思考题 1、定理1,2中的 Banach空间或第二纲集的条件其必要性如何?试考察下面例子 P[a,b]上定义 f(p)=man,Vp()=a0+at+…+at∈Pa,b] 证明n是线性泛函,它们点点有界却不是范数有界的原因在于P[a,b]不是完备 空间,自身也不是第二纲集. 2、设X是 Banach空间,Y是线性赋范空间,T∈B(X,Y)则supn=∞当且仅 当存在x∈X使得 supl, xo|=∞·(称此点x是{团}的共鸣点) 共鸣定理在经典分析中有着广泛的应用.对于其中一些复杂的问题,应用共鸣定理可以 简便地得到解决.下面举出几种例子,即 Holder不等式的逆问题,机械求积公式的收敛性以 及 Fourier级数的发散问题,其中应注意是如何将经典分析中的问题转化为泛函分析中的问 题并加以解决的 例1设1<p<∞,a=(an)是标量序列,若x=(xn)∈P,级数 收敛,则a∈q,这里 证明问题即证明∑|anP<o.Wn≥1,定义 f(x)=∑ax,Vx∈ 则f是P上的线性泛函.由 Holder不等式 (x=1ax,|②k)(立k 于是L/|)%.为了进一步求出其范数,取 x=(x0),…,x0), (其中令%=0),则容易计算出kL=LA(x9)=k),所以思考题 1、 定理 1，2 中的 Banach 空间或第二纲集的条件其必要性如何？试考察下面例子： 在 Pab [,]上定义 0 1 ( ) , () [ , ] k nn k f p na p t a a t a t P a b = ∀ =+ ++ ∈ " 证明 nf 是线性泛函，它们点点有界却不是范数有界的. 原因在于 Pab [,]不是完备 空间，自身也不是第二纲集. 2、 设 X 是 Banach 空间，Y 是线性赋范空间，T B(X ,Y ), n ∈ 则 = ∞ ≥ n n T 1 sup 当且仅 当存在 x0 ∈ X 使得 = ∞ ≥ 0 1 sup T xn n ．(称此点 0 x 是{ } Tn 的共鸣点). 共鸣定理在经典分析中有着广泛的应用. 对于其中一些复杂的问题，应用共鸣定理可以 简便地得到解决. 下面举出几种例子，即 Holder 不等式的逆问题，机械求积公式的收敛性以 及 Fourier 级数的发散问题，其中应注意是如何将经典分析中的问题转化为泛函分析中的问 题并加以解决的. 例 1 设1 , ( ) n < p < ∞ α = α 是标量序列，若 p n ∀x = (x )∈l , 级数 ∑ ∞ n=1 n n α x （6） 收敛， 则 , q α ∈l 这里 1. 1 1 + = p q 证明 问题即证明 . 1 ∑ < ∞ ∞ n= q α n ∀n ≥ 1，定义 ∑= = ∀ ∈ n i p n i i f x x x l 1 ( ) α , 则 n f 是 p l 上的线性泛函. 由 Holder 不等式 f n (x) = ( ) ( ) . 1 1 1 1 1 ∑ ∑ ∑ = = = ≤ n i p n i p i q q n i i i i α x α x 于是 f n ≤ q q n i i 1 1 (∑ ) = α . 为了进一步求出其范数，取 , ( , , ,0, ) ( ) (0) (0) 1 (0) 1 1 (0) " n " p q n i i i q i i x = x = x x ∑= α α α （其中令 0) 0 0 = ， 则容易计算出 1, (0) = p x ( ) = (0) f x n ( ) , 1 1 q q n i ∑ i = α 所以