第十三章动能定理 能量转换与功之间的关系是自然界中各种形式运动的普遍规律,在机械运动中则表现为动能 定理。不同于动量和动量矩定理,动能定理是从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题 有时更为方便和有效。同时,还可以建立机械运动与其他形式运动之间的联系 本章将讨论力的功、动能和势能等重要概念,推导动能定理和机械能守恒定律,并将综合运 用动量定理、动量矩定理和动能定理分析较复杂的动力学问题。 §13-1力的功,功率 1.功(Work)的表达式 力的功是力在一段路程上对物体作用的累积效果,其结果将导致物体能量的变化。设质量为 m的质点M,受力F作用,质点在惯性系中运动的元位移为dr,如图13-1所示。力F在元位移 上累积效果称为力的元功。力的元功定义为力与其作用元位移之点积,以d"W表示,则 d'W=F·dr (13-1) 这里dW表示无限小的功,以与全微分dW相区别。一般情 况下,力的元功不能表示为某一函数W的全微分。观察图 131可知,同dr=ds,力的元功还可写成 F r+d d'w=fds cos o=f ds (13-2) 其中,F2为力F在点M轨迹切线方向上的投影。 图13-1 在图13-1所示的直角坐标系中,力F与dr可分别用解 析式表示为 F=Fi+Fj+Fk dr=dxi+dyj+d: k 将上式代入式(13-1),可得元功的解析式 dw=f dx+e dy+Fd= (13-3) 当质点从位置M运动到M,力在这段路程MM,上所作的功,等于力在这段路程上元功之 和,可用线积分表示为 F·dr f ds 或 W2(Fdx+F, dy+F d=) (13-5) 若FR为作用于该点的汇交力系F1,F2,…,Fn的合力,合力的功W12由式(13-4)得1 第十三章 动能定理 能量转换与功之间的关系是自然界中各种形式运动的普遍规律，在机械运动中则表现为动能 定理。不同于动量和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题， 有时更为方便和有效。同时，还可以建立机械运动与其他形式运动之间的联系。 本章将讨论力的功、动能和势能等重要概念，推导动能定理和机械能守恒定律，并将综合运 用动量定理、动量矩定理和动能定理分析较复杂的动力学问题。 §13-1 力的功，功率 1．功（Work）的表达式 力的功是力在一段路程上对物体作用的累积效果，其结果将导致物体能量的变化。设质量为 m 的质点 M，受力 F 作用，质点在惯性系中运动的元位移为 dr，如图 13-1 所示。力 F 在元位移 上累积效果称为力的元功。力的元功定义为力与其作用元位移之点积，以d'W 表示，则 d d ′W = ⋅ F r （13-1） 这里d′W 表示无限小的功，以与全微分 dW 相区别。一般情 况下，力的元功不能表示为某一函数 W 的全微分。观察图 13-1 可知， d d r = s ，力的元功还可写成 dd d W F cos F s s θ τ ′ = = （13-2） 其中， Fτ 为力 F 在点 M 轨迹切线方向上的投影。 在图 13-1 所示的直角坐标系中，力 F 与 dr 可分别用解 析式表示为 F = FF F xy z i + +j k dd d d r i = x + + y z j k 将上式代入式（13-1），可得元功的解析式 d ddd W F xF yF z xyz ′ = + + （13-3） 当质点从位置 M1 运动到 M2，力在这段路程 M q1 2 M 上所作的功，等于力在这段路程上元功之 和，可用线积分表示为 2 2 1 1 12 d d M M M M W Fs = ⋅= ∫ ∫ F r τ （13-4） 或 ( ) 2 1 12 ddd M xyz M W F x+ F y+ F z = ∫ （13-5） 若 FR为作用于该点的汇交力系 F1，F2，…，Fn 的合力，合力的功 W12 由式（13-4）得 M M M2 1 O z y x θ F v dr r+dr r 图 13-1