第十四章 动能定理
第十四章 动 能 定 理
动力学 本章重点、难点 1.重点 力的功和物体动能的计算。 质点系的动能定理和机械能守恒定律的应用。 2难点 动力学普遍定理的综合应用
本章重点、难点 ⒈重点 力的功和物体动能的计算。 质点系的动能定理和机械能守恒定律的应用。 ⒉难点 动力学普遍定理的综合应用
动力学 与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同,动能定理用 能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重 要的应用,而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能 定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量一功 之间的联系,这是一种能量传递的规律 §14-1力的功 力的功是力沿路程累积效应的度量。 常力的功 Mi M M2 W= FS a F·S 力的功是代数量。x时,负功。 单位:焦耳(J); 1J=1N·lm
与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用 能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重 要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能 定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功 之间的联系，这是一种能量传递的规律。 § 14-1 力的功 力的功是力沿路程累积效应的度量。 F S W FS = = cos 力的功是代数量。 时,正功； 时,功为零； 时,负功。 单位：焦耳（Ｊ）； 2 2 = 2 1J=1N1m 一．常力的功
动力学 二.变力的功 力的元功 M SW=Fcosauds - Fds dr F·cF Xdx+ rdy+ ldz (F=Xi+yj+ Zk, dr=dxi+dyj+dsk F·d=Xx+Yay+Z) 2.力F在曲线路程MM1中作功 W= JFcosads=JFds(自然形式表达式)
⒉ 力 F 在曲线路程 M1 M2 中作功 二．变力的功 F ds = = F dr = Xdx +Ydy + Zdz (F = Xi +Yj + Zk ,dr = dxi + dyj + dzk F dr = Xdx+Ydy + Zdz) W =Fcosds ⒈ 力的元功 = = 2 1 2 1 cos M M M M W F ds F ds （自然形式表达式）
动力学 F·cF (矢量式) 「Xx+12b+=(直角坐标表达式) 三.合力的功 质点M受n个力F,F2…,Fn作用合力为R=∑E则合力R 的功 W=Rd=(F1+F2+…+Fn)dF =「Fd+「F2+…+Fn=W+W2+…+Wn
三．合力的功 质点M 受n个力 作用合力为 则合力 的功 F F Fn , , , 1 2 R = Fi R W R dr F F F dr n M M M M = = + ++ ( ) 2 1 2 1 1 2 F dr F dr F dr M M n M M M M = + ++ 2 1 2 1 2 1 1 2 W W +Wn = + + 1 2 = + + 2 1 M M Xdx Ydy Zdz （直角坐标表达式） = 2 1 M M F dr （矢量式）
动力学 W=∑W 在任一路程上,合力的功等于各分力功的代数和。 四.常见力的功 1.重力的功 质点:重力在三轴上的投影 2 mg 22 X=0,Y=0,Z=-mg W mgds=mg( x 质点系:W=∑W1=∑m8(=1-2)=M(=c1-c2) 质点系重力的功,等于质点系的重量与其在始末位置重 心的高度差的乘积,而与各质点的路径无关
四．常见力的功 1．重力的功 = − = − 2 1 ( ) 1 2 z z W mgdz mg z z 质点系： ( ) ( ) i i i1 i2 C1 C2 W =W =m g z −z =Mg z −z 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重 心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。 X =0,Y =0, Z =−mg 质点：重力在三轴上的投影： 即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。 W =Wi
动力学 2.弹性力的功 弹簧原长0,在弹性极限内F=-k(r k弹簣的刚度系数,表示使弹簧发生单位 变形时所需的力。N/m,N/ cmo or=F/r W=F dr=J-k(r-lo )ro dr F To dr=-dr=d(r.r 2r d(r2)=dr W=-k(r-lo)dr k 5(1-0)2-(2-0)21令61=1-052=2-0 即W=(612-62)弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 变形有关,而与质点运动的路径无关
2．弹性力的功 弹簧原长 ，在弹性极限内 k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位 变形时所需的力。N/m , N/cm。。 0 l 0 0 F =−k(r−l )r r r/r 0 = = = − − 2 1 2 1 0 0 ( ) m M M M W F dr k r l r dr d r dr r d r r r dr r r r dr = = = ( )= 2 1 ( ) 2 1 2 0 2 0 0 ( ) 2 ( ) 2 1 2 1 d r l k W k r l dr r r r r = − − =− − 1 1 0 2 2 0 2 2 0 2 1 0 [( ) ( ) ] , 2 r l r l r l r l k = − − − 令 = − = − ( ) 2 2 2 1 2 = − k 即 W 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 变形有关，而与质点运动的路径无关
动力学 4.作用于转动刚体上的力的功,力偶的功 设在绕z轴转动的刚体上M点作用有力F,计算刚体转过 角度时力F所作的功。M点轨迹已知。F=F+E+F oW=Ads=F rdo=m(F)do (9=02-91) W= m (F)do 作用于转动刚体上力的功等于力矩的功 Fb 如果作用力偶,m,且力 d 偶的作用面垂直转轴 w=I mdp 若m=常量,则W=m(02-9) 注意:功的符号的确定
W =F ds=F rd=mz (F)d ( ) =2 −1 = 2 1 ( ) W mz F d 作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。 = 2 1 W md 若m = 常量, 则 ( ) W = m 2 −1 注意：功的符号的确定。 如果作用力偶，m , 且力 偶的作用面垂直转轴 4．作用于转动刚体上的力的功，力偶的功 设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力 ，计算刚体转过 一角度 时力 所作的功。M点轨迹已知。 F F F = F + Fn + Fb
动力学 六.功率与机械效率 1.功率 力在单位时间内所作的功(它是衡量机器工作能力的一个重 要指标)。功率是代数量,并有瞬时性。 p ow OWF·cF 作用力的功率:P =F·v=F 力矩的功率:8N=Md0=MBz d M 30 功率的单位:瓦特(W),千瓦(kW),1W=1Js
1．功率 力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重 要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。 dt W P = 作用力的功率： F v F v dt F dr dt W P = = = = 力矩的功率： 30 n M M dt d M dt W P z z = z = = = 功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），１W=１J/s 。 六．功率与机械效率
动力学 2.机械效率 有效功率与输 入功率之比称为机械效率。 有效功率 n输入功率 有用×100% 输入 η是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下η<1
是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下 ＜１。 2．机械效率 有效功率与输 入功率之比称为机械效率。 dT dt = = 100% 输入 有用 输入功率 有效功率 P P