数学分析讲义 第五章参变量积分 所谓含参量的积分是指如下两大类积分: 1.F()-∫”f(x,y)d 若对于vx∈[ab]上述积分均是有意义的,即[a,]可以到无穷,积分是收敛的 (若为广义积分的话)。也就是说,作为y的函数,f(x,y)在,月上可积或广 义可积,则F(x)在[a]上就是关于x的函数,从积分本身的性质来讨论这类积 分与以往介绍的积分没有什么两样,但这里我们所关心的是:作为x的函数,F(x) 与∫(x,y)的性质有哪些关系?F(x)何时是可积的?连续的?可导的?等等这 系列的函数性质正是这一章我们要讨论的问题 2.G (x)=a/(x, y)dy a(r) 这种形式的积分与上面说的积分之不同之处在于G(x)的性质不但依赖于f(x,y) 之性质,而且与a(x),β(x)之性质相关。 另外,上面所介绍的含参量积分一般说来是非初等函数。因而在这里我们又可以接触到 非初等函数的具体形式 §1含参量的定积分 我们先从最简单的情形开始讨论。先看含参量的定积分,即f(x,y)作为y的函数无瑕 点,[a,]是有限区间的情形(或[a(x),B(x)均为有限区间 为便于书写,记D=[ab]×[a,6 1连续性 定理1:f(xy)∈C(D),则(x,y)=(x)teC(D) 证明:由连续定义 )[(xm=(x) 上式中,第一项可利用函数之连续性,第二项利用函数的可积性说明为小量 由f(x,y)∈C(D),D是有界闭集,所以∫(x,y)在D上一致连续 因而:VE>0,彐61>0,当x-x<61,|y-<6时,有: 13.113
数学分析讲义 13.113 第五章 参变量积分 所谓含参量的积分是指如下两大类积分： 1. F ( x) f ( x y, )dy b a = ò 若对于 " Îx [a b, ] 上述积分均是有意义的，即[a b, ]可以到无穷，积分是收敛的 （若为广义积分的话）。也就是说，作为 y 的函数， f ( x y, ) 在[a b, ]上可积或广 义可积，则 F x( )在[ a b, ] 上就是关于 x 的函数，从积分本身的性质来讨论这类积 分与以往介绍的积分没有什么两样，但这里我们所关心的是：作为 x 的函数，F x( ) 与 f ( x y, ) 的性质有哪些关系？ F x( )何时是可积的？连续的？可导的？等等这一 系列的函数性质正是这一章我们要讨论的问题。 2. ( ) ( ) ( ) ( ) , x x G x f x y dy b a = ò 这种形式的积分与上面说的积分之不同之处在于G x( ) 的性质不但依赖于 f ( x y, ) 之性质，而且与a ( x)， b ( x) 之性质相关。 另外，上面所介绍的含参量积分一般说来是非初等函数。因而在这里我们又可以接触到 非初等函数的具体形式。 §1 含参量的定积分 我们先从最简单的情形开始讨论。先看含参量的定积分，即 f ( x y, ) 作为 y 的函数无瑕 点，[a b, ]是有限区间的情形（或 é ù a b ( x x ), ( ) ë û 均为有限区间）。 为便于书写，记D = ´ [a b, , ] [a b]。 1 连续性 定理 1： f ( x, y C )Î (D ) ，则 ( , , ) ( ) ( ) y I x y f x t dt C a = Î ò D 。 证明： 由连续定义， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , , , y y y y y I x y I x y f x t dt fxt dt f x t f x t dt f x t dt a a a - = - £-+ é ù ë û ò ò ò ò 上式中，第一项可利用函数之连续性，第二项利用函数的可积性说明为小量： 由 f ( x, y C )Î (D ) ，D 是有界闭集，所以 f ( x y, ) 在D 上一致连续。 因而：" > e 0 ，$ > d1 0 ，当 0 1 x x - <d ， 0 1 y y - < d 时，有：
含参量的积分 =m2,M==y( 则当x-x<6,|y-则<6时,有: 1(x,y-(x,3)12(B-a) x-a+M1y-x|<5+M= 所以/(x,y)∈C(0) 毕 定理1可以有如下形式之推论 推论:f(xy)∈C(D),则F(x)=Jf(xy)∈ca小,即 y)dy=/(oo, y)dy=f 推论可以简称为:极限号与积分号可以交换次序。 定理2:f(x,y)∈C(D),q(x),v(x)∈C[a,b 且x∈[ab]时,a≤q(x)v(x)≤B, 则:G(x)=J(xy)eC[a,b] 证明:由于G(x)=-。f(xy)-J。f(xy)=1(xw(x)-1(x9(x) 由复合函数之连续性知:G(x)∈C[ab] 2可导性 定理3:设f(xy),(xy)∈C(D),则F(x)=Jmf( y)dyeCola, b 且F(x)=f1(xy)d,即求导与积分可以交换次序。 证明:由导数定义 F(+Ax)-F(x)_[ f(+Ax, y)-f(x,y) 中值定理 f(x+0Ax,y)dy 由于f(xy)∈C(),由上一段推论知: m(x+0xy)h=”(x)小 所以F(x)=”(xy小
含参量的积分 13.114 f ( x, y ) - fxy ( 0 0 , 2 ) < - e (b a )， 令： mi 1 n , 2M e d dì ü = í ý î þ ， ( ) ( ) , max , x y M f x y Î = D ， 则当 0 x x - <d ， 0 y y - <d 时，有： ( ) ( ) ( ) 0 000 , , 2 2 2 I x y I x y y M y y M M e e e a e b a - < - + - < + = - 所以 I x( , y C )Î (D ) 。 证毕 定理 1 可以有如下形式之推论： 推论： f ( x, y C )Î (D ) ，则 F ( x) f ( x y, , )dy Cab [ ] b a = Î ò ，即： ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim , , lim , x x x x f x y dy f x y dy f x y dy b b b ® ® a a a = = ò ò ò 。 推论可以简称为：极限号与积分号可以交换次序。 定理 2： f ( x, y C )Î (D ) ，j y ( x), , ( x )ÎCab [ ]， 且 xÎ[a b, ]时，a £ £ j( x x ),y b ( ) ， 则： ( ) ( ) ( ) ( ) , , [ ] x x G x f x y dy Cab y j = Î ò 。 证明： 由于 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,,, ( ( )) ( ( )) x x G x f x y dy f x y dy I x x I x x y j a a = - = - y j ò ò 由复合函数之连续性知：G( x)ÎCab [ , ]。 2 可导性 定理 3：设 f ( x, y f ), , x ( x y C )Î (D ) ，则 ( ) ( ) ( ) [ ] 1 F x f x y, , dy C a b b a = Î ò ， 且 F ( x ) f x ( x y, )dy b a ¢ = ò ，即求导与积分可以交换次序。 证明： 由导数定义： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , x , 0 1 F x x F x f x x y f x y dy x x f x x y dy b a b a q q + D - + D - = D D = + D < < ò ò 中值定理 由于 f x ( x, y C )Î (D ) ，由上一段推论知： ( ) ( ) 0 lim , , x x x f x x y dy f x y dy b b a a q D ® + D = ò ò 所以 F ( x ) f x ( x y, )dy b a ¢ = ò
数学分析讲义 同样由于由于f(xy)∈C(D),由上一段推论知:F(x)∈Cab] 所以F(x)∈C[a 证毕 定理4:f(x,y),f(x,y)∈C(D),q(x)(x)在[a上可导, 且x∈[ab]时,a≤q(x)v(x)≤B 则G(x)=m/(xy在a上可导,并且 G(x)=m1(x2y)+f(xv(x)v(x)-f(x9(x)?() 证明:令F(x,x)=「(xy),则G(x)=F(v(x,(x)x) 利用复合函数之求导法则,有 Gr)oF du aF dy, aFI d x f(x,y(x) y(x)/(x, 9(x) @(x)+af(x, y)dy 证毕 例lF(≈rsin(x) 力,求F(x) 解:由定理4, F(x) f cos(xy) 2sin(x)-sin(x2) (xy)dy ,2(s()23sg)2nc x 例2:求积分1(0)=m(+cosx)dr,间< 解:在≤1-6<1内,由定理3知(0)可导,因此 COSx dt 1+0 cos x 1+7)(++(1-0) e+(1-)
数学分析讲义 13.115 同样由于由于 f x ( x, y C )Î (D ) ，由上一段推论知： F¢( x )ÎCab [ , ]， 所以 ( ) ( ) [ ] 1 F x CÎ a b, 。 证毕 定理 4： f ( x, y f ), , x ( x y C )Î (D ) ，j y ( x x ), ( )在[ a b, ] 上可导， 且 xÎ[a b, ]时，a £ £ j( x x ),y b ( ) ， 则 ( ) ( ) ( ) ( ) , x x G x f x y dy y j = ò 在[ a b, ] 上可导，并且： ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) , , , x x x G x f x y dy f x x x f x x x y j ¢ = + y ×y¢ ¢ - × j j ò 。 证明： 令 ( , , , ) ( ) u v Fuv x = f x y dy ò ，则G( x) = F x (y j ( ), , ( x x ) ) 。 利用复合函数之求导法则，有： ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , u x v x x x x F du F dv F G x u dx v dx x f x x x f x x x f x y dy y j y j y y j j = = ¶ ¶ ¶ ¢ = × + + ¶ ¶ ¶ = × ¢ ¢ - × + ò 证毕 例 1： ( ) ( ) 2 x sin x xy F x dy y = ò ，求 F x ¢( ) 。 解： 由定理 4， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 3 232 cos sin sin 2 1 2sin sin cos sin 2sin sin 3sin 2sin x x x x x x y xy x x x x F x dy x y x x x x xy dy x xy x xxx x x x × × ¢ = + × - × - = + - - = + = ò ò 例 2：求积分 ( ) ( ) 0 I ln 1 cos x dx p q q = + ò ， q <1。 解： 在 q d £-< 1 1内，由定理 3 知I(q ) 可导，因此： ( ) ( ) ( )( ( ) ) ( ) tan 2 2 2 2 0 0 2 2 0 cos 2 1 1 cos 111 2 1 1 111 x t x t I dx dt x t t dt t t p q q q q q q q = +¥ +¥ - ¢ = = + + ++- é ù = - ê ú + ++- ë û ò ò ò
含参量的积分 所以:r() 因而 (0)=/(0)+”r(0)d=0+ n(1+1-2)-xln2 例3:设n(x)=cos(m0-xsn6)d0,求证:(x)满足方程x+x+(x2-m2)n=0 证明:由定理3, )= sin(ne-xsine)(sine )de= sin( l0)sin ede (ne-xsin e )sin e 因而:x2u”+x foiL-x'sin20+x-n]cos(ne-xsine+sine sin(ne-xsine )de o((r cos e-n")cos(ne-xsin0)+xsine sin( ne-xsine)de fo((n+ rose)d sin(ne-x sin e)-sin(ne-xsine)d(n+r cos e ) )sin(ne-xsin0 )=0 故命题得证。 3可积性 证明令:F()/(y,G()(xy 方面,由于f(xy)∈C(D),所以(xy) 因而变上限积分F()可导,且F()=m(,)d 另一方面,y∈[a,变上限积分∫f(xy)∈C[小],所以 f(=/( 所以:F()=G(=),因此有F(=)=G(=) 又:z=a时,F(a)=G(a),所以:C=0 13.116
含参量的积分 13.116 所以： ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 I p p pq q q q q q é ù ¢ = ê ú - = - ë û - - - + ，因而： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 ln 1 1 ln 1 1 ln2 I I I d d q q q pq q q q q q q p q p q p - = + ¢ = + - + - = + - = + - - ò ò 例 3：设 ( ) ( ) 0 u x cos n x d sin p = - q q q ò ，求证：u x( ) 满足方程 ( ) 2 2 2 x u¢¢ ¢ + + xu x - = n u 0 。 证明： 由定理 3， ( ) ( )( ) ( ) 0 0 u x sin n x sin sin d sin n x d sin sin p p ¢ = - q q - -=- q q q q q q ò ò ( ) ( ) 2 0 u x cos n x d sin sin p ¢¢ = - - q q q q ò 因而： ( ) 2 2 2 x u¢¢ ¢ ++- xu x n u { ( ) ( )} {( ) ( ) ( )} { ( ) ( ) ( ) ( )} ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 0 sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin 0 x x n n x x n x d x n n x x n x d n x d n x n x d n x n x n x p p p p q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qqq = é ù - + - - + - ë û = - - + - = - + - - - + = - + - = ò ò ò 故命题得证。 3 可积性 定理 5：f ( x, y C )Î (D ) ，" Îz [a b, ]有： ( , , ) ( ) z z a a fxy dy dx f x y dx dy b b a a é ù é ù = êë úû ê ú ë û ò ò ò ò 。 证明： 令： ( ) ( , ) z a F z f x y dy dx b a é ù = ê ú ë û ò ò ， ( ) ( , ) z a G z f x y dx dy b a é ù = ê ú ë û ò ò 。 一方面，由于 f ( x, y C )Î (D ) ，所以 f ( x y, , )dy Cab [ ] b a Î ò 因而变上限积分 F z( ) 可导，且 F (z) fzy ( , )dy b a ¢ = ò ； 另一方面，" Îy [a b, ]，变上限积分 ( ) ( ) [ ] 1 , , z a f x y dxÎC a b ò ，所以： ( ) ( ) ( , ) z a a G z f x dx dy f z y dy z b b a é ù ¶ ¢ = = ê ú ë û ¶ ò ò ò 。 所以： F¢ ¢ (z) = G z( ) ，因此有 F (z) = + G(z C ) 。 又： z a = 时， F (a) = G a( )，所以：C = 0
数学分析讲义 证毕 推论:(x)∈C(D),则:∫ f(, y)dx dy 例4:设0<a<b,求积分/=r+2 Inx 解:由于 dy,所以 In x dx xdy dx In x =(4 b+1 X≠a 例5:设f(x)∈C(-+∞),(n≥1),令g(x)= (a) 求证:g(x)∈Cm(-m,+) 证明:f(x)-/(a)=0f( dt f(a+(x-a))dt=5or(a+i(x-a)( 所以:(=r(+(x),xa 又因为:f(a)=Cr(+(a-a)d,所以:g(x=J/(a+(x-a)d 由于f(x)∈Cm(-+∞),所以g(x)∈Cm(-,+∞)。 例6:计算积分/()=(1=2rs+r)d0,H|<1 解:在川1-6<1内1()可导,因此:()=「 2r-2cos8-de 01-2 rcos6+r r(0)=(-2cos)d0=0,而当r≠0时, r()= d0=-10-2arcta 0 1-2rcos0+r2 所以:()=0,/(r)=(0)= 13.117
数学分析讲义 13.117 即： ( , , ) ( ) z z a a fxy dy dx f x y dx dy b b a a é ù é ù = êë úû ê ú ë û ò ò ò ò 。 证毕 推论： f ( x, y C )Î (D ) ，则： ( , , ) ( ) b b a a fxy dy dx f x y dx dy b b a a é ù é ù = êë úû ê ú ë û ò ò ò ò 。 例 4：设0 < a < b ，求积分 ò - = 1 0 ln dx x x x I b a 。 解： 由于 ò = - b a y b a x dy x x x ln ，所以： 1 1 1 0 0 0 1 1 0 ln 1 ln 1 1 1 b a b b y y a a y b b a a x x I dx x dy dx x dx dy x x dy b dy y y a + - éùéù = = = êúêú ëûëû + = = = + + + ò ò ò ò ò ò ò 例 5： 设 ( ) ( ) ( , ) n f x C Î -¥ +¥ ，(n ³1) ，令 ( ) ( ) ( ) ( ) f x f a x a g x x a f a x a ì - ï ¹ = í - ï ¢ = î 求证： ( ) ( ) ( ) 1 , n g x C - Î -¥ +¥ 。 证明： ( ) ( ) ( ( )) ( ( ))( ) 1 1 0 0 d f x f a fatxa dt f a t x a x a dt dt - = + - = ¢ + - - ò ò 所以： ( ) ( ) ( ( )) 1 0 f x f a fatxa dt x a - = ¢ + - - ò ， x a ¹ 又因为： ( ) ( ( )) 1 0 f ¢ ¢ a = f a + - t a a dt ò ，所以： ( ) ( ( )) 1 0 g x = f a ¢ + - t x a dt ò 。 由于 ( ) ( ) ( ) 1 , n f x C - ¢ Î -¥ +¥ ，所以 ( ) ( ) ( ) 1 , n g x C - Î -¥ +¥ 。 例 6：计算积分 ( ) ( ) 2 0 I r ln 1 2 rcos r d p = - + q q ò ， r <1。 解： 在 r £1 1 - < d 内 I r( )可导，因此： ( ) 2 0 2 2cos 1 2 cos r I r d r r p q q q - ¢ = - + ò 。 ( ) ( ) 0 I d 0 2cos 0 p ¢ = - = q q ò ，而当r ¹ 0时， ( ) 2 2 0 0 1 1 1 1 1 2arctan tan 0 1 2 cos 1 2 r r I r d r r r r r p p q q q q é ù - é æ ö - ù ¢ = - = - = ê ú ê ú ç ÷ ë û - + + ë û è ø ò 所以： I r ¢( ) º 0 ， I(r I ) º = (0 0 )
含参量的积分 82一致收敛与极限函数之性质 致收敛的概念 在讲授函数项级数之时,曾经介绍过函数序列的一致收敛的概念,我们说: fn(x)→f(x)是指: vE>0,N,当n>N时,wxeX,有:|(x)-f(x)0,38>0,当yey,00,3M>0,当yey,y>M时,wx∈X,有/(x,y)-9(x)0,36=6>0,当0,y→+时,一,在[c,+∞)上一致收敛性:但在(O,+∞)上不一致 收敛
含参量的积分 13.118 §2 一致收敛与极限函数之性质 1 一致收敛的概念 在讲授函数项级数之时，曾经介绍过函数序列的一致收敛的概念，我们说： f n ( x)Þ f x( ) X 是指： " > e 0 ，$N ，当n N > 时，" Îx X ，有： f n ( x )- e 0 ，$ > d 0 ，当 yÎY ，0 0 e 0 ，$ > M 0 ，当 yÎY ， y M> 时，" Îx X ，有 f ( x, y x ) - e 0 ，$=> d e 0，当 y c 0， y ®+¥ 时， 1 xy +1 在[c,+¥) 上一致收敛性；但在(0,+¥) 上不一致 收敛
数学分析讲义 证明:当00),所以 而对于X=(0,+∞),显然 0,但它不是一致收敛的,这是因为 彐 2 >0,对于VM>0,y>M时,3x=∈(0,+∞),使得 0==E0,这是一致收敛定义的逆否命题。 下面我们来讨论一致收敛之充要条件: 定理1:y→(y)+∞)时,f(x,y)在x∈X上一致收敛。 >M E>0,36>0,(M>0),当y,y”∈y,且0 M WxEX, A: /(x, y)-f(x,]0,彐0>0,当y∈y,且 +∞证明。 采用反证法,假设∫(x,y在x∈X上不一致收敛,则 彐E0>0,n,彐,∈y yn X,使得:|(xy)-(x) 这样构造出的yn∈y,y,→+,但f(xn,yn)不一致收敛于q(x), 与条件矛盾。所以反证法假设不成立。 证毕 13.119
数学分析讲义 13.119 证明： 当0 0），所以 [ , ) 1 0 1 c xy y +¥ ®+¥ Þ + ； 而对于X = (0,+¥)，显然 1 0 1 y xy ®+¥ ® + ，但它不是一致收敛的，这是因为： 0 1 0 2 $=> e ，对于" > M 0 ， y M> 时， 0 ( ) 1 x 0, y $ = Î +¥ ，使得： 0 1 1 0 xy 1 2 -==e + ，这是一致收敛定义的逆否命题。 下面我们来讨论一致收敛之充要条件： 定理 1： 0 y y ® （ y ®+¥ ）时， f ( x y, ) 在 xÎX 上一致收敛。Û " > e 0 ，$ > d 0 ，（$ > M 0 ），当 y y ¢, ¢¢ÎY ，且 0 0 0 y y y y d ¢ - ¢¢ > ） 时，" Îx X ，有： f ( x, , y¢) - e 0 ， $ > d 0 ，当 y¢ÎY ，且 0 0 e0 0 ，"n ， n $ Î y Y ， n y n > ， n $ Î x X ，使得： ( ) ( ) 0 , n n n f x y x - ³ j e 这样构造出的 n y ÎY ， n y ®+¥ ，但 fxy ( n n , ) 不一致收敛于j( x) ， 与条件矛盾。所以反证法假设不成立。 证毕
含参量的积分 2极限函数之性质 定理3:(极限交换次序定理) 若imF(x,y)=q(y),wyey,且F(x,y)→v(x), 则: lilim F(x,y)=lmmF(x,y)(x,y可以为无穷) 证明:yn∈y,yn→1,由定理2知F(x,y)→v(x) 又由于limF(x,yn)=q(y),由序列(函数序列)极限性质,我们得到: limy(x)=lim lim F(x, yu)=lim lim F(, yn)=lim p(y) 其中第二个等式用到了函数列的一致收敛性质。 又由数列极限与函数极限之关系, 已知vyn∈Y,img?(n)=limv(x),所以m(y)=lim(x 即: lilim e(x,y 证毕 1定理4:(连续性与可积性定理 设vyey{x,F(x,y)对于x∈X是连续的,且F(x,y)→q(x) 则q(x)∈C(X),且va=x,ImF(xy)=(x)。 证明:连续性: x,r vyey{yo},有 p(x)-(x)=1(x)-F(x,y)+F(xy)-F(x,y)+F(,y)-9(x) p(x)-F(x, y)+F(x, y)-F(6,x)+F(=,y)-(xo) 由于F(xy),→9(,我们有 vE>0,36>0,|y-则0,|x-x<6时,F(x,y)-F(x,y)<E/3,因 (x)-9(x0)<6/3+8/3+/3=E,即o(x)∈CX) 可积性 13.120
含参量的积分 13.120 2 极限函数之性质 定理 3：（极限交换次序定理） 若 ( ) ( ) 0 lim , x x F x y y j ® = ，" Îy Y ，且 ( ) ( ) 0 , y y F x y x y ® Þ X ， 则： ( ) ( ) 0 0 0 0 limlim , lim lim , xxy y y y x x F x y Fxy ® ® ® ® = （ 0 0 x y, 可以为无穷） 证明： n " Î y Y ， n 0 y y ® ，由定理 2 知 ( , n ) ( ) n F x y x y ®¥ Þ X 又由于 ( ) ( ) 0 lim , n n x x F x y y j ® = ，由序列（函数序列）极限性质，我们得到： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim lim , n lim lim , n n lim x x x x n n x x n y j x F x y F x y y ® ® ®+¥ ®+¥ ® ®+¥ === 其中第二个等式用到了函数列的一致收敛性质。 又由数列极限与函数极限之关系， 已知 n " Î y Y ， ( ) ( ) 0 lim n lim n x x j y y x ®¥ ® = ，所以 ( ) ( ) 0 0 lim lim y y x x j y y x ® ® = ， 即： ( ) ( ) 0 0 0 0 limlim , lim lim , xxy y y y x x F x y Fxy ® ® ® ® = 。 证毕 定理 4：（连续性与可积性定理） 设" Îy y Y \{ 0} ， Fxy ( , )对于 xÎX 是连续的，且 ( ) ( ) 0 , y y F x y x j ® Þ X 则j( x C )Î (X)，且" Ì [a b, ] X ， ( ) ( ) 0 lim , b b y y a a Fxy dx j x dx ® = ò ò 。 证明： 连续性： 0 " Î x x, X ，" Îy y Y \{ 0} ，有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 000 0 0 0 , ,,, , , , , x x x F x y F x y F x y F x y x x F x y F x y F x y F x y x j j j j j j - = - + -+- £ - + -+- 由于 ( ) ( ) 0 , y y F x y x j ® Þ X ，我们有： " > e 0 ，$ > d 0 ， 0 y y - d¢ 0， 0 x x - < d¢时， F x( , y¢ ¢ ) - < Fxy ( 0 , 3 ) e ，因此： j ( x x ) -j ( 0 ) <++= eeee 333 ，即j( x C )Î (X)。 可积性：
学分析讲义 由于函数q(x)是连续的,所以也是 Riemann可积的。并且: rxy)a-()y)-9(列 由于F(x (x),我们有 >0,38>0,|y-y eX,有F(x,y)-9(x)0,38>0,|y-y0,|y-y<62,ly-y<b2时 xo),y)-F(*+0(x-3),y") 其中M为有界集X的直径。令:6=min{61,62 则当y-y<6,y”-y<6时,有:|F(xy)-F(x,y) 即:F(x,y)→q(x) 13.121
数学分析讲义 13.121 由于函数j( x) 是连续的，所以也是 Riemann 可积的。并且： ( , , ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a Fxy dx -£- j j x dx F x y x dx ò ò ò 由于 ( ) ( ) 0 , y y F x y x j ® Þ X ，我们有： " > e 0 ，$ > d 0 ， 0 y y - e 0 ，$ > d1 0 ， 0 1 y y ¢- d2 0， 0 2 y y ¢- < d ， 0 2 y y ¢¢- < d 时 Fx x ( x0 + q ( x - x y 0 ), ¢) - F ( x0 0 +q e ( x x - £ ), 2 y M ¢¢) 其中 M 为有界集X 的直径。令：d = min , {d d 1 2} ， 则当 0 y y ¢- < d ， 0 y y ¢¢- < d 时，有： F x( , , y¢) - < Fxy ( ¢¢) e ， 即： ( ) ( ) 0 , y y F x y x j ® Þ X
含参量的积分 (,y)-F(o, y) x≠x0 其次,令:G(x,y)= x-Ro F(ro, y) 显然:1mG(x,y)=F(x0y),mG(x,y)={x-x x≠x0 F(xo, yo 所以 p (xo)=lim F(o, y)=lim limG(x,y) lim lim G(r, y=lim p(x)-p(=o) q(x0) 证毕 §3含参量的广义积分 有了上一节关于一致收敛性的讨论,我们可以开始研究含参量之广义积分的性质了。含 参量的广义积分有两类:一类是无穷积分,F(x)=(xy)d,另一类是瑕积分, (x)=f(,y)dy 一般地广义积分的两类情形是可以通过变量替换互换的,因而这里我们着重考虑无穷积 分的情形。 含参量无穷积分的一致收敛性 令:F(,4)=「f(x,y)d,这是一个二元函数,当A→+0时该函数关于x的一 致收敛性也就是广义积分的一致收敛性,因此: :定义:若函数F(x,4)=「f(x,y)当A→+∞时,对x∈X一致收敛,则称积 分。f(xy)对x∈X一致收敛 例1:讨论积分xe的一致收敛性 显然,x>0时上述积分总是收敛的,但是否一致收敛呢? 按定义,F(x,A) dy=l 若x2c>0,则:F(x,A)-1=e≤c“→0,( 所以xe”d在c+)上一致收敛 13.122
含参量的积分 13.122 其次，令： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 , , , , x F x y Fxy x x Gxy x x F x y x x ì - ï ¹ = í - ï = î 显然： ( ) ( ) 0 0 lim , , x x x G x y Fxy ® = ， ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 lim , , y y x x x x x Gxy x x F x y x x j j ® ì - ï ¹ = í - ï = î 所以： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim , lim lim , lim lim , lim x y y yyxx xxy y x x x F x y Gxy x x G x y x x x j j j ® ® ® ® ® ® F = = - = = = ¢ - 证毕 §3 含参量的广义积分 有了上一节关于一致收敛性的讨论，我们可以开始研究含参量之广义积分的性质了。含 参量的广义积分有两类：一类是无穷积分， ( ) ( , ) a F x f x y dy +¥ = ò ，另一类是瑕积分， ( ) ( , ) b a G x = fxy dy ò 。 一般地广义积分的两类情形是可以通过变量替换互换的，因而这里我们着重考虑无穷积 分的情形。 1 含参量无穷积分的一致收敛性 令： ( , , ) ( ) A a F x A = f x y dy ò ，这是一个二元函数，当 A ®+¥ 时该函数关于 x 的一 致收敛性也就是广义积分的一致收敛性，因此： 定义： 若函数 ( , , ) ( ) A a F x A = f x y dy ò 当 A ®+¥ 时，对 xÎX 一致收敛，则称积 分 ( , ) a f x y dy +¥ ò 对 xÎX 一致收敛。 例 1：讨论积分 0 xy xe dy +¥ - ò 的一致收敛性。 解： 显然， x > 0 时上述积分总是收敛的，但是否一致收敛呢？ 按定义， ( ) 0 , 1 A xy xA F x A xe dy e - - = = - ò 若 x c ³ > 0 ，则： ( , ) 1 0 xA cA F x A e e - - - =£® ，( A ®+¥) 所以 0 xy xe dy +¥ - ò 在[c,+¥) 上一致收敛；