敛,即-∑皿n在(+∞)上内闭一致收敛,则-∑n在(+)上连续。 由逐项求导定理,可知f(x)=-∑,即f(x)在(1,+∞)上有连续导 函数。 利用 n4n(k=12…),可以证明(-1) In 在(1,+∞) 上内闭一致收敛,同理可得f(x)在(1,+∞)上有各阶连续导函数。 设g(x)=2(,由 Dirichlet判别法,可知对任意 0<a<A<+∞, n=l n ∑(D在n,上一致收敛,即∑(在(.+∞)上内闭一致收敛,所以 g(x)=∑)在(0+x)上连续 n=I n 又4(=(=ymn,同样由 Dirichlet判别法,可知对任意 0<a<4<+0,∑=在[,上一致收敛,即∑(m在(0+∞ 上内闭一致收敛,所以(-)n 在(0,+∞)上连续。由逐项求导定理 可知g(x)=∑)mn,即g(在0+∞)上有连续导函数。 利用“()1=(“mn(k=12-),同样由 Dirichlet判别法, 可以证明∑(D”n在0+)上内闭一致收敛,同理可得gx)在 (0+∞)上有各阶连续导函数。 5.证明:函数项级数f(x)=∑ arctan可以逐项求导,即 f(x)=∑; arctan2) d i d敛，即 ∑ ∞ = − 1 ln n x n n 在(1,+∞)上内闭一致收敛，则 ∑ ∞ = − 1 ln n x n n 在 上连续。 由逐项求导定理，可知 (1,+∞) f '(x) = ∑ ∞ = − 1 ln n x n n ，即 f (x) 在(1,+∞)上有连续导 函数。 利用 x k k k x k n n dx n d ln ( 1) 1 ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (k = 1,2,")，可以证明 ∑ ∞ = − 1 ln ( 1) n x k k n n 在(1 上内闭一致收敛，同理可得 在 ,+∞) f (x) (1,+∞)上有各阶连续导函数。 设 g(x) = ∑ ∞ = − 1 ( 1) n x n n ，由 Dirichlet 判别法，可知对任意0 < < a A < +∞， ∑ ∞ = − 1 ( 1) n x n n 在[ , a A]上一致收敛，即 ∑ ∞ = − 1 ( 1) n x n n 在(0,+∞)上内闭一致收敛，所以 g(x) = ∑ ∞ = − 1 ( 1) n x n n 在(0,+∞)上连续。 又 x n x n n n dx n d ( 1) ( 1) ln +1 − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ，同样由 Dirichlet 判别法，可知对任意 0 < < a A < +∞，∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) ln n x n n n 在[ , a A]上一致收敛，即 ∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) ln n x n n n 在 上内闭一致收敛，所以 (0,+∞) ∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) ln n x n n n 在(0,+∞)上连续。由逐项求导定理， 可知 g'(x) = ∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) ln n x n n n ，即 g(x)在(0,+∞)上有连续导函数。 利用 x n k k x n k k n n dx n d ( 1) ( 1) ln + − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − (k = 1,2,")，同样由 Dirichlet 判别法， 可以证明 ∑ ∞ = + − 1 ( 1) ln n x n k k n n 在 (0,+∞) 上内闭一致收敛，同理可得 在 上有各阶连续导函数。 g(x) (0,+∞) 5. 证明：函数项级数 ∑ ∞ = = 1 2 ( ) arctan n n x f x 可以逐项求导，即 d x d f (x) = (arctan ) d d 1 ∑ 2 ∞ n= n x x 。 6