证函数项级数f(x)=∑acan对一切x∈(-2+∞)收敛,且 (arctan -) 由于5,由 Weierstrass判列别法,可知5(mn) 在(-∞,+∞)上一致收敛,再由逐项求导定理,即可知道 d dxf(x)=∑ (arctan-2)。 6.设数项级数∑an收敛,证明: ()imn∑a=∑a a,x"dx=>n 证(1)首先对于每一固定的x∈[0,)(6>0),关于n单调,且对于 切x∈0,6)与一切n,成立0<—≤1,又因为∑an是数项级数,它的 收敛意味着关于x的一致收敛性,于是由Abe判别法,∑在p)上 致收敛,因此和函数∑关于x在[δ)连续,从而成立 im∑m=∑n (2)由例题10.24,∑anx"在o上一致收敛,再由逐项积分定理,得 到 n=1h+1 7.设n(x),wn(x)在区间(a,b)连续,且|un(x)|≤vn(x)对一切n∈N证 函数项级数 ∑ ∞ = = 1 2 ( ) arctan n n x f x 对一切 x ∈ (−∞,+∞)收敛，且 (arctan ) = 2 n x dx d 2 2 2 1 n x n + ， 由于 2 2 2 2 1 1 n n x n ≤ + ，由 Weierstraass 判别法，可知 ∑ ∞ =1 2 (arctan ) n n x dx d 在(−∞,+∞) 上一致收敛，再由逐项求导定理，即可知道 d x d f (x) = (arctan ) d d 1 ∑ 2 ∞ n= n x x 。 6. 设数项级数 ∑ 收敛，证明： ∞ n=1 n a ⑴ →0+ lim x ∑ ∞ n=1 x n n a = ∑ ； ⑵ = ∞ n=1 n a ∫ ∑ ∞ = 1 0 1 a x d x n n n ∑ ∞ n=1 +1 n n a 。 证 (1) 首先对于每一固定的 x ∈[0,δ ) (δ > 0)， x n 1 关于 单调，且对于 一切 n x ∈[0,δ )与一切n，成立 1 1 0 < ≤ x n ，又因为 是数项级数，它的 收敛意味着关于 的一致收敛性，于是由 Abel 判别法， ∑ ∞ n=1 an x ∑ ∞ n=1 x n n a 在[0,δ )上 一致收敛，因此和函数 ∑ ∞ n=1 x n n a 关于 x在[0,δ )连续，从而成立 →0+ lim x ∑ ∞ n=1 x n n a =∑ 。 ∞ n=1 an (2) 由例题 10.2.4，∑ 在 ∞ n=1 n n a x [0,1]上一致收敛，再由逐项积分定理，得 到 ∫ ∑ ∞ = 1 0 1 a x d x n n n =∑ ∞ n=1 +1 n n a 。 7. 设un (x)，vn (x)在区间(a, b)连续，且│un (x)│≤vn (x) 对一切n∈N+ 7