证明不妨设0∈B,否则任取x0∈B,令B=B-x0,则B是开集并且0∈B".此 时每个x∈B",x'=x-x0,其中x∈B,于是 卩2=2x-T2xx+2x2a,VA∈A (3) 即变为所说的情况 现在取δ>0使O(0,δ)cB则更有 Sup/2xsa,x∈O0.) 从而 上::+=,以2 定理1(共鸣定理)设X,Y是线性赋范空间,{λ∈A}是一族有界线性算子.若 7∈A在X的某个第二纲集上点点有界,则它是一致有界的 特别地,在 Banach空间上点点有界的连续线性算子族是一致有界的 证明实际上1(x)=(x是x的连续函数,然后应用引理1、引理2即得到所要 的结论 定理2( Banach- Steinhaus)设{n}是从 Banach空间X到线性赋范空间Y的有界线 性算子,若对于每个x∈X, limt.x存在,则存在T∈B(X,Y)使得 Tx= limT.x,wx∈x|rsim‖ 证明令Tx= linux,Vx∈X,则T在X上有定义并且是线性算子.极限的存在性说 明,x∈X,|刈有界,X是完备的,根据共鸣定理,Tn}是一致有界的.故存在M>0使 得|7≤M,n≥1.于是 = lim Tx≤ ≤M 从而M·若m=a=lm同样的极限x=lm7x成立,由此得出 17x=limI Tn, x s lim, - =lll 所以sim|‖证 明 不妨设0∈ B ，否则任取 , x0 ∈ B 令 ' , 0 B = B − x 则 B'是开集并且 ' 0∈ B ． 此 时每个 ' ', ' , 0 x ∈ B x = x − x 其中 x∈ B ， 于是 Tλ x = Tλ x − Tλ x0 ≤ Tλ x + Tλ x0 ≤ 2a, ∀λ ∈Λ (3) 即变为所说的情况. 现在取δ > 0 使 O(0, δ ) ⊂ B 则更有 sup , (0,δ ). λ λ Λ T x ≤ a ∀x∈O ∈ 从而 sup , . 1 sup ( ) λ Λ δ δ δ λ δ λ δ λ = = ≤ ∀ ∈ ≤ ≤ a T x x T T x x (4) 定理 1 （共鸣定理） 设 X,Y 是线性赋范空间，{ ;λ Λ} Tλ ∈ 是一族有界线性算子. 若 { ;λ Λ} Tλ ∈ 在 X 的某个第二纲集上点点有界，则它是一致有界的. 特别地，在 Banach 空间上点点有界的连续线性算子族是一致有界的. 证 明 实际上 f (x) = T (x) λ 是 x 的连续函数，然后应用引理 1、引理 2 即得到所要 的结论. 定理 2 （Banach-Steinhaus） 设{ } Tn 是从 Banach 空间 X 到线性赋范空间 Y 的有界线 性算子，若对于每个 x∈ X, T xn n→∞ lim 存在，则存在T ∈ B(X,Y)使得 Tx Tn x x X n = ∀ ∈ →∞ lim , n n T T →∞ ≤ lim ． (5) 证明 令 Tx Tn x x X n = ∀ ∈ →∞ lim , ，则T 在 X 上有定义并且是线性算子. 极限的存在性说 明，∀x ∈ X ， T xn 有界，X 是完备的，根据共鸣定理，{ } Tn 是一致有界的. 故存在 M > 0 使 得 T ≤ M , n ≥1. n 于是 Tx = T x Tn x M x x X n n n ≤ ≤ ∀ ∈ ≥ →∞ lim sup , 1 从而 T ≤ M ．若 lim lim , k k n n n n T a T →∞ →∞ = = 同样的极限Tx T xk k n n →∞ = lim 成立，由此得出 Tx = T x T x a x x X k k k k n n n n ≤ = ∀ ∈ →∞ →∞ lim lim , 所以 n n T T →∞ ≤ lim ．