·1180· 工程科学学报，第41卷，第9期 其中K。=diag{k,k2,ka},k(i=1,2,3)是正常 数，其取值可由k=B:-δ：(i=1,2,3)确定. ∑(B本 }Bw△r (16) 保-场 台保-场： 对V,求导可得： 为了解决控制器输入饱和问题，设计辅助系统 21:21i (抗饱和补偿器)如下： (11) kai (17) 其中1=91-9.=J(8)42-91.=J(8)(32+)- :=-(k+-品 9.,设计虚拟变量a如下所示： 式中，k,和k是正常数，△T:=T:-Ta表示第i个执 a=J'(0)(91.-K31） (12) 行器饱和的控制输入与无饱和约束的控制输入之 其中K1=diag{k1,k2,k13},k:(i=1,2,3)是正 差，且辅助变量专=(5,2,5)的初始值定义为 常数. (0)=(0,0,0) 进一步，式(11)代入元，和x表达式可得公式 取Lyapunov函数如下： (13): ++立立+5(18) 经·含9 3 J(0)z2 V=V:+2 12y: =- (13) 式中，ya,Y(i=1,2,3,4)均为正常数. 式中，J,(0)是矩阵J(0)的第i个行向量. 结合式(13)，(16)和(17)，对式(18)求导 然后，取Lyapunov函数如下所示： 可得： V,=V+2 ≤- 燕·三 3 子J()z+ (14) 其中k(i=1,2,3)是正常数；对式(14)求导可得： Iz21(1v,10,+lav,102)1zz1(1v,10,lov,102) 品-场 品-2 2=+ 22x 启品-品 (15) 1z23110103 +1(8,+d) 根据机器人动力学模型结合式(9)可得2=Aq2+ 品- i=i 品-安 a2S(92)+Br+d°- 含ag 为处理机器人动力学模型中参数不确定和未知 品-五 扰动问题，定义未知正常数01=a1,02=a2,93=a3; 输入矩阵B中同样存在不确定参数，且由标称矩阵 名·名ai+含 i=1 Ya (19) B。与误差矩阵△B构成，满足B=B。+△B;由于机 器人存在输入饱和，故‖r‖≤37,7=max{Tms, 定义tanh(sz2）=(tanh(ez21),tanh（ez2）, Tm(i=1,2,3)}:假设川△B‖存在未知上界，则‖ tanh(czz)T,设计控制器如下： △Br‖存在未知上界04.定义0，02,0,6，分别是正 T=-B。[h1+h2+K2(z2-5)+ (8,+d)tanh(ez2）-d] (20) 常数0,62,0,0，的估计值，则估计误差定义为：8= 其中K,=diag{k,k2,k3},且k为正常数：令h,= 0-0,扰动上界的估计值定义为d,估计误差定义 (h,h2,h)T其中： 为a=d-d.此外，定义△r=T-To,T= (h=(0lv,1 +02lov,1)tanh (sza) (T1o,T0,T0)「是未饱和限制的理想输入.通过以 h2=(01v,1 +021ov,1)tanh (sz2)(21) 上分析可得：元2=Aq2+a2S(q2)+BT+B△r+ h13=03 Ioltanh (8223) △Bx+d°-d,代入式(15)可得： 令h2=(h21,h2,h2s)T其中： =成+言后产Aa:+as,+ h2=(品-) 31C0s6,212sin8 品-品品-品 BTo+B△r+△B,r+d,-d]≤V+ zusin 6 2cos 0 lll,18+lo,182+l之zl(l,18+lom,I8,）+ =(品-品)（后-乐格-品 (22) 品- 品-品 o9+8++ ,=（层-品) - 品- =1 品-五： 将式(20)~(22)代入公式(19)可得：工程科学学报,第 41 卷,第 9 期 其中 Ka = diag{ ka1 ,ka2 ,ka3 },kai ( i = 1,2,3) 是正常 数,其取值可由 kai = 茁1i - 啄1i(i = 1,2,3)确定. 对 V1 求导可得: V · 1 = 移 3 i = 1 z1i z · 1i k 2 ai - z 2 1i (11) 其中 z · 1 = q · 1 - q · 1r = J(兹) q2 - q · 1r = J(兹) (z2 + 琢) - q · 1r,设计虚拟变量 琢 如下所示: 琢 = J T (兹)( q · 1r - K1 z1 ) (12) 其中 K1 = diag { k11 ,k12 , k13 }, k1i ( i = 1,2,3) 是正 常数. 进一步,式(11) 代入 z · 1 和 琢 表达式可得公式 (13): V · 1 = - 移 3 i = 1 k1i z 2 1i k 2 ai - z 2 1i + 移 3 i = 1 z1iJi(兹)z2 k 2 ai - z 2 1i (13) 式中,Ji(兹)是矩阵 J(兹)的第 i 个行向量. 然后,取 Lyapunov 函数如下所示: V2 = V1 + 1 2 移 3 i = 1 ln k 2 ai k 2 bi - z 2 2i (14) 其中 kbi(i = 1,2,3)是正常数;对式(14)求导可得: V · 2 = V · 1 + 移 3 i = 1 z2i z · 2i k 2 bi - z 2 2i (15) 根据机器人动力学模型结合式(9)可得 z · 2 = Aq2 + a2S(q2 ) + B子 + d * - 琢 · . 为处理机器人动力学模型中参数不确定和未知 扰动问题,定义未知正常数 兹1 = a1 ,兹2 = a2 ,兹3 = a3 ; 输入矩阵 B 中同样存在不确定参数,且由标称矩阵 B0 与误差矩阵 驻B 构成,满足 B = B0 + 驻B;由于机 器人存在输入饱和,故椰子椰臆 3 子,子 = max { 子imax, 子imin (i = 1,2,3)};假设椰驻B椰存在未知上界,则椰 驻B子椰存在未知上界 兹4 . 定义 ^ 兹1 , ^ 兹2 , ^ 兹3 , ^ 兹4 分别是正 常数 兹1 ,兹2 ,兹3 ,兹4 的估计值,则估计误差定义为:兹寛i = ^ 兹i - 兹i,扰动上界的估计值定义为 ^ d,估计误差定义 为 d寛 = ^ d - d. 此 外, 定 义 驻子 = 子 - 子0 , 子0 = (子10 ,子20 ,子30 ) T 是未饱和限制的理想输入. 通过以 上分析可得: z · 2 = Aq2 + a2S( q2 ) + B0 子0 + B0驻子 + 驻B子 + d * - 琢 · ,代入式(15)可得: V · 2 = V · 1 + 移 3 i = 1 z2i k 2 bi - z 2 2i [Aiq2 + a2S (q2 )i + B0i子0 + B0i驻子 + 驻Bi子 + d * i - 琢 · i]臆V · 1 + |z21 |( |vx |兹1 + |棕vy |兹2 ) k 2 b1 - z 2 21 + |z22 |( |vy |兹1 + |棕vx |兹2 ) k 2 b2 - z 2 22 + |z23 | | 棕| 兹3 k 2 b3 - z 2 23 + 移 3 i = 1 |z2i | (兹4 + d) k 2 bi - z 2 2i + 移 3 i = 1 z2i(B0i子0 - 琢 · i) k 2 bi - z 2 2i + 移 3 i = 1 z2iB0i驻子 k 2 bi - z 2 2i (16) 为了解决控制器输入饱和问题,设计辅助系统 (抗饱和补偿器)如下: 孜 · i = - ( k3i + k4i k 2 bi - z 2 2 ) i 孜i + 驻子i (17) 式中,k3i和 k4i是正常数,驻子i = 子i - 子0i表示第 i 个执 行器饱和的控制输入与无饱和约束的控制输入之 差,且辅助变量 孜 = (孜1 ,孜2 ,孜3 ) T 的初始值定义为 孜(0) = (0,0,0) T . 取 Lyapunov 函数如下: V = V2 + 1 2酌d d寛2 i + 移 4 i = 1 1 2酌i 兹寛2 i + 1 2 孜 T 孜 (18) 式中,酌d ,酌i(i = 1,2,3,4)均为正常数. 结合式 ( 13 ), ( 16 ) 和 ( 17 ), 对式 ( 18 ) 求 导 可得: V ·臆 - 移 3 i = 1 k1i z 2 1i k 2 ai - z 2 1i + 移 3 i = 1 z1iJi(兹)z2 k 2 ai - z 2 1i + |z21 | ( |vx | 兹1 + |棕vy | 兹2 ) k 2 b1 - z 2 21 + |z22 | ( |vy | 兹1 + |棕vx | 兹2 ) k 2 b2 - z 2 22 + |z23 | | 棕| 兹3 k 2 b3 - z 2 23 + 移 3 i = 1 |z2i | (兹4 + d) k 2 bi - z 2 2i + 移 3 i = 1 z2i(B0i子0 - 琢 · i) k 2 bi - z 2 2i + 移 3 i = 1 z2iB0i驻子 k 2 bi - z 2 2i - 移 3 i = 1 k3i 孜 2 i - 移 3 i = 1 k4i k 2 bi - z 2 2i 孜 2 i + 移 3 i = 1 孜i驻子i + 1 酌d d寛i ^ d · i + 移 4 i = 1 1 酌i 兹寛i ^ 兹 · i (19) 定义 tanh ( 着z2 ) = ( tanh ( 着z21 ),tanh ( 着z22 ), tanh (着z23 )) T ,设计控制器如下: 子0 = - B - 1 0 [h1 + h2 + K2 (z2 - 孜) + ( ^ 兹4 + ^ d)tanh (着z2 ) - 琢 · ] (20) 其中 K2 = diag{k21 ,k22 ,k23 },且 k2i为正常数;令 h1 = (h11 ,h12 ,h13 ) T 其中: h11 = ( ^ 兹1 |vx | + ^ 兹2 | 棕vy | )tanh (着z21 ) h12 = ( ^ 兹1 |vy | + ^ 兹2 | 棕vx | )tanh (着z22 ) h13 = ^ 兹3 | 棕| tanh (着z23 ì î í ïï ïï ) (21) 令 h2 = (h21 ,h22 ,h23 ) T 其中: h21 = (k 2 b1 - z 2 b1 ) ( z11 cos 兹 k 2 a1 - z 2 11 + z12 sin 兹 k 2 a2 - z 2 1 ) 2 h22 = (k 2 b2 - z 2 b2 ) ( - z11 sin 兹 k 2 a1 - z 2 11 + z12 cos 兹 k 2 a2 - z 2 ) a2 h23 = z13 (k 2 b3 - z 2 b3 ) k 2 a3 - z 2 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï a3 (22) 将式(20) ~ (22)代入公式(19)可得: ·1180·