第10讲共鸣定理及其应用 教学目的 掌握共鸣定理的证明思想,通过具体例子分析使学生了解 它在经典分析中的应用并初步学会应用的方法 授课要点 1领会纲推理在证明中的关键作用 2困难在于如何将经典分析中的问题转化为泛函分析中的问 题 泛函分析要解决的问题往往不是关于单个算子或单个元素的,而是涉及一族算子或元 素的。换句话说,我们所关心的是一族算子或元素共有的性质.在上一节里我们己经把从赋 范空间X到赋范空间Y的有界线性算子全体记为B(X,Y),那么我们现在要考虑的是有 关算子族K={T2;A∈A}cB(X,Y)的问题 我们称{7∈是一致有界的,若sp7<称它在集合E上点点有界,若 x∈E,sp对<a 引理1( Osgood)设X为线性赋范空间,(AA∈A)是在X上定义的下半连续的非负 实函数族,E是X中的第二纲集.若对于每个x∈E,supf1(x)≤a2则存在M>0和非空 开集B使得 f2(x)≤M,V∈A,x∈B. 证明设En={x∈X,2(x)≤n,VA∈A,Em={x∈x,f2(x)≤n},则En=∩E如,由下 办连续性,每个Em是闭集,从而En是闭集.又由引理中条件,Ec∪En,E是第二纲集, 所以E,是第二纲集于是存在n使得B=E≠0.于是 f(x)≤n0,yV∈A,x∈B 引理2设{T2;λ∈}是B(X,Y)中一族有界线性算子,若B是X中的非空开集,并 且Wx∈B,sup2≤a,则存在M>0使得supM.即(T2;A∈A)是一致有界的第 10 讲 共鸣定理及其应用 教学目的 掌握共鸣定理的证明思想，通过具体例子分析使学生了解 它在经典分析中的应用并初步学会应用的方法． 授课要点 1 领会纲推理在证明中的关键作用. 2 困难在于如何将经典分析中的问题转化为泛函分析中的问 题. 泛函分析要解决的问题往往不是关于单个算子或单个元素的，而是涉及一族算子或元 素的。换句话说，我们所关心的是一族算子或元素共有的性质．在上一节里我们已经把从赋 范空间 X 到赋范空间 Y 的有界线性算子全体记为 ) B(X,Y , 那么我们现在要考虑的是有 关算子族 K = {T ;λ ∈Λ} ⊂ B(X,Y) λ 的问题. 我们称{ ;λ Λ} Tλ ∈ 是一致有界的，若sup < ∞. ∈ λ λ Λ T 称它在集合 E 上点点有界，若 ∀x∈ E, sup < ∞. ∈ T xλ λ Λ 引理 1（Osgood） 设 X 为线性赋范空间，( ;λ Λ) f λ ∈ 是在 X 上定义的下半连续的非负 实函数族， E 是 X 中的第二纲集．若对于每个 x∈ E, ax f x ≤ ∈ sup ( ) λ λ Λ 则存在 M > 0 和非空 开集 B 使得 f (x) ≤ M, ∀λ ∈Λ, x∈ B. λ (1) 证明 设 { ; ( ) , λ Λ}, En = x ∈ X f λ x ≤ n ∀ ∈ E {x X ; f (x) n} λn = ∈ λ ≤ ，则 . En Eλn λ∈Λ = ∩ 由下 办连续性，每个 Eλn 是闭集，从而 En 是闭集. 又由引理中条件， , 1 n n E E ∞ = ⊂ ∪ E 是第二纲集， 所以 n n E ∞ = ∪1 是第二纲集. 于是存在 0 n 使得 = ≠ o B En0 Ø．于是 ( ) , , . f λ x ≤ n0 ∀λ ∈ Λ x ∈ B (2) 引理 2 设{ ;λ Λ} Tλ ∈ 是 B(X ,Y) 中一族有界线性算子，若 B 是 X 中的非空开集，并 且∀x∈ B T x ≤ a ∈ λ λ Λ ,sup ，则存在 M > 0 使得sup T ≤ M. ∈ λ λ Λ 即( ;λ Λ) Tλ ∈ 是一致有界的．