®+¥ n n n a a 1 lim ，则 r 1 R = . 证明：如果 = r + ®+¥ n n n a a 1 lim ，则当 r 1 x 时 lim 1 1 1 = > + + ®+¥ x a x a x n n n n n r ，å +¥ n =0 n an x 发散，因而 r 1 R = . 同理，我们也可用 Cauchy 判别法给出幂级数的收敛半径. 设 R 是幂级数å +¥ n =0 n an x 的收敛半径，则 å +¥ n =0 n an x 在(-R, R) 中任意闭区间上一致收敛
(称∑anx在(-RR)上内闭一致收敛).∑anx”在[-RR外发散,在±R处可能发 H=0 散也可能收敛 定理5.1 a"在R(-R)处收敛的充分必要条件是∑ax”在[0R) ((-R0])上一致收敛 证明:设∑a1x收敛则x∈[0时、anx=∑aRR2a,R”收敛 因而对x∈[0R)一致收敛而(x在x∈[0,R)时是单调有界的,由Ab判别法,得 ∑anx"在[O.,R)上一致收敛 反之,设∑an1x”在[0,R)上一致收敛,由 Cauchy准则,V6>0,N,使 n>Nk=12…时,有∑ax<E在[,R)上成立.令x→R,得∑a|sE ∑anR"满足 Cauchy准则,因而收敛 §5.2收敛幂级数的性质 函数∫(x)称在点x处可展为幂级数,如果存在幂级数∑an(x-x0)使在x0邻域上 f(x)=∑an(x-x0)”这时∑an(x-x)”称为f(x)在x0处的 Taylor级数.如果 xo=0,则其又称为∫(x)的 Maclaurin(麦克劳林)级数.称∫(x)在(a,b)上可展为幂级 数如果∫(x)在(an,b)的每一点都可展为幂级数 下面定理是关于收敛幂级数的基本定理 定理521:幂级数∑a(x-x0)”与其逐项求导所得的幂级数
88 （称å +¥ n =0 n an x 在(-R, R) 上内闭一致收敛）. å +¥ n =0 n an x 在[-R,R]外发散，在 ± R 处可能发 散也可能收敛. 定理 5. 1. 4：å +¥ n =0 n an x 在 R （ - R ）处收敛的充分必要条件是å +¥ n =0 n an x 在[0, R) （(-R,0]）上一致收敛. 证明：设å +¥ n =0 n an x 收敛，则 x Î[0, R) 时，å å +¥ = +¥ = ÷ ø ö ç è æ = 0 n 0 n n n n n n R x a x a R . å +¥ n=0 n anR 收敛， 因而对 x Î[0, R) 一致收敛. 而 n R x ÷ ø ö ç è æ 在 x Î[0, R) 时是单调有界的，由 Abel 判别法，得 å +¥ n =0 n an x 在[0, R) 上一致收敛. 反 之 ， 设 å +¥ n =0 n an x 在 [0, R) 上一致收敛， 由 Cauchy 准 则， "e > 0, $N ， 使 n > N, k = 1,2,L 时，有 å < e + = n k i n i i a x 在 [0, R) 上成立. 令 x ® R ，得 å £ e + = n k i n i aiR . å +¥ n =0 n anR 满足 Cauchy 准则，因而收敛. §5. 2 收敛幂级数的性质 函数 f ( x) 称在点 0 x 处可展为幂级数，如果存在幂级数å +¥ = - 0 0 ( ) n n an x x 使在 0 x 邻域上 å +¥ = = - 0 0 ( ) ( ) n n f x an x x . 这时å +¥ = - 0 0 ( ) n n an x x 称为 f ( x) 在 0 x 处的 Taylor 级数. 如果 x0 = 0 ，则其又称为 f ( x) 的 Maclaurin（麦克劳林）级数. 称 f ( x) 在(a, b) 上可展为幂级 数. 如果 f ( x) 在(a, b) 的每一点都可展为幂级数. 下面定理是关于收敛幂级数的基本定理. 定理 5. 2. 1：幂级数å +¥ = - 0 0 ( ) n n an x x 与其逐项求导所得的幂级数
有相同的收敛半径 证明:利用洛必达法则易得→1.因此lmmk=m=y 设∫(x)=∑an(x-x0)”是f(x)在x处展开的幂级数,设∑an(x-x0)”的收敛 半径为R,则对于任意0<r<R,∑an(x-x0)”与∑man(x-x0)”都在[-r,n]上 一致收敛,因此f(x)可导并可逐项求导但另一方面,∑nan(x-x0)逐项求导所得 的幂级数与∑nan(x-x0)”仍有相同的收敛半径因此仍然可以逐项求导,以此类推, 我们得到 定理5.2.2:设f(x)在(x0-R,x+R)上可展为收敛半径为R的幂级数 f(x)=∑an(x-x0)”,则∑a1(x-x0)”任意阶逐项求导所得的幂级数有相同的收敛 半径R,因此f(x)任意阶可导,并且fm(x) 特别地,如果令 x=x,则得an=1rm a (x )=∑ (x-x0) n 以C"(a,b)表示(a,b)上可展为幂级数的函数全体.上面定理表示 (a,b)cC"(a,b).但反之并不成立 例:令/(x)=Je,x≠0,利用洛必达法则我们知道,f(x)任意阶可导, 0, 并且f((0)=0,n=0,1,2,….如果f(x)在x=0处可展为幂级数,则必须
89 å å +¥ = - +¥ = = - ¢ ÷ ø ö ç è æ - 0 1 0 0 0 ( ) ( ) n n n n n n a x x na x x 有相同的收敛半径. 证明：利用洛必达法则易得 ® 1 n n . 因此 n n n n n n n a a ®+¥ ®+¥ lim = lim . 设 å +¥ = = - 0 0 ( ) ( ) n n f x an x x 是 f ( x) 在 0 x 处展开的幂级数，设 å +¥ = - 0 0 ( ) n n an x x 的收敛 半径为 R ，则对于任意 0 < r < R ， å +¥ = - 0 0 ( ) n n an x x 与å +¥ = - - 0 1 0 ( ) n n nan x x 都在[-r,r] 上 一致收敛，因此 f ( x) 可导并可逐项求导. 但另一方面， å +¥ = - - 0 1 0 ( ) n n nan x x 逐项求导所得 的幂级数与å +¥ = - - 0 1 0 ( ) n n nan x x 仍有相同的收敛半径. 因此仍然可以逐项求导，以此类推， 我们得到 定 理 5. 2. 2 ： 设 f ( x) 在 ( , ) x0 - R x0 + R 上可展为收敛半径为 R 的幂级数 å +¥ = = - 0 0 ( ) ( ) n n f x an x x ，则å +¥ = - 0 0 ( ) n n an x x 任意阶逐项求导所得的幂级数有相同的收敛 半径 R . 因此 f ( x) 任意阶可导，并且 å( ) +¥ = = - 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) n n m n m f x a x x . 特别地，如果令 0 x = x ，则得 ( ) ! 1 0 ( ) f x n a n n = ，即 å å +¥ = +¥ = - = - 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) ! ( ) ( ) n n n n n n x x n f x a x x . 以 C (a,b) w 表 示 (a,b) 上可展为幂级数的函数全体 . 上面定理表示 C (a,b) C (a,b) ¥ Ì w . 但反之并不成立. 例 5. 2. 1：令 ïî ï í ì = ¹ = - 0, 0. , 0, ( ) 2 1 x e x f x x 利用洛必达法则我们知道， f ( x) 任意阶可导， 并 且 f ( n) (0) = 0, n = 0,1,2,L . 如 果 f ( x) 在 x = 0 处可展为幂级数 ， 则必须
(x)=∑”0x在x=0的邻域成立但芝/"0x=0,矛盾因而f(x)在 n x=0的邻域上不能展为幂级数 例5.2.2:令f(x) 则对于任意x0≠1 f(x)= xo-(x-xo)1-xo 1_x-Xo h201-xo(1-xo 在(1,2x0-1)上成立,因而f(x)在(-∞1),(1+∞)上可展为幂级数 §5.3基本初等函数的幂级数展开 设f(x)在区间(a,b)上任意阶可导设xo∈(a,b),利用∫(x)在x处的导数,则我 们得幂级数 (x-x)”.如果∫(x)可在x0的邻域上展为幂级数,则在此邻域上 必须f(x)=∑ f"(x0) (x-x0)”,即幂级数展开是唯一的.但要使 nk x)= f"(x)(x-x) 必须 lim f(x) f6(x) k(x-x)4|=0 令 R, (x)=f(x) (x) (x-x0), k Rn(x)是∫(x)n阶展开的余项要使f(x)在x0邻域上可展为幂级数,其充分必要条件是 在此邻域上Rn(x)→>0.但这并不是总成立的 例5.3.1:令 f∫(x) 0 0
90 å +¥ = = 0 ( ) ! (0) ( ) n n n x n f f x 在 x = 0 的邻域成立. 但 0 ! (0) 0 ( ) å º +¥ n = n n x n f ，矛盾. 因而 f ( x) 在 x = 0的邻域上不能展为幂级数. 例 5. 2. 2：令 x f x - = 1 1 ( ) ，则对于任意 x0 ¹ 1， n n x x x x x x x x x x x f x ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - - = - - - × - = - - - = å +¥ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) 在(1,2 1) x0 - 上成立，因而 f ( x) 在(-¥,1) ，(1,+¥) 上可展为幂级数. §5. 3 基本初等函数的幂级数展开 设 f ( x) 在区间 (a, b)上任意阶可导. 设 ( , ) x0 Î a b ，利用 f ( x) 在 0 x 处的导数，则我 们得幂级数å +¥ = - 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) n n n x x n f x . 如果 f ( x) 可在 0 x 的邻域上展为幂级数，则在此邻域上 必须 å +¥ = = - 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) n n n x x n f x f x ，即幂级数展开是唯一的. 但要使 å +¥ = = - 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) n n n x x n f x f x ， 必须 ( ) 0 ! ( ) lim ( ) 0 0 0 ( ) =÷ ÷ ø ö ç ç è æ -å - = ®+¥ n k k k n x x k f x f x . 令 å= = - - n k k k n x x k f x R x f x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) ( ) ， R (x) n 是 f ( x) n 阶展开的余项. 要使 f ( x) 在 0 x 邻域上可展为幂级数，其充分必要条件是 在此邻域上 Rn (x) ® 0 . 但这并不是总成立的. 例 5. 3. 1：令 ïî ï í ì = ¹ = - 0, 0. , 0, ( ) 2 1 x e x f x x
则y∫()(x*=0,因此f(x)=R(x).x≠0时ImR1(x)=f(x)≠0,f(x)不能 k=6k! 展为幂级数 例5.3.2设f(x)=1-,取x>1,则当x>2x6-1时,f(x)在x处的幂级数 展开在x不收敛.因而R(x)不趋于零 对于基本初等函数,利用Rn(x)的拉格郎日余项公式或积分余项公式,我们可得到这些 函数的 Taylor展开.这些展开不论在理论还是实际应用中都是十分重要的 指数函数:设∫(x)=ex,由∫(x)=ex,利用拉格郎日余项公式 f(m+t(0 x) R(x)=n+x”,其中00,则 In(R+x)=hnR+h 1+Dl=InR+2eI R 在(-R,R)上成立 三角函数:由sin)x=snx+2,得 nx-∑sm(Ox|s (n+1) 因而sinx= (0 l)-1 x2n-1在(-∞,+∞)上成立 (2n-1)
91 则 0 ! (0) 0 ( ) å º = n k k k x k f ，因此 f (x) R (x) = n . x ¹ 0时 lim ( ) = ( ) ¹ 0 ®+¥ R x f x n n ， f ( x) 不能 展为幂级数. 例 5. 3. 2：设 x f x - = 1 1 ( ) ，取 x0 > 1，则当 x > 2x0 -1时， f ( x) 在 0 x 处的幂级数 展开在 x 不收敛. 因而R (x) n 不趋于零. 对于基本初等函数，利用 R (x) n 的拉格郎日余项公式或积分余项公式，我们可得到这些 函数的 Taylor 展开. 这些展开不论在理论还是实际应用中都是十分重要的. 指数函数 ： 设 x f (x) = e ， 由 n x f (x) = e ( ) ， 利用拉格郎日余项公式 1 ( 1) ( 1)! ( ) ( ) + + + = n n n x n f x R x q ， 得 1 ( 1)! ( ) + + = n x n x n e R x q ， 其 中 0 0 ，则 å +¥ = - ÷ = + - ø ö ç è æ + = + + 1 1 ln( ) ln ln 1 ln ( 1) n n n n x R R x R x R 在(-R,R) 上成立. 三角函数：由 ÷ ø ö ç è æ = + p 2 sin sin ( ) n x x n ，得 0 ( 1)! sin (0) ! 1 sin 1 0 ( ) ® + - £ + = å n x x k x n n k k k . 因而 å å +¥ = - +¥ - = - - = = 1 2 1 1 0 ( ) (2 1)! ( 1) ! sin (0) sin n n n n n n x n x n x 在(-¥,+¥) 上成立
同理得c08x=(D)x2在(-+)上成立 幂函数:为了要得到幂函数在x=0处的 Taylor展开,我们将其表示为f(x)=(1+x) 的形式,其又称为二项式函数 由 f(m(x)=a(a-1)…(a-n+11+x)“n, 得f(x)在x=0的 Taylor展开为 1+ax+ a(a-1) x(a-1)…(a-n+1 而 a(a-1)…(a-n)/a(a-1)…(a-n+1)a-n →1,因此其收敛半径为1.我们仅 (n+1)! 需在(-1,1)上讨论其是否收敛到f(x) 如果直接利用拉格郎日余项,得 f(x)-|1+ax+ a(a-1)…(a-n+1) x”‖=Rn(x) a(a-1)…(a-n) (1+0x)“nx (n+ 其中0<θ<1.但x∈(-1,1)时,不能直接得到余项趋于零.因此我们采用积分余项公式对 余项进行估计 在定积分中我们曾将n阶 Taylor展开的余项用积分表示为 R(x)=∫。/m(x-d 利用<1,t∈(0,x]时 ≤1,我们得到 x(1+1) )=/(a--(a-n) ∫1+-(x-d x"aJ(1+1)、(x- n x"(1+D)” a(a-1)…(a-n) x"a(1+0)-dl≤1 n 上面己证<1时∑a(a-1)…(a-n+1)收敛,因而
92 同理得 å +¥ = - = 0 2 (2 )! ( 1) cos n n n x n x 在(-¥,+¥) 上成立. 幂函数：为了要得到幂函数在x = 0 处的 Taylor 展开，我们将其表示为 a f (x) = (1+ x) 的形式，其又称为二项式函数. 由 n n f x n x - = - - + + a ( ) a(a 1) (a 1)(1 ) ( ) L ， 得 f ( x) 在 x = 0 的 Taylor 展开为 L L L + - - + + + - + + n x n n x x ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) 1 a a 2 a a a a . 而 1 ! 1 ( 1) ( 1) ( 1)! ( 1) ( ) ® + - = - - + + - - n n n n n a a L a n a a L a a ，因此其收敛半径为 1. 我们仅 需在(-1,1) 上讨论其是否收敛到 f ( x) . 如果直接利用拉格郎日余项，得 (1 ) , ( 1)! ( 1) ( ) ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) ( ) 1 1 1 2 - - + + + - - = ÷ = ø ö ç è æ - - + + + - - + + n n n n x x n n x R x n n f x x x a q a a a a a a a a a L L L 其中0 <q <1. 但x Î (-1,1) 时，不能直接得到余项趋于零. 因此我们采用积分余项公式对 余项进行估计. 在定积分中我们曾将n 阶 Taylor 展开的余项用积分表示为 ò = - + x n n n f t x t dt n R x 0 ( 1) ( )( ) ! 1 ( ) . 利用 x <1, t Î (0, x] 时 1 (1 ) £ + - x t x t ，我们得到 (1 ) 1. ( 1)! ( 1) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ! ( 1) ( ) (1 ) ( ) ! ( 1) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 + £ + - - £ + - + - - = + - - - = ò ò ò - - - - x n x n n n n x n n n x t dt n n dt x t x t x t n n t x t dt n n R x a a a a a a a a a a a a a a L L L 上面已证 x <1时å +¥ = - - + 0 ! ( 1) ( 1) n n x n a a L a n 收敛，因而
lmna(a-1)…(a-n+ x"=0 nk 而(1+0)d有界,从而我们得到lmnR()=0.因而在(1)上 (1+x)=1+ar+(a-1) a(a-1)…(a-n+1) 反三角函数:由 (-1)"x",x∈(-1,1) 得 2n+1 arctan x= 「(acmh-yrh=>(-2n+ csin x)= (1-x2) n+ 2八2 逐项积分得 (2n-1)!! arcsin x= x+ (2n)!!2n+1 最后还要说明的是,如果∫(x),g(x)在某点x0上可展为幂级数,则 f(x)±g(x),f(x)·g(x),(x(g(x)≠0)可展为幂级数如果/(n)在un=8(x0)邻 域上可展为幂级数,则∫。g(x)在x0上可展为幂级数 §5.4幂级数的应用 近似计算 由于幂级数仅有加法和乘法,因此常用于作近似计算、给出函数的函数表等 例5.4.1:在 xx x arctan x=x一
93 0 ! ( 1) ( 1) lim = - - + ®+¥ n n x n a a L a n . 而 ò - + x t dt 0 1 (1 ) a 有界，从而我们得到 lim ( ) = 0 ®+¥ R x n n . 因而在(-1,1) 上 L L L + - - + + + - + = + + n x n n x x x ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 a a 2 a a a a a . 反三角函数：由 ( 1) , ( 1,1), 1 1 (arctan ) 0 2 2 = - Î - + ¢ = å +¥ = x x x x n n n 得 ò åò å +¥ = +¥ + = + = ¢ = - = - 0 2 1 0 0 2 0 2 1 arctan (arctan ) ( 1) ( 1) n n n n x n n x n x x t dt t dt . 同理 ( ) , 2! 1 2 1 1 2 1 2 1 ( ) 2! 1 2 1 2 1 ( ) 2 1 1 (1 ) 1 1 (arcsin ) 2 2 2 2 2 1 2 2 L L L - + ÷ ø ö ç è æ ÷ - - + ø ö ç è æ ÷ - - ø ö ç è æ - + - + ÷ ø ö ç è æ ÷ - - ø ö ç è æ - = - - + = - - ¢ = - n x n x x x x x 逐项积分得 å +¥ = + + - = + 1 2 1 (2 )!! 2 1 (2 1)!! arcsin n n n x n n x x . 最后还要说明的是 ， 如 果 f ( x), g ( x) 在某点 0 x 上可展为幂级数 ， 则 ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ± ( ), ( ) × ( ), g x ¹ g x f x f x g x f x g x 可展为幂级数. 如果 f (u) 在 ( ) 0 0 u = g x 邻 域上可展为幂级数，则 f o g (x) 在 0 x 上可展为幂级数. §5. 4 幂级数的应用 近似计算 由于幂级数仅有加法和乘法，因此常用于作近似计算、给出函数的函数表等. 例 5. 4. 1：在 = - + - +L 3 5 7 arctan 3 5 7 x x x x x
中令x=1,得 可用作丌的近似计算.由于其是交错级数,因而有 4 35 2n-12n+1 如果在上面级数中令x= 则得 3·35.3273 作为丌的计算,其收敛速度更加一些 定积分计算 例542:求exd 解:由于e x(-1)”x2在任意有界区间上一致收敛,因而可逐项积分,得 dh 求解常微分方程 例543:求函数y=f(x),使得(1-x2)y”=-2y 解:用待定系数法设有解y=∑anx”,由于幂级数可逐项求导,得 (1-x2)∑mn-1)anx"2=(-2)∑a 比较对应系数,解得 (2n+1)(2n-1) 其中a0,a1为任意常数由y(0)=a,y(0)=a1的函数的初始值确定 §5.5 Weierstrass逼近定理
94 中令 x =1，得 = - + - +L 7 1 5 1 3 1 1 4 p ， 可用作p 的近似计算. 由于其是交错级数，因而有 2 1 1 2 1 1 ( 1) 7 1 5 1 3 1 1 4 + ÷ £ ø ö ç è æ - - - + - + + - n n p L n . 如果在上面级数中令 3 1 x = ，则得 ÷ ø ö ç è æ + × - × + × = - 2 3 L 7 3 1 5 3 1 3 3 1 1 3 1 6 p . 作为p 的计算，其收敛速度更加一些. 定积分计算 例 5. 4. 2：求ò - 1 0 2 e dx x . 解：由于 å +¥ = - = - 0 2 ( 1) ! 2 1 n x n n x n e 在任意有界区间上一致收敛，因而可逐项积分，得 2 1 1 ! ( 1) ( 1) ! 1 0 1 0 2 0 1 0 2 + - ò =å - ò = å +¥ = +¥ = - n n x dx n e dx n n n n x n . 求解常微分方程 例 5. 4. 3：求函数 y = f (x)，使得(1 x ) y 2y 2 - ¢¢ = - . 解：用待定系数法. 设有解 å +¥ = = n 0 n y an x ，由于幂级数可逐项求导，得 å å +¥ = +¥ = - - - = - 0 0 2 2 (1 ) ( 1) ( 2) n n n n n x n n an x a x . 比较对应系数，解得 å +¥ = + + - = - - 0 2 1 1 2 0 (2 1)(2 1) 1 (1 ) n n x n n y a x a ， 其中 0 1 a ,a 为任意常数. 由 0 1 y(0) = a , y¢(0) = a 的函数的初始值确定. §5. 5 Weierstrass 逼近定理
如果函数f(x)可在(一RR)上表示为收敛半径为R的幂级数∫(x)=∑anx”令 sn(x)=∑ax,则s2(x)是一n次多项式,并且在(-R,R)中任意闭区间[a,b]上 sn(x)}-致收敛于f(x) 如果我们不要求{sn(x)}是某一幂级数的部分和,而仅要求sn(x)是一个x的多项式.我 们的问题是什么样的函数f(x),能存在一列多项式{sn(x)}使在{ab上,{sn(x)}致 收敛于f(x).如果对f(x),存在这样的多项式列!(x),由sn(x)连续,得f(x)必须 在[a,b]上连续, Weierstrass证明了连续同时也是一个成分条件 Weierstrass逼近定理:对闭区间[a,b]上的任意连续函数f(x),存在一列多项式 sn(x)},使在[ab]上,Sn(x)一致收敛于f(x) 下面的证明是由伯恩斯坦给出的,其证明的许多想法我们还将在后面的 Fourier级数中 多次用到 引理551:Wx∈R,sn(x)=∑Cx(1-x) 证明:由二项式定理得 1=(x+(1-x)”=∑Cx(1-x) 引理5.52:x∈R,∑(k-mx)Cx(1-x)≤" 证明:由(1+)”=∑C=2,对=求导并乘z,得 nz(1+) (1) 再对z求导并乘,得 nz(1+n=)(1+2) k-C (2) 将 -x代入(1),(2),并乘(-x) 得
95 如果函数 f ( x) 可在(-R, R) 上表示为收敛半径为 R 的幂级数 å +¥ = = 0 ( ) n n f x an x . 令 å= = n k k sn x ak x 0 ( ) ，则 s (x) n 是一 n 次多项式，并且在 (-R, R) 中任意闭区间 [a, b] 上 {sn (x)}一致收敛于 f ( x) . 如果我们不要求{sn (x)}是某一幂级数的部分和，而仅要求 s (x) n 是一个 x 的多项式. 我 们的问题是什么样的函数 f ( x) ，能存在一列多项式 {sn (x)}，使在[a, b] 上，{sn (x)}一致 收敛于 f ( x) . 如果对 f ( x) ，存在这样的多项式列 {sn (x)}，由 s (x) n 连续，得 f ( x) 必须 在[a, b] 上连续. Weierstrass 证明了连续同时也是一个成分条件. Weierstrass 逼近定理：对闭区间[a, b] 上的任意连续函数 f ( x) ，存在一列多项式 {sn (x)}，使在[a, b] 上， s (x) n 一致收敛于 f ( x) . 下面的证明是由伯恩斯坦给出的，其证明的许多想法我们还将在后面的 Fourier 级数中 多次用到. 引理 5. 5. 1："x Î R ， å= - = - º n k k k n k sn x Cn x x 0 ( ) (1 ) 1 . 证明：由二项式定理得 å= - = + - = - n k k k n k n n x x C x x 0 1 ( (1 )) (1 ) . 引理 5. 5. 2："x Î R ，å= - - - £ n k k k n k n n k nx C x x 0 2 4 ( ) (1 ) . 证明：由 å= + = n k k k n n z C z 0 (1 ) ，对 z 求导并乘 z ，得 å= - + = n k k k n n nz z kC z 0 1 (1 ) . （1） 再对 z 求导并乘 z ，得 å= - + + = n k k k n n nz nz z k C z 0 2 2 (1 )(1 ) . （2） 将 x x z - = 1 代入（1），（2），并乘 n (1- x) ，得