由 Dirichlet判别法,可知-∑""在[6,2z-上一致收敛,即 -∑""在(02x)上内闭一致收敛,因此a(x)=-∑""在(0,2z) n=o n 上连续。再由逐项求导定理,可知f(x)=(x)在(0,2z)上成立,即 f(x)=∑2"在(0,2x)上有连续的导函数 6n2+1 3.证明:函数f(x)=∑ne在(+∞)上连续,且有各阶连续导函数 证对任意的0<a<4<+,当x∈,成立0<mem≤nem,且∑nem 收敛,由 Weierstra判别法,∑ne在4上一致收敛,即∑ne在 (0+∞)上内闭一致收敛,所以f(x)=∑me在(0,+∞)上连续。 设a(x)=∑(ne")=-∑ne,与上面类似可证明-∑nem在 (0+∞)上内闭一致收敛,因此a(x)=-∑n2e在(0,+∞)上连续。再由逐 项求导定理,可知f(x)=0(x)在(0+∞)上成立,即f(x)=∑ne在(0.+) 上有连续的导函数 注意到(-1)∑ne(k=1,2,…)在(0,+∞)上都是内闭一致收敛的, 所以上述过程可以逐次进行下去,由数学归纳法,可知f(x)=∑ne 在(0+∞)上有各阶连续导函数 4.证明:函数∑在(1,+∞)上连续,且有各阶连续导函数;函数 ∑在0+)上连续,且有各阶连续导函数 证设f()=2,对任意1<a<4+,当xe,成立0ns 且∑收敛,由 Weierstrass判别法,∑在[a4上一致收敛,即 n=I n ∑在1,+∞)上内闭一致收敛,所以(x)=∑在+)上连续。 n 又(1)=-mn,且对任意1<a<A<+,-m在小上一致收由 Dirichlet 判别法，可知 ∑ ∞ = + − 0 2 1 sin n n n nx 在 [δ ,2π − δ ] 上一致收敛，即 ∑ ∞ = + − 0 2 1 sin n n n nx 在(0,2π )上内闭一致收敛，因此σ (x) = ∑ ∞ = + − 0 2 1 sin n n n nx 在(0,2π ) 上连续。再由逐项求导定理，可知 f '(x) = σ (x) 在(0,2π )上成立，即 ∑ ∞ = + = 0 2 1 cos ( ) n n nx f x 在(0,2π )上有连续的导函数。 3. 证明：函数 ∑ 在 ∞ = − = 1 ( ) e n nx f x n (0,+∞)上连续，且有各阶连续导函数。 证 对任意的0 < a A < < +∞，当 x a ∈[ , A]，成立0 nx an ne ne − − < ≤ ，且 0 an n ne ∞ − = ∑ 收敛，由 Weierstraass 判别法， 在[ , 上一致收敛，即 在 0 nx n ne ∞ − = ∑ a A] 0 nx n ne ∞ − = ∑ (0,+∞)上内闭一致收敛，所以 0 ( ) nx n f x ne ∞ − = = ∑ 在(0,+∞)上连续。 设 σ (x) = 0 ( )' nx n ne ∞ − = ∑ = 2 0 nx n n e ∞ − = −∑ ，与上面类似可证明 在 上内闭一致收敛，因此 2 0 nx n n e ∞ − = −∑ (0,+∞) σ (x) = 2 0 nx n n e ∞ − = −∑ 在(0,+∞)上连续。再由逐 项求导定理，可知 f '(x) = σ (x) 在(0,+∞)上成立，即 0 ( ) nx n f x ne ∞ − = = ∑ 在 上有连续的导函数。 (0,+∞) 注意到( 1) ( 1,2, )在 1 − ∑ 1 = " ∞ = + − n e k n k k nx (0,+∞)上都是内闭一致收敛的， 所以上述过程可以逐次进行下去，由数学归纳法，可知 在 上有各阶连续导函数。 ∑ ∞ = − = 1 ( ) e n nx f x n (0,+∞) 4. 证明：函数∑ ∞ =1 1 n x n 在(1,+∞) 上连续，且有各阶连续导函数；函数 ∑ ∞ = − 1 ( 1) n x n n 在(0,+∞)上连续，且有各阶连续导函数。 证 设 f (x) = ∑ ∞ =1 1 n x n ，对任意1< a A < < +∞ ，当 x a ∈[ , A]，成立 1 1 0 x a n n < ≤ ， 且 1 1 a n n ∞ = ∑ 收敛，由 Weierstraass 判别法，∑ ∞ =1 1 n x n 在[ , a A]上一致收敛，即 ∑ ∞ =1 1 n x n 在(1,+∞)上内闭一致收敛，所以 f (x) = ∑ ∞ =1 1 n x n 在(1,+∞)上连续。 又 x x n n dx n d 1 ln ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ，且对任意1< a A < < +∞， ∑ ∞ = − 1 ln n x n n 在[ , a A]上一致收 5