郑文吴等：具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制 ·1181· ∑ 3 3 ≤- 将式(24)和(25)代入式(23)，根据引理1和假 Iz1(Iv,10 +lov,102)Izz1(lv,10+lov,102) 设3，结合等式a=(2+产-')与间=2（+ 品- 品-品 -)可得： 1z111 己l2sI(8,+d) 品-坛 品-： zatanh (z)(+) 品-场 保豆)小日豆-至 tanh (z (0+lov) 品-品 ,2”20小 品-盆 atanh ()1o10 品-五 名是·名 tanh（si)(9,+d+ + 弓k5+ 三+学优+享) (26) 品-运 品-场 3 需要注意的是，饱和补偿器状态受到1△r:的值 影响，且I△r:I应有界，若1△x:I→∞则表示系统跟踪 上参考轨迹所需的控制是输入无穷大的，此时饱和 名+宫近 (23) 补偿器失效，且系统无法完成期望轨迹的跟踪 设计未知参数d,0,(i=1,2,3,4)的自适应律如 根据以上控制器设计思路，提出了如下定理 下所示： 定理1：考虑全向移动机器人系统(6)，在假设 1~3的情况下，若初始值a:(0)∈中1叁{Iz:I<kt, (6,= rlv,|ztanh（ez2i） 房-场 i=1,2,3}和z2:(0)∈Φ24{Iz2x1<kw,i=1,2,3}, 2,和D2为状态的约束集合，选取参数k:>0,k:> |v,I ztanh(ez22） 品-品 -YiYo0 0,k:>0和k4:>k:,在自适应饱和控制器(20)和自 适应律(24)的作用下，通过选取合适的控制参数及 62=y2 loe,1ztanh（e2）+ k与kw,.和z2能够收敛到原点足够小的邻域内， 品- 且机器人的系统状态满足Iq:I<B:,Iq2<P2:(i= lwr.|zztanh（ez22） 1,2,3):闭环系统的所有信号实现一致有界 品-品 -Y2Y02 证明：取o=max{1/-,i=1,2,3},根据 63=Y3 [I w I zztanh（Ez23） 引理2，式(26)可简化为： 品-运 -当%月 6=立uae) i=1 品- -YaYo0 民+宫)-宫4+8+ d=zitann (i-yaYod i=1 品-品 P2P382+P,81+P1P382+P303+30。+3d)+ (24) 1传宫 式中，y。是正常数 -nV+p (27) 基于杨不等式，下列不等式成立： 假设△r具有未知上界v,且IBI2I△rI2具有 32B△r k2,‖Bm‖2‖△r‖2 未知上界山，因此， 品-场4（后-） k2(-:) (n=min 2ku,k,Yo,ks,i=1,2,3 p=p,8+Ppp8,+p,8+Ppp4+p8+30+ k25≤ k2 k经 原-名4（除-）+原- (25) (28)郑文昊等: 具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制 V ·臆 - 移 3 i = 1 k1i z 2 1i k 2 ai - z 2 1i - 移 3 i = 1 k2i z 2 2i k 2 bi - z 2 2i + |z21 |( |vx |兹1 + |棕vy |兹2 ) k 2 b1 - z 2 21 + |z22 |( |vy |兹1 + |棕vx |兹2 ) k 2 b2 - z 2 22 + |z23 | | 棕| 兹3 k 2 b3 - z 2 23 + 移 3 i = 1 |z2i | (兹4 + d) k 2 bi - z 2 2i - z21 tanh (着z21 )( |vx | ^ 兹1 + | 棕vy | ^ 兹2 ) k 2 b1 - z 2 21 - z22 tanh (着z22 )( |vy | ^ 兹1 + | 棕vx | ^ 兹2 ) k 2 b2 - z 2 22 - z23 tanh (着z23 ) | 棕| ^ 兹3 k 2 b3 - z 2 23 - 移 3 i = 1 z2i tanh (着z2i)( ^ 兹4 + ^ d) k 2 bi - z 2 2i + 移 3 i = 1 k2i z2i 孜i k 2 bi - z 2 2i + 移 3 i = 1 z2iB0i驻子 k 2 bi - z 2 2i - 移 3 i = 1 k3i 孜 2 i - 移 3 i = 1 k4i k 2 bi - z 2 2i 孜 2 i + 移 3 i = 1 孜i驻子i + 1 酌d d寛i ^ d · i + 移 4 i = 1 1 酌i 兹寛i ^ 兹 · i (23) 设计未知参数 d,兹i(i = 1,2,3,4)的自适应律如 下所示: ^ 兹 · 1 = 酌1 [ | vx | z21 tanh (着z21 ) k 2 1 - z 2 21 + | vy | z22 tanh (着z22 ) k 2 b2 - z 2 2 ] 2 - 酌1酌0 ^ 兹1 ^ 兹 · 2 = 酌2 [ | 棕vy | z21 tanh (着z21 ) k 2 b1 - z 2 21 + | 棕vx | z22 tanh (着z22 ) k 2 b2 - z 2 2 ] 2 - 酌2酌0 ^ 兹2 ^ 兹 · 3 = 酌3 [ | 棕 | z23 tanh (着z23 ) k 2 b3 - z 2 2 ] 3 - 酌3酌0 ^ 兹3 ^ 兹 · 4 = 酌4移 3 i = 1 z2i tanh (着z2i) k 2 bi - z 2 2i - 酌4酌0 ^ 兹4 ^ d · = 酌d移 3 i = 1 z2i tanh (着z2i) k 2 bi - z 2 2i - 酌d酌0 ^ ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï d (24) 式中,酌0 是正常数. 基于杨不等式,下列不等式成立: z2iB0i驻子 k 2 bi - z 2 2i 臆 k2i z 2 2i 4(k 2 bi - z 2 2i) + 椰B0i椰2 椰驻子椰2 k2i(k 2 bi - z 2 2i) 孜i驻子i臆 k3i 2 孜 2 i + 驻子 2 i 2k3i k2i z2i 孜i k 2 bi - z 2 2i 臆 k2i z 2 2i 4(k 2 bi - z 2 2i) + k2i 孜 2 i k 2 bi - z 2 2 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï i (25) 将式(24)和(25)代入式(23),根据引理 1 和假 设 3,结合等式 d寛^ d = 1 2 (d寛2 + ^ d 2 - d 2 )与 兹寛i ^ 兹i = 1 2 ( ^ 兹 2 i + 兹寛2 i - 兹 2 i )可得: V ·臆 - 移 3 i =1 k1i z 2 1i k 2 ai - z 2 1i - 1 2 移 3 i =1 k2i z 2 2i k 2 bi - z 2 2i - 酌0 ( 2 d寛2 i + 移 4 i =1 兹寛2 i ) - 1 2 移 3 i =1 k3i 孜 2 i - 移 3 i =1 (k4i - k2i)孜 2 i k 2 bi - z 2 2i + l [ 着 p1 兹1 + p2 p3 兹2 k 2 b1 - z 2 21 + p2 兹1 + p1 p3 兹2 k 2 b2 - z 2 22 + p3 兹3 k 2 b2 - z 2 2 ] 2 + l 着 移 3 i = 1 兹4 + d k 2 bi - z 2 2i + 移 3 i = 1 椰B0i椰2 椰驻子椰2 k2i(k 2 bi - z 2 2i) + 移 3 i = 1 驻子 2 i 2k3i + 酌0 ( 2 d 2 i + 移 4 i = 1 兹 2 i ) (26) 需要注意的是,饱和补偿器状态受到| 驻子i | 的值 影响,且|驻子i |应有界,若|驻子i |寅肄 则表示系统跟踪 上参考轨迹所需的控制是输入无穷大的,此时饱和 补偿器失效,且系统无法完成期望轨迹的跟踪. 根据以上控制器设计思路,提出了如下定理. 定理 1:考虑全向移动机器人系统(6),在假设 1 ~ 3 的情况下,若初始值 z1i(0)沂椎1劬{ | z1i | < kai, i = 1,2,3}和 z2i (0)沂椎2劬{ | z2i | < kbi,i = 1,2,3}, 赘1 和 赘2 为状态的约束集合,选取参数 k1i > 0,k2i > 0,k3i > 0 和 k4i > k3i,在自适应饱和控制器(20)和自 适应律(24)的作用下,通过选取合适的控制参数及 kai与 kbi,z1i和 z2i能够收敛到原点足够小的邻域内, 且机器人的系统状态满足 | q1i | < 茁1i, | q2i | < 茁2i ( i = 1,2,3);闭环系统的所有信号实现一致有界. 证明:取 滓 = max {1 / k 2 bi - z 2 2i,i = 1,2,3},根据 引理 2,式(26)可简化为: V ·臆 - 移 3 i = 1 k1i ln k 2 ai k 2 ai - z 2 1i - 1 2 移 3 i = 1 k2i ln k 2 bi k 2 bi - z 2 2i - 酌0 ( 2 d寛2 i + 移 4 i = 1 兹寛2 i ) - 1 2 移 3 i = 1 k3i 孜 2 i + 滓l 着 (p1 兹1 + p2 p3 兹2 + p2 兹1 + p1 p3 兹2 + p3 兹3 + 3兹4 + 3d) + 滓移 3 i =1 椰B0i椰2 椰驻子椰2 k2i +移 3 i =1 驻子 2 i 2k3i + 酌0 ( 2 d 2 i +移 4 i =1 兹 2 i ) 臆 - 浊V + 籽 (27) 假设 驻子 2 i 具有未知上界 自,且椰B0i椰2 椰驻子椰2 具有 未知上界 鬃,因此, 浊 = min {2k1i,k2i,酌0 ,k3i,i = 1,2,3} 籽 = 滓l 着 (p1 兹1 + p2 p3 兹2 + p2 兹1 + p1 p3 兹2 + p3 兹3 + 3兹4 + 3d) + 移 3 i =1 滓鬃 k2i + 移 3 i =1 自 2k3i + 酌0 ( 2 d 2 i + 移 4 i =1 兹 2 ) ì î í ï ï ï ï ï ï i (28) ·1181·