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150 线性代数重点难点30讲 得向量组仍线性无关 例9设a1,a2,…,a,(r<n)是互不相同的数问向量组 是否线性相关? 解注意向量组a1,a2,…,,是,个n维向量,是r维向量组 ,阝2 的延长向量组,由于 1(B1,B2,…,B)1=aiaa (a1-a)≠0 l≤<i≤r 依命题9知β1,B2,…,阝,线性无关,进而依命题10知a1,…,axn线性无关 例10设矩阵Anxn的秩等于它的行数m,证明:对任意m维列向量b,方程组Ax= 都有解 证由方程组Ax=b有解的判定定理,就是要证明R[Ab]=R(A)=m,注意矩 阵[Ab]的行向量组线性无关而由已知的R(An)=m,知A的行向量组线性无关 们来看矩阵A与Ab]的向量组之间的关系,设A=(an)m,b=(b1,b2,…,bn) A的第i个行向量为 [Ab]的第i个行向量为 B=[ b],=1,2 可见[Ab]的行向量组可看作是由A的行向量组中每个向量在末尾位置添加分量所 到,于是由向量组ax1,a2,…,am线性无关,可知向量组B1,阝2,…,Bn线性无关,即知矩P Ab]的行向量组线性无关,本题得证
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