第十三章动能定理 能量转换与功之间的关系是自然界中各种形式运动的普遍规律,在机械运动中则表现为动能 定理。不同于动量和动量矩定理,动能定理是从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题 有时更为方便和有效。同时,还可以建立机械运动与其他形式运动之间的联系 本章将讨论力的功、动能和势能等重要概念,推导动能定理和机械能守恒定律,并将综合运 用动量定理、动量矩定理和动能定理分析较复杂的动力学问题。 §13-1力的功,功率 1.功(Work)的表达式 力的功是力在一段路程上对物体作用的累积效果,其结果将导致物体能量的变化。设质量为 m的质点M,受力F作用,质点在惯性系中运动的元位移为dr,如图13-1所示。力F在元位移 上累积效果称为力的元功。力的元功定义为力与其作用元位移之点积,以d"W表示,则 d'W=F·dr (13-1) 这里dW表示无限小的功,以与全微分dW相区别。一般情 况下,力的元功不能表示为某一函数W的全微分。观察图 131可知,同dr=ds,力的元功还可写成 F r+d d'w=fds cos o=f ds (13-2) 其中,F2为力F在点M轨迹切线方向上的投影。 图13-1 在图13-1所示的直角坐标系中,力F与dr可分别用解 析式表示为 F=Fi+Fj+Fk dr=dxi+dyj+d: k 将上式代入式(13-1),可得元功的解析式 dw=f dx+e dy+Fd= (13-3) 当质点从位置M运动到M,力在这段路程MM,上所作的功,等于力在这段路程上元功之 和,可用线积分表示为 F·dr f ds 或 W2(Fdx+F, dy+F d=) (13-5) 若FR为作用于该点的汇交力系F1,F2,…,Fn的合力,合力的功W12由式(13-4)得
1 第十三章 动能定理 能量转换与功之间的关系是自然界中各种形式运动的普遍规律，在机械运动中则表现为动能 定理。不同于动量和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题， 有时更为方便和有效。同时，还可以建立机械运动与其他形式运动之间的联系。 本章将讨论力的功、动能和势能等重要概念，推导动能定理和机械能守恒定律，并将综合运 用动量定理、动量矩定理和动能定理分析较复杂的动力学问题。 §13-1 力的功，功率 1．功（Work）的表达式 力的功是力在一段路程上对物体作用的累积效果，其结果将导致物体能量的变化。设质量为 m 的质点 M，受力 F 作用，质点在惯性系中运动的元位移为 dr，如图 13-1 所示。力 F 在元位移 上累积效果称为力的元功。力的元功定义为力与其作用元位移之点积，以d'W 表示，则 d d ′W = ⋅ F r （13-1） 这里d′W 表示无限小的功，以与全微分 dW 相区别。一般情 况下，力的元功不能表示为某一函数 W 的全微分。观察图 13-1 可知， d d r = s ，力的元功还可写成 dd d W F cos F s s θ τ ′ = = （13-2） 其中， Fτ 为力 F 在点 M 轨迹切线方向上的投影。 在图 13-1 所示的直角坐标系中，力 F 与 dr 可分别用解 析式表示为 F = FF F xy z i + +j k dd d d r i = x + + y z j k 将上式代入式（13-1），可得元功的解析式 d ddd W F xF yF z xyz ′ = + + （13-3） 当质点从位置 M1 运动到 M2，力在这段路程 M q1 2 M 上所作的功，等于力在这段路程上元功之 和，可用线积分表示为 2 2 1 1 12 d d M M M M W Fs = ⋅= ∫ ∫ F r τ （13-4） 或 ( ) 2 1 12 ddd M xyz M W F x+ F y+ F z = ∫ （13-5） 若 FR为作用于该点的汇交力系 F1，F2，…，Fn 的合力，合力的功 W12 由式（13-4）得 M M M2 1 O z y x θ F v dr r+dr r 图 13-1
H2=」F=J∑Fd=∑∫Fd=∑H (13-6) 可见,合力在某一段路程上的功,等于各分力在该段路程上所作功的和,称为合力功定理 力的功是一代数量,其值可为正,可为负,也可为零。在法定计量单位中,功的基本单位用 焦耳(J)表示,即 IJ=IN 2.几种常见力的功 (1)常力在直线路程上的功。质点M在常力F的 作用下,沿x轴方向由M点运动到M2点,路程为S, 如图13-2所示,力F的功,由式(13-5)得 (2)重力的功。设重为P的质点M,由M沿曲线 图13-2 M1M2运动到M2,如图13-3所示。对图示坐标 系,重力P在各轴上的投影分别为 F=0 F 代入式(13-5),得重力在曲线路程M1M2上的功 为 W2=-Pd=P(=1-) 图13-3 或 Wu= Ph (13-8) 式中,h=1-二2为质点起始与末了位置的高度差。由此可见,重力的功只与质点的重量及起始 和终了位置的高度差h有关,而与质点所经历的路径无关 同理,可以求得质点系重力的功,设n个质点的质点系,其重为P,当质点系从位置1运动 到位置2时,第i个质点的重力P的功为P(=1-z2),各质点重力的总功即质点系重力的功为 W2=∑P(=n-=12)=P(cn-=c2) 其中h=zc-=c2,为质点系质心C始末位置的坐标高度差 (3)弹性力的功。设弹簧未变形的长度为l,刚度系数为k,弹簧的一端O固定,而另一端 与质点M相连,如图134所示,当质点作任意曲线运动时,由于弹簧变形而对质点施加弹性力F 在弹性极限内,弹性力的大小与弹簧的变形δ=(-10)成正比,其方向沿弹簧轴线而指向变形为 零的点。以厂表示质点M矢径方向的单位矢量,弹性力F可表示为 F==k
2 22 2 11 1 12 ddd MM M W W MM M R i = F r= F r= F r= ∫∫ ∫ ⋅⋅⋅ ∑ ∑ ∑ （13-6） 可见，合力在某一段路程上的功，等于各分力在该段路程上所作功的和，称为合力功定理。 力的功是一代数量，其值可为正，可为负，也可为零。在法定计量单位中，功的基本单位用 焦耳（J）表示，即 1J 1 N m = ⋅ 2．几种常见力的功 （1）常力在直线路程上的功。质点 M 在常力 F 的 作用下，沿 x 轴方向由 M1 点运动到 M2 点，路程为 S， 如图 13-2 所示，力 F 的功，由式（13-5）得 2 1 12 0 d d M x M W F x F cos S FS cos == = θ θ ∫ ∫ S （13-7） （2）重力的功。设重为 P 的质点 M，由 M1沿曲线 M q1 2 M 运动到 M2，如图 13-3 所示。对图示坐标 系，重力 P 在各轴上的投影分别为 0 0 F,F,F P xyz = = =− 代入式（13-5），得重力在曲线路程 M q1 2 M 上的功 为 ( ) 2 1 12 1 2 d z z W P z P z-z =− = ∫ 或 W12 = Ph （13-8） 式中， 1 2 h = z − z 为质点起始与末了位置的高度差。由此可见，重力的功只与质点的重量及起始 和终了位置的高度差 h 有关，而与质点所经历的路径无关。 同理，可以求得质点系重力的功，设 n 个质点的质点系，其重为 P，当质点系从位置 1 运动 到位置 2 时，第 i 个质点的重力 Pi 的功为 ( ) i i1 i2 P z − z ，各质点重力的总功即质点系重力的功为 W P ( ) z z P(z z ) Ph 12 = ∑ i i1 − i2 = C1 − C2 = 其中 C1 C2 h = z − z ，为质点系质心 C 始末位置的坐标高度差。 （3）弹性力的功。设弹簧未变形的长度为 l0，刚度系数为 k，弹簧的一端 O 固定，而另一端 与质点 M 相连，如图 13-4 所示，当质点作任意曲线运动时，由于弹簧变形而对质点施加弹性力 F。 在弹性极限内，弹性力的大小与弹簧的变形 ( ) 0 δ = r − l 成正比，其方向沿弹簧轴线而指向变形为 零的点。以 r r 表示质点 M 矢径方向的单位矢量，弹性力 F 可表示为 ( ) r k r l r F = − − 0 O y x M M2 M1 z 图 13-3 z z1 z2 x y θ M1 M M2 F x S 图 13-2
弹性力的元功,由(13-1)得 dw=F dr=-k(r-lo) 考虑到 d(r-r)=da 所以有dW=-k(r-b)dr,当质点从M运动到M时 弹性力的功为 图13-4 dW=-(r-b)dr=5(-b)-(2-l 61=r-l0,2=2-b 分别表示弹簧在初始和末了位置时的变形量,弹性力的功可简写为 02) (13-9) 即,弹性力的功,等于弹簧的初变形的平方差与刚度系数的乘积之半,而与质点运动的路径无关。 3.定轴转动刚体上力的功 定轴转动刚体上的点M受力F作用,如图13-5所示。当刚体转过微小转角dq时,点M的 微小路程为dS=rdq,此时,力F的元功由式(13-2)得 dw=fds=f rdo 应注意到,Fr表示力F对转轴之矩,即M=M(F)=Fr。因而作用 在定轴转动刚体上的力的元功写成 dw=M do (13-10) 即作用在转动刚体上的力的元功,等于该力对转轴之矩与刚体微小转角之积。图13-5 刚体由位置角q转到Q2的过程中,力F的功为 (13-11) 若M=常量,则有 H12=M(a2-9)=M:o 13-12) 如果在转动刚体上作用有力偶,式(13-11)与式(13-12)仍然成立。但该式中的M.,应 是该力偶矩矢在转轴z上的投影,特别是当力偶的作用面垂直于转轴时,M.就等于该力偶矩M。 质量为m的质点受力F=3J+x作用,沿曲线r= acosta+asin运动。试求 =0运动到t=2m时力F在此曲线上所作的功。 解由于已知力F的解析式和曲线方程,可应用功的解析式(13-5)计算。 因为x= acost,y= asin
3 弹性力的元功，由（13-1）得 ( ) 0 d d d W kr l r ′ ⋅ = ⋅ =− − r r F r 考虑到 ( ) 1 1 2 dd d d 2 2 r r rr ⋅= ⋅= = r rr 所以有 ( ) 0 d d ′W kr l r =− − ，当质点从 M1 运动到 M2 时， 弹性力的功为 ( ) ( )( ) 2 2 1 1 2 2 12 0 1 0 2 0 d d 2 M r M r k W W kr l r r l r l = =− − = − −− ′ ⎡ ⎤ ∫ ∫ ⎣ ⎦ 以 1 1 0 2 2 0 δ = r − l , δ = r − l 分别表示弹簧在初始和末了位置时的变形量，弹性力的功可简写为 ( ) 2 2 2 12 1 2 = δ − δ k W （13-9） 即，弹性力的功，等于弹簧的初变形的平方差与刚度系数的乘积之半，而与质点运动的路径无关。 3．定轴转动刚体上力的功 定轴转动刚体上的点 M 受力 F 作用，如图 13-5 所示。当刚体转过微小转角dϕ 时，点 M 的 微小路程为d d S r = ϕ ，此时，力 F 的元功由式（13-2）得 ddd W F S Fr ′ = = τ τ ϕ 应注意到， F r τ 表示力 F 对转轴 z 之矩，即 Mz z = = M Fr (F ) τ 。因而作用 在定轴转动刚体上的力的元功写成 d d ′W M= z ϕ （13-10） 即作用在转动刚体上的力的元功，等于该力对转轴之矩与刚体微小转角之积。 刚体由位置角ϕ1转到ϕ 2 的过程中，力 F 的功为 2 1 12 d W Mz ϕ ϕ = ϕ ∫ （13-11） 若 M z =常量，则有 W12 = M z (ϕ 2 −ϕ1 )= M zϕ （13-12） 如果在转动刚体上作用有力偶，式（13-11）与式（13-12）仍然成立。但该式中的 M z ，应 是该力偶矩矢在转轴 z 上的投影，特别是当力偶的作用面垂直于转轴时，M z 就等于该力偶矩 M。 例 13-1 一质量为 m 的质点受力 F = 3y x i j + 作用，沿曲线 r ij = a tat cos sin + 运动。试求 t = 0运动到t = 2π 时力 F 在此曲线上所作的功。 解 由于已知力 F 的解析式和曲线方程，可应用功的解析式（13-5）计算。 因为 x = = a t, y a t cos sin r2 r1 F r O M M2 M1 图 13-4 z M φ F dφ 图 13-5
所以dx=- asin d,dy= acost dt Fr=3y=3asint, F=x=acost 于是,可得力的功 Wa=JM, (E dr+ E dy)=(-sa'sin'i+ a cos t d/ =-2ai' 例13-2弹簧的刚度系数k=40N/cm,自然长度l=40cm,此时弹簧两端分别固定在水平 线上的点A和点B,如图13-6(a)所示,现给弹簧中点附一重为98N的小球C,当C下降5cm 时,试求作用在小球C上的所有力的功。 解以小球为研究对象,作用于其上的 力有重力弹性力。重力的功,由式(13-8)得 W=Ph=98×5=49N·cm 弹性力的功,因不考虑弹簧的质量,弹性力 (a) (b) 处处相等。它的功与整个弹簧的初末变形有 图13-6 关,应按式(13-9)计算。弹簧的初始与末了位置时的变形量分别为 61=0,d2=AC+BC-AB=2v202+52-40=123cm 于是,弹性力的功为 x2-62)=40x0-123)=-303Ncm 所以,作用于小球C上所有力的功 W=形1+W2=49-303=18.7N·cm=0.187J 4.功率( Pore)与机械效率 (1)功率在实际工程中,常用功率表示力作功的快慢程度,力在单位时间内所作的功,称 为功率,以P表示,则有 d n (13-13) 由元功的定义式(13-1),可以得作用力表示的功率为 P dw (13-14) dt 即力的功率,等于力与其作用点速度矢的标积。 由于力矩M(或力偶矩)在d时间内所作元功为Mdq,所以用力矩(或力偶矩)表示的 功率为 P=M dt M (13-15) 即力矩的功率,等于力矩与刚体转动角速度的乘积
4 所以 d sin d d cos d x =− = a t t, y a t t 3 3 sin cos F y a t, F x a t x y = = == 于是，可得力的功 ( ) ( ) 2 1 2 22 2 2 2 12 0 d d 3 sin cos d 2 M x y M W Fx Fy a t a t t a π = + = − + =− π ∫ ∫ 例 13-2 弹簧的刚度系数 k = 40N/cm ，自然长度l0 = 40 cm，此时弹簧两端分别固定在水平 线上的点 A 和点 B，如图 13-6（a）所示，现给弹簧中点附一重为 9.8N 的小球 C，当 C 下降 5cm 时，试求作用在小球 C 上的所有力的功。 解 以小球为研究对象，作用于其上的 力有重力弹性力。重力的功，由式（13-8）得 1 W Ph . = = ×= ⋅ 9 8 5 49N cm 弹性力的功，因不考虑弹簧的质量，弹性力 处处相等。它的功与整个弹簧的初末变形有 关，应按式（13-9）计算。弹簧的初始与末了位置时的变形量分别为 0, 2 20 5 40 1.23cm 2 2 δ 1 = δ 2 = AC + BC − AB = + − = 于是，弹性力的功为 ( ) ( ) 0 1.23 30.3N cm 2 40 2 2 2 2 2 2 1 = δ − δ = × − = − ⋅ k W 所以，作用于小球 C 上所有力的功 49 30.3 18.7N cm 0.187J W =W1 + W2 = − = ⋅ = 4．功率（Porer）与机械效率 （1）功率 在实际工程中，常用功率表示力作功的快慢程度，力在单位时间内所作的功，称 为功率，以 P 表示，则有 d d W P t ′ = （13-13） 由元功的定义式（13-1），可以得作用力表示的功率为 d d d d W P t t r F F v ′ = =⋅ =⋅ （13-14） 即力的功率，等于力与其作用点速度矢的标积。 由于力矩 Mz（或力偶矩）在dt 时间内所作元功为 d Mz ϕ ，所以用力矩（或力偶矩）表示的 功率为 d d PM M z z t ϕ = = ω （13-15） 即力矩的功率，等于力矩与刚体转动角速度的乘积。 20cm （a） 20cm k C A B F C F P （b） 图 13-6
功率的法定计量单位为焦耳/秒(J/s),称为瓦(W),因而 IW=I/s=IN. m/s (2)机械效率任何机器在工作时,都必须输入一定的功,用以克服无用阻力(如摩擦、碰 撞等阻力)的功外,并提供为完成预期目标而克服有用阻力(如机床的切削力)的功,若以B、 P、B分别表示输入功率,有用阻力的输出功率和无用阻力的损耗功率,则机器的输入功率等 于有用功率与损耗功率之和。当机器稳定运转时,机器的输出功率与输入功率的比值,称为机械 效率,用n表示,即 P出 (13-16) 机械效率表明机器对输入功率的有效利用程度,是评定机器质量好坏的重要指标之一。 §13-2动能 1.质点的动能 动能( Kinetic energy)是物体机械运动的又一种度量,是物体作功能力的标志。质点的功能 定义为质点的质量m和质点速度v平方的乘积之半,即为mv2。动能是与速度方向无关的恒正 标量。在法定计算单位中,动能的单位为kg·m2/s2与功的单位J相同。 应注意到,动能和动量都是表示机械运动的量,是机械运动的两种不同度量。它们虽然与质 点的质量和速度有关,但定义不同,各有其适用范围。动量是矢量,而动能是标量;动量是以机 械运动形式传递运动时的度量,而动能是机械运动形式转化为其他运动形式(如热、电等)的度 质点系的动能 质点系内各质点动能的总和,称为质点系的动能。以T表示,则有 T=∑ (13-17) 式中v为质点系内任一质量为m的质点所具有的速度 3.刚体运动时的动能 对于刚体,按照刚体的不同运动形式,式(13-17)可以写成具体表示式。 (1)平动刚体的动能当刚体平动时,其上各点的速度都相等。即v=v,由式(13-17) 有 T=∑1m,n2=1m)2=1M (13-18)
5 功率的法定计量单位为焦耳/秒（J/s），称为瓦（W），因而 1W =1J/s =1N ⋅ m/s （2）机械效率 任何机器在工作时，都必须输入一定的功，用以克服无用阻力（如摩擦、碰 撞等阻力）的功外，并提供为完成预期目标而克服有用阻力（如机床的切削力）的功，若以 P入 、 P出 、 P无 分别表示输入功率，有用阻力的输出功率和无用阻力的损耗功率，则机器的输入功率等 于有用功率与损耗功率之和。当机器稳定运转时，机器的输出功率与输入功率的比值，称为机械 效率，用η 表示，即 入 出 P P η = （13-16） 机械效率表明机器对输入功率的有效利用程度，是评定机器质量好坏的重要指标之一。 §13-2 动能 1．质点的动能 动能（Kinetic energy）是物体机械运动的又一种度量，是物体作功能力的标志。质点的功能 定义为质点的质量 m 和质点速度 v 平方的乘积之半，即为 2 2 1 mv 。动能是与速度方向无关的恒正 标量。在法定计算单位中，动能的单位为 2 2 kg ⋅ m /s 与功的单位 J 相同。 应注意到，动能和动量都是表示机械运动的量，是机械运动的两种不同度量。它们虽然与质 点的质量和速度有关，但定义不同，各有其适用范围。动量是矢量，而动能是标量；动量是以机 械运动形式传递运动时的度量，而动能是机械运动形式转化为其他运动形式（如热、电等）的度 量。 2．质点系的动能 质点系内各质点动能的总和，称为质点系的动能。以 T 表示，则有 1 2 2 T mv = ∑ （13-17） 式中 v 为质点系内任一质量为 m 的质点所具有的速度。 3．刚体运动时的动能 对于刚体，按照刚体的不同运动形式，式（13-17）可以写成具体表示式。 （1）平动刚体的动能 当刚体平动时，其上各点的速度都相等。即 i C v v = ，由式（13-17） 有 ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 i C i C MvC T = ∑ m v = ∑ m v = （13-18）
式中M=∑M为平动刚体的质量。可见,平动刚体的动能,等于刚体的质量与质心速度平方的 乘积之半 (2)定轴转动刚体的动能设刚体以角速度o绕z轴转动如图13-7所示。刚体内任一点M 的质量为m2,速度为v;,转动半径为r,则v2=rO。 r=∑my2=∑m(o)2=o2∑mr2 由于=∑m2,是刚体对:轴的转动惯量,故定轴转动刚体的动能为 (13-19) 即,定轴转动刚体的动能,等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方的乘积图137 (3)平面运动刚体的动能取刚体质心C所在的平面图形如图13-8所示。设图所示中的 点P是某瞬时的速度瞬心,@是平面图形转动的角速度,于是作平面运动的刚体动能为 ∑,m2=m(ro)=o∑m 注意到,J=∑m2是刚体对于瞬心轴( Instantaneous axis of tation)的转动惯量,于是 图13-8 根据计算转动惯量的平行轴定理有Jp=Jc+Md2,式中M为刚体的质量,d=PC,J为 对于质心的转动惯量。代入式(13-20)中,得 T=C+Md2)o2=1Jc02+im(od) 于是得 T=Mv2 (13-21) 即:作平面运动的刚体的动能,等于随质心平动 的动能与绕质心转动的动能的和。 例13-3图13-9所示坦克履带单位长度的 质量为m,两轮的质量均为m1,可视为均质圆 盘,半径为r,两轮轴间距离为b,当坦克以速 度ν沿直线行驶时,试求此系统的动能 解此系统的动能等于系统内各部分动能 之和。两轮及其上履带部分作平面运动,其瞬心 图13-9
6 式中 M = ∑ Mi 为平动刚体的质量。可见，平动刚体的动能，等于刚体的质量与质心速度平方的 乘积之半。 （2）定轴转动刚体的动能 设刚体以角速度ω 绕 z 轴转动如图 13-7 所示。刚体内任一点 M i 的质量为 mi ，速度为 i v ，转动半径为 ir ，则vi = riω 。 ( )2 11 1 2 22 22 2 T mv m r mr == = ∑∑ ∑ i i i i ii ω ω 由于 2 z ii J mr = ∑ ，是刚体对 z 轴的转动惯量，故定轴转动刚体的动能为 2 2 1 T = J zω （13-19） 即，定轴转动刚体的动能，等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方的乘积 之半。 （3）平面运动刚体的动能 取刚体质心 C 所在的平面图形如图 13-8 所示。设图所示中的 点 P 是某瞬时的速度瞬心，ω 是平面图形转动的角速度，于是作平面运动的刚体动能为 ( )2 11 1 2 22 22 2 T mv m r mr == = ∑∑ ∑ i i i i ii ω ω 注意到， 2 P i i J mr = ∑ 是刚体对于瞬心轴（Instantaneous axis of rotation）的转动惯量，于是 2 2 1 T = J Pω （13-20） 根据计算转动惯量的平行轴定理有 2 J J Md P = C + ，式中 M 为刚体的质量，d = PC ， C J 为 对于质心的转动惯量。代入式（13-20）中，得 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 T J M d J M d = C + ω = C ω + ω 因 C ω d = v ，于是得 2 2 2 1 2 1 T = MvC + J C ω （13-21） 即：作平面运动的刚体的动能，等于随质心平动 的动能与绕质心转动的动能的和。 例 13-3 图 13-9 所示坦克履带单位长度的 质量为 m，两轮的质量均为 m1 ，可视为均质圆 盘，半径为 r ，两轮轴间距离为 l，当坦克以速 度 v 沿直线行驶时，试求此系统的动能。 解 此系统的动能等于系统内各部分动能 之和。两轮及其上履带部分作平面运动，其瞬心 z mi vi r 图 13-7 ω vC vi ω ri d mi C P 图 13-8 l y’ x’ O1 O2 D E C B v A r r 图 13-9
分别为D、E,可知轮的角速度o=",履带AB部分作平动,平动速度为2,履带DE部分速度 为零 (1)轮的动能 T=T (2)履带AB部分动能 (2)2 (3)两轮上履带(合并为一均质圆环)动能 =2丌rn 所以,此系统的动能为 T=2T+Tp +t+Trn =2 my =,m1+2(+xr加m §13-3动能定理 动能定理建立了质点或质点系的动能变化与其上作用力的功之间的关系。我们依据牛顿第二 定律导出动能定理 1.质点的动能定理( Theorems of kinetic energy of a particle) 设质量m的质点在M在力F作用下作曲线运动,在任意位置M处(见图13-10),根据牛顿 第二定律 两边同时乘以元位移dr=vdt得 F·dr 注意到 mv.dv=3m. d(v v)=dmv 图13-10 可得 式(13-22)称为质点动能定理的微分形式。它表明质点动能的微分等于作用质点上的力的元功
7 分别为 D、E，可知轮的角速度 r v ω = ，履带 AB 部分作平动，平动速度为 2v，履带 DE 部分速度 为零。 （1）轮的动能 ( ) 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 0 4 3 / 2 2 1 2 1 m v r v T T J m r m r ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ω = + （2）履带 AB 部分动能 ( )2 2 2 4 2 2 1 2 2 1 T m v ml v ml v AB = AB = = （3）两轮上履带（合并为一均质圆环）动能 ( ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 1 2 1 r mv r v T J r m r r m r Dω π π ⎟ = π ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ⋅ + ⋅ 所以，此系统的动能为 ( ) 2 1 2 2 2 1 3 1 2 2 3 2 2 0 4 3 2 2 m l r m v T T T T T m v mlv rmv AB ED ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + + = + + + = × + + + π π §13-3 动能定理 动能定理建立了质点或质点系的动能变化与其上作用力的功之间的关系。我们依据牛顿第二 定律导出动能定理。 1．质点的动能定理（Theorems of kinetic energy of a particle） 设质量 m 的质点在 M 在力 F 作用下作曲线运动，在任意位置 M 处（见图 13-10），根据牛顿 第二定律 d d m t v ⋅ = F 两边同时乘以元位移d d r v = ⋅ t 得 mvvFr ⋅ =⋅ d d 注意到 ( ) 1 1 2 d dd 2 2 m m mv v v vv ⎛ ⎞ ⋅ = ⋅ ⋅= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 可得 1 2 d d 2 mv W ⎛ ⎞ = ′ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （13-22） 式（13-22）称为质点动能定理的微分形式。它表明质点动能的微分等于作用质点上的力的元功。 v2 v v1 F M M2 M1 图 13-10
当质点M从点M运动到点M时,其速度由v变为v2。将式(13-22)沿路径积分,得 式中,W12为力F在路程MM2上的功。可见,质点的动能在任一路程中的变化量,等于作用于 质点上的力在该路程上所作的功。式(13-23)称为质点动能定理的积分(或有限)形式。显然, 作用力作正功时,质点的动能增加;当力作负功时,则质点动能减少。因此,动能表明由于质点 运动而具有的作功能力 2.质点系的动能定理( Theorems of kinetic energy of system of particles) 对于质点系内的任一质点,设其质量为m2,速度为v。应用质点动能定理的微分形式(13-22) dwi 将每一个质点所写出的上述方程相加,得 ∑a(m)=∑d ∑ 2/=dS1 上式成为 dt=>dw (13-24) 即质点系动能的微分等于作用于质点系上所有力的元功之和,式(13-24)称为质点系动能定理的 微分形式 若质点系在某运动过程中,起始和末了位置时的动能分别以T1、2表示,积分式(13-24)得 ∑ 即质点系在某运动过程中,动能的变化量,等于作用于质点系的所有力在各相应路程中的作功之 和。式(13-25)称为质点系动能定理的积分形式 应该注意,虽然质点系的内力系的主矢和主矩恒为零,但内力作动之和一般并不等于零。因 此,在质点系的动能定理中,应包含质点系内力的功。例如,在机器运转中,轴和轴承间的摩擦 力对整个机器而言虽属内力,但此内力却作负功而消耗机器的能量。 应用动能定理时,常将质点系的力分为主动力和约束反力。而在许多情况下,约束反力不作 功或作功之和等于零。这种约束称为理想约束( Ideal constraints)。因而,在理想约束条件下动能 定理将不包含约束反力的功。以∑W4表示所有主动力作功的代数和。则式(1325)可写成
8 当质点 M 从点 M1 运动到点 M2 时，其速度由 1 v 变为 2 v 。将式（13-22）沿路径积分，得 2 2 2 1 12 1 1 2 2 mv mv W − = （13-23） 式中，W12 为力 F 在路程 M q1 2 M 上的功。可见，质点的动能在任一路程中的变化量，等于作用于 质点上的力在该路程上所作的功。式（13-23）称为质点动能定理的积分（或有限）形式。显然， 作用力作正功时，质点的动能增加；当力作负功时，则质点动能减少。因此，动能表明由于质点 运动而具有的作功能力。 2．质点系的动能定理（Theorems of kinetic energy of system of particles） 对于质点系内的任一质点，设其质量为 mi ，速度为 i v 。应用质点动能定理的微分形式（13-22）， 得 1 2 d d 2 mv W i i i ⎛ ⎞ = ′ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 将每一个质点所写出的上述方程相加，得 1 2 d d 2 mv W ii i ⎛ ⎞ = ′ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ 因 1 1 2 2 ddd 2 2 mv mv T ii ii ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ ∑ ∑ 上式成为 d d T W = ∑ ′ （13-24） 即质点系动能的微分等于作用于质点系上所有力的元功之和，式（13-24）称为质点系动能定理的 微分形式。 若质点系在某运动过程中，起始和末了位置时的动能分别以 T1、T2 表示，积分式（13-24）得 T2 − T1 = ∑ W12 （13-25） 即质点系在某运动过程中，动能的变化量，等于作用于质点系的所有力在各相应路程中的作功之 和。式（13-25）称为质点系动能定理的积分形式。 应该注意，虽然质点系的内力系的主矢和主矩恒为零，但内力作动之和一般并不等于零。因 此，在质点系的动能定理中，应包含质点系内力的功。例如，在机器运转中，轴和轴承间的摩擦 力对整个机器而言虽属内力，但此内力却作负功而消耗机器的能量。 应用动能定理时，常将质点系的力分为主动力和约束反力。而在许多情况下，约束反力不作 功或作功之和等于零。这种约束称为理想约束（Ideal constraints）。因而，在理想约束条件下动能 定理将不包含约束反力的功。以∑ WA 表示所有主动力作功的代数和。则式（13-25）可写成
T-T W 若质点系中还有作功不等于零的反力,例如摩擦力,此时可视为主动力,而上式同样适用 3.约束反力的功 在本章第一节中,我们研究了主动力和力偶的功,下面进一步研究约束反力的功,以确定哪 些约東是理想约束,为应用动能定理提供条件。 (1)质点系和刚体内力的功设质点系内的任意二质点M1和M2,它们相互作用的内为F1 和F2,则F=-F2,当两质点分别发生元位移dr和dr2时(见图1311),这对内力元功之和为 ∑dW=Fdr+F2dn=F·d(r-)=F1dn1 式中,dr21称为质点M相对M2的元位移。可见,当质点系FM 内两点相互作用的内力连线始终与两点间的相对元位移垂直 M 时,则两力作功之和为零。当力F与dr21共线时,则 图13-11 于是,得 ∑dH=Fdh1 (13-27) 这里,dr21表示两点间距离的微小变化。在一般质点系中,由于任意两点间的距离可以变化。所 以,可变质点系内力作功之和不一定等于零。例如变形体内力功之和不等于零。 而对于刚体,其中任意两点的距离始终保持变,故刚体在任一运动过程中,所有内力作功之 和恒等于零。 对于不可伸长的柔索约束,受拉力作用时可视为刚体,故不可伸长柔索内力功之和等于零。 2)光滑接触反力的功当系统内两刚体的接触处是理想光滑时,则 接触处相互作用的力始终与相对微小位移垂直。因而,光滑的固定支承面、 轴承约束、铰链支座以及光滑的铰链约束,其约束反力作功之和都等于零, 这些约束都是理想约束 (3)滑动摩擦力的功车轮沿地面作纯滚动如图13-12所示,以轮为mmxm 研究对象,支承面的静滑动摩擦力的Fs由运动学知,接触点P为车轮的速sF 度瞬心,即v=0,由功的定义有 图13-12 Irp=SPdt=0
9 TT W 2 1 − = ∑ A （13-26） 若质点系中还有作功不等于零的反力，例如摩擦力，此时可视为主动力，而上式同样适用。 3．约束反力的功 在本章第一节中，我们研究了主动力和力偶的功，下面进一步研究约束反力的功，以确定哪 些约束是理想约束，为应用动能定理提供条件。 （1）质点系和刚体内力的功 设质点系内的任意二质点 M1和 M 2 ，它们相互作用的内为 F1 和 F2 ，则 F1 2 = −F ，当两质点分别发生元位移 1 dr 和 2 dr 时（见图 13-11），这对内力元功之和为 ∑d ddd d ′W =⋅ + ⋅ =⋅ − =⋅ F r F r F rr F r 1 2 2 1 1 2 1 21 ( ) 式中， 21 dr 称为质点 M1相对 M 2 的元位移。可见，当质点系 内两点相互作用的内力连线始终与两点间的相对元位移垂直 时，则两力作功之和为零。当力 F1 与 21 dr 共线时，则 2 21 21 1 21 1 21 1 1 21 21 21 d dd d 2 r F F Fr r r r Fr r ⋅= ⋅= = 于是，得 1 21 ∑d d ′W Fr = （13-27） 这里， 21 d r 表示两点间距离的微小变化。在一般质点系中，由于任意两点间的距离可以变化。所 以，可变质点系内力作功之和不一定等于零。例如变形体内力功之和不等于零。 而对于刚体，其中任意两点的距离始终保持变，故刚体在任一运动过程中，所有内力作功之 和恒等于零。 对于不可伸长的柔索约束，受拉力作用时可视为刚体，故不可伸长柔索内力功之和等于零。 （2）光滑接触反力的功 当系统内两刚体的接触处是理想光滑时，则 接触处相互作用的力始终与相对微小位移垂直。因而，光滑的固定支承面、 轴承约束、铰链支座以及光滑的铰链约束，其约束反力作功之和都等于零， 这些约束都是理想约束。 （3）滑动摩擦力的功 车轮沿地面作纯滚动如图 13-12 所示，以轮为 研究对象，支承面的静滑动摩擦力的 FS。由运动学知，接触点 P 为车轮的速 度瞬心，即 0 P v = ，由功的定义有 d d d0 W F r Fv t S P SP ′ == = r21 r2 F2 F1 r1 M2 M1 图 13-11 O dr1 dr2 P FS FN 图 13-12 v C G
故车轮作纯滚动时的静滑动摩擦力不作功 皮带的传动中,若皮带与轮的接触处无相对滑动发生,则它们之间相互作用的摩擦力都是静 摩擦力,这一对摩擦力作功之和为零。同理,在摩擦轮的传动中,若无相对滑动,其相互作用的 滑动摩擦力之功也等于零,所以静摩擦力的功恒等于零。当系统内两刚体有相对滑动发生时,每 对相互作用的动滑动摩擦力的功不等于零,且为负值。 4.动能定理的应用 动能定理直接建立了速度与力和路程之间的关系,应用动能定理可以求解与这些量有关的动 力学问题。对于常见的理想约束系统,动能定理直接给出了主动力与运动量的关系,因而求解有 关的运动量特别简便。由于动能定理是一个标量方程,一般只能求解一个未知量,应用动能定理 时,解题步骤如下: (1)取研究对象,一般情况下,可取整个质点系作为研究对象 (2)分析运动,计算动能,应首先明确系统内各刚体的运动形式,再根据相应的动能公式计 算。并且应根据各刚体(或质点)的运动学关系,将动能用同一个已知量或待求量表示。质点系 的动能是系统内各质点或刚体动能的算术和。当采用动能定理的积分形式时,应明确系统运动过 程的起始和末了的两个瞬时,分别计算两瞬时的动能。 (3)分析受力,计算力的功。对于常见的理想约束系统,只需计算主动力的功,而且,在受 力图上可以只画出作功的力,应特别注意,是否有内力作功? (4)应用动能定理求解有关的未知量。 例13-4刚度系数为k的弹簧,A端固定于位于铅垂平面的大圆环的最高点A,B端连一质 量为m的小环如图13-13所示,已知大环的半径及弹簧的自然长度均为R。当小环于弹簧原长处 无初速沿大环滑至点C时,不计摩擦,试求小环速度的大小。 解这是质点的动力学问题,应用动能定理的积分形式求解 (1)取小环为研究对象 (2)小环沿大环作圆周运动。初瞬时速度为零,则初动能为零。小环在C点时为末瞬时,设 其速度为v,则末动能为mv2。 (3)小环在运动过程中,受重力mg,弹性力F和反力N作用。反力N不作功,重力的功W1 和弹性力的功W分别为 w,=mgh=mg(R-R cos 60%)=3-mgR k R (4)由动能定理 w,+w. 图13-13 R
10 故车轮作纯滚动时的静滑动摩擦力不作功。 皮带的传动中，若皮带与轮的接触处无相对滑动发生，则它们之间相互作用的摩擦力都是静 摩擦力，这一对摩擦力作功之和为零。同理，在摩擦轮的传动中，若无相对滑动，其相互作用的 滑动摩擦力之功也等于零，所以静摩擦力的功恒等于零。当系统内两刚体有相对滑动发生时，每 对相互作用的动滑动摩擦力的功不等于零，且为负值。 4．动能定理的应用 动能定理直接建立了速度与力和路程之间的关系，应用动能定理可以求解与这些量有关的动 力学问题。对于常见的理想约束系统，动能定理直接给出了主动力与运动量的关系，因而求解有 关的运动量特别简便。由于动能定理是一个标量方程，一般只能求解一个未知量，应用动能定理 时，解题步骤如下： （1）取研究对象，一般情况下，可取整个质点系作为研究对象。 （2）分析运动，计算动能，应首先明确系统内各刚体的运动形式，再根据相应的动能公式计 算。并且应根据各刚体（或质点）的运动学关系，将动能用同一个已知量或待求量表示。质点系 的动能是系统内各质点或刚体动能的算术和。当采用动能定理的积分形式时，应明确系统运动过 程的起始和末了的两个瞬时，分别计算两瞬时的动能。 （3）分析受力，计算力的功。对于常见的理想约束系统，只需计算主动力的功，而且，在受 力图上可以只画出作功的力，应特别注意，是否有内力作功？ （4）应用动能定理求解有关的未知量。 例 13-4 刚度系数为 k 的弹簧，A 端固定于位于铅垂平面的大圆环的最高点 A，B 端连一质 量为 m 的小环如图 13-13 所示，已知大环的半径及弹簧的自然长度均为 R。当小环于弹簧原长处 无初速沿大环滑至点 C 时，不计摩擦，试求小环速度的大小。 解 这是质点的动力学问题，应用动能定理的积分形式求解 （1）取小环为研究对象。 （2）小环沿大环作圆周运动。初瞬时速度为零，则初动能为零。小环在 C 点时为末瞬时，设 其速度为 Cv ，则末动能为 2 2 1 mvC 。 （3）小环在运动过程中，受重力 mg，弹性力 F 和反力 N 作用。反力 N 不作功，重力的功 W1 和弹性力的功 W2 分别为 W mgh mg ( ) R R mgR 2 3 2 cos 60 0 1 = = − = ( ) 2 2 2 2 1 0 2 R kR k W = − = − （4）由动能定理 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 mv − mv = W + W 得 2 2 2 1 2 3 0 2 1 mv C − = mgR − kR k A F B 图 13-13 R C mg
