零,所以{an(x)对固定的x∈(-∞,+∞)关于n是单调的,且在(-∞,+∞)上 一致收敛于零,同时 ∑b(x xs2sin sin kx=cos l- cos(n+ o)x-cos<2 由 Dirichlet判别法,∑出x在(-∞,+∞)上一致收敛 m=2n0(1+1y2·取6了0,对任意的正整数N,取 (11)设un(x)= ∈(-∞,+∞) 则 n nX k=n+1 (1+x2)2n(1+x2)2n 所以∑ 不满足 Cauchy收敛原理的条件,由此可知 在 (1+x2) (-∞,+∞)上非一致收敛。 (12)设an(x)= bn(x)=(-1)”,则{n(x)}对固定的xe(-,+∞)关 (1+x2) 于n是单调的,且在(+)上一致收敛于零,同时∑(1,由 Dirichlet判别法,∑(-)”n3、在(-+)上一致收敛。 2.证明:函数f(x)=∑0在(0,2x)上连续,且有连续的导函数。 n2+1 证由于 coS nr ∑收敛,由 Weierstra9别法, cos nX 在(0,2z)上一致收敛,所以f(x)=∑在(O,2)上连续 设a(x)=∑(” S h 由于 单调趋于零,且对任 n=0n2+1 n=0n2+1 n-2+1 意的0<δ<丌,当x∈[6,2x-6]时, cosI n+-lx-coS SIn ≤ SIn零，所以{an (x)}对固定的 x ∈ (−∞,+∞)关于 是单调的，且在 上 一致收敛于零，同时 n (−∞,+∞) ∑ = = n k k b x 1 ( ) ∑ = n k kx x x 1 sin 2 2sin 2 cos 2 2 ) cos 2 1 cos( 2 = cos ⋅ + − ≤ x n x x ， 由 Dirichlet 判别法，∑ ∞ =1 sin sin n n x nx 在(−∞,+∞) 上一致收敛。 （11）设 n n x x u x (1 ) ( ) 2 2 + = ，取 0 1 2 0 = > e ε ，对任意的正整数 N，取 m = 2n (n > N)与 n xn 1 = ∈ (−∞,+∞)，则 ∑ = = + m k n k n u x 1 ( ) 2 1 2 (1 ) + + n n n x x + + + + 2 +2 " 2 (1 ) n n n x x n n n x x 2 2 2 (1+ ) n n n x nx 2 2 2 (1+ ) > 0 2 1 > = ε e ， 所以∑ ∞ =0 + 2 2 n (1 ) n x x 不满足Cauchy收敛原理的条件，由此可知∑ ∞ =0 + 2 2 n (1 ) n x x 在 (−∞,+∞) 上非一致收敛。 （12）设 n n x x a x (1 ) ( ) 2 2 + = ，bn (x) = (−1) n，则{an (x)}对固定的 关 于 是单调的，且在 上一致收敛于零，同时 x ∈ (−∞,+∞) n (−∞,+∞) ( ) 1 1 ∑ ≤ = n k k b x ，由 Dirichlet 判别法，∑ ∞ = + − 0 2 2 (1 ) ( 1) n n n x x 在(−∞,+∞) 上一致收敛。 2. 证明：函数 ∑ ∞ = + = 0 2 1 cos ( ) n n nx f x 在(0,2π )上连续，且有连续的导函数。 证 由于 1 1 1 cos 2 2 + ≤ n + n nx ，∑ ∞ =0 +2 1 1 n n 收敛，由 Weierstraass 判别法，∑ ∞ =0 +2 1 cos n n nx 在(0,2π )上一致收敛，所以 ∑ ∞ = + = 0 2 1 cos ( ) n n nx f x 在(0,2π )上连续。 设σ (x) = = + ∑ ∞ = )' 1 cos ( 0 2 n n nx ∑ ∞ = + − 0 2 1 sin n n n nx ，由于 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ +1 2 n n 单调趋于零，且对任 意的0 < δ < π ，当 x∈ [δ ,2π − δ ]时， ∑= n k kx 1 sin = 2 2 sin 2 cos 2 1 cos x x n ⎟x − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≤ 2 sin 1 δ ， 4