第十二章动量矩定理 第十一章阐述的动量定理建立了作用力与动量变化之间的关系,揭示了质点系机 械运动规律的一个侧面,而不是全貌。例如,圆轮绕质心转动时,无论它怎样转动, 圆轮的动量都是零,动量定理不能说明这种运动的规律。动量矩定理则是从另一个侧 面,揭示出质点系相对于某一定点或质心的运动规律。本章将推导动量矩定理并阐明 其应用。 12-1转动惯量,平行轴定理 1.转动惯量 质点系的运动,不仅与作用在质点系上的力有关,还与质点系各质点的质量其及 分布情况有关。转动惯量( Moment of inertia)是描述质点系质量分布的又一个特征量 刚体对轴z的转动惯量,是刚体内各质点的质量m与它到该轴的垂直距离r2的 平方的乘积之和,记作J,即 J=∑m2 (12-1) 如果刚体的质量是连续分布的,则可用积分表示 (122) 式中积分号下M表示积分范围遍及整个刚体。 由(12-2)式可见,转动惯量恒为正值,它的大小不仅和整个刚体的质量大小有 关,而且还和刚体各部分的质量相对于转轴的分布情况有关。它是由刚体的质量,质 量分布以及转轴位置这三个因素共同决定的,与刚体的运动状态无关。 在法定计算单位中,转动惯量的常用单位是千克·米2(kg·m2)。 刚体对某轴z的转动惯量J与其质量M的比值的平方根为一个当量长度,称为刚 体对该轴的回转半径( Radius of gyration),即 (12-3) 必须注意:回转半径不是物体某一部分的尺寸,它只是在计算物体的转动惯量时,假 想地把物体的全部质量集中到离轴距离为回转半径的某一点上,这样计算物体对该轴 的转动惯量时,就简化为这个质点对该轴的转动惯量。 2.简单形状均质刚体的转动惯量 形状规则的均质刚体的转动惯量可以利用式(122)O 计算 (1)均质细直杆:如图12-1所示均质细直杆,质 量为m,长为l,建立坐标系如图。在直杆上取长为dx 图12-1
1 第十二章 动量矩定理 第十一章阐述的动量定理建立了作用力与动量变化之间的关系，揭示了质点系机 械运动规律的一个侧面，而不是全貌。例如，圆轮绕质心转动时，无论它怎样转动， 圆轮的动量都是零，动量定理不能说明这种运动的规律。动量矩定理则是从另一个侧 面，揭示出质点系相对于某一定点或质心的运动规律。本章将推导动量矩定理并阐明 其应用。 12-1 转动惯量，平行轴定理 1．转动惯量 质点系的运动，不仅与作用在质点系上的力有关，还与质点系各质点的质量其及 分布情况有关。转动惯量（Moment of inertia）是描述质点系质量分布的又一个特征量。 刚体对轴 z 的转动惯量，是刚体内各质点的质量 mi 与它到该轴的垂直距离 rzi 的 平方的乘积之和，记作 Jz，即 Jz = 2 i zi ∑ m r （12-1） 如果刚体的质量是连续分布的，则可用积分表示 Jz = 2 d M∫ r m （12-2） 式中积分号下 M 表示积分范围遍及整个刚体。 由（12-2）式可见，转动惯量恒为正值，它的大小不仅和整个刚体的质量大小有 关，而且还和刚体各部分的质量相对于转轴的分布情况有关。它是由刚体的质量，质 量分布以及转轴位置这三个因素共同决定的，与刚体的运动状态无关。 在法定计算单位中，转动惯量的常用单位是千克·米 2 （kg·m 2 ）。 刚体对某轴 z 的转动惯量 Jz 与其质量 M 的比值的平方根为一个当量长度，称为刚 体对该轴的回转半径（Radius of gyration），即 2 , z z z z J M M J ρ = = ρ （12-3） 必须注意：回转半径不是物体某一部分的尺寸，它只是在计算物体的转动惯量时，假 想地把物体的全部质量集中到离轴距离为回转半径的某一点上，这样计算物体对该轴 的转动惯量时，就简化为这个质点对该轴的转动惯量。 2．简单形状均质刚体的转动惯量 形状规则的均质刚体的转动惯量可以利用式（12-2） 计算。 （1）均质细直杆：如图 12-1 所示均质细直杆，质 量为 m，长为 l，建立坐标系如图。在直杆上取长为 dx A O y x x l dx 图 12-1
的微段,作为质点看待,其质量dm=mdx,此质点到z轴的距离为x,则OA杆对z 轴的转动惯量,根据式(12-2)得 J xdx (2)均质矩形薄板:质量为m,边长分别为b和h的均质薄板,如图12-2所示 取一平行x轴之细条,其宽度为dy。因该细条与x轴之距离均为y,则该细条对x轴 的转动惯量为 所以,均质矩形薄板对x轴的转动惯量为 J 类似地,对y轴的转动惯量为 图12-2 (3)均质等厚圆盘:质量为m,半径为R均质等厚薄圆盘,如图12-3所示。将 圆盘分为很多同心细圆环,半径为r,宽度为dr。令圆盘单位面积的质量为p,则圆 环对过圆心O且垂直于圆盘平面的轴z的转动惯量为 (rdrp)r=2Tprdr 由此,圆盘对轴的转动惯量为 J=J 但圆盘质量m=pxR2,所以 图12-3 平行轴定理 转动惯量与轴的位置有关,但在一般工程手册中所给出的大都只是刚体对通过质 心C轴(质心轴)的转动惯量。对于与质心轴平行的轴的转动惯量的计算,可以应用 下面的定理—一转动惯量的平行轴定理。 定理刚体对于任一轴的转动惯量,等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的 转动惯量,加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积,即 J =c+Md (12-4) 证明:
2 的微段，作为质点看待，其质量 dm = d m x l ，此质点到 z 轴的距离为 x，则 OA 杆对 z 轴的转动惯量，根据式（12-2）得 2 2 0 1 d 3 l z y m J J x x ml l == = ∫ （2）均质矩形薄板：质量为 m，边长分别为 b 和 h 的均质薄板，如图 12-2 所示。 取一平行 x 轴之细条，其宽度为 dy。因该细条与 x 轴之距离均为 y，则该细条对 x 轴 的转动惯量为 2 d m y y h ⋅ 所以，均质矩形薄板对 x 轴的转动惯量为 2 2 2 2 1 d 12 h x h m J y y mh − h = = ∫ 类似地，对 y 轴的转动惯量为 1 2 12 y J mb = （3）均质等厚圆盘：质量为 m，半径为 R 均质等厚薄圆盘，如图 12-3 所示。将 圆盘分为很多同心细圆环，半径为 r，宽度为 dr。令圆盘单位面积的质量为 ρ ，则圆 环对过圆心 O 且垂直于圆盘平面的轴 z 的转动惯量为 ( ) 2 3 2d 2 d π ρ πρ rr r r r = 由此，圆盘对 z 轴的转动惯量为 3 4 0 1 2 d 2 R z O J == = J rr R π ρ πρ ∫ 但圆盘质量 m= 2 ρ π R ，所以 1 2 2 z O J = = J mR 3．平行轴定理 转动惯量与轴的位置有关，但在一般工程手册中所给出的大都只是刚体对通过质 心 C 轴（质心轴）的转动惯量。对于与质心轴平行的轴的转动惯量的计算，可以应用 下面的定理——转动惯量的平行轴定理。 定理 刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的 转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即 2 z ' zC J J Md = + （12-4） 证明： dy y b O y h x 图 12-2 O d r R 图 12-3
设有一刚体,质量为M,二轴通过质心C,z轴与〓轴平行且相距为d,取x、y 轴如图124所示。现研究刚体对z轴和z′轴的转动惯量之间的关系 刚体内任一点M的质量m,它距z轴和z’轴的距离分别为n和r。由转动惯量 的定义,刚体对于z轴的转动惯量可表示为 ∑m[x2+(x-)] ∑m[ 整理得 J2=∑m(x2+y)-2∑my+∑md2 上式中 ∑m(x+y2)=Jc2md2=M2 据质心坐标公式 ∑m另=My 因yc=0,故∑my1=0 把上述这些项代入J,中得 J=Jc+Md 图12-4 证毕 表12-1给出了一些常见均质刚体的转动惯量和回转半径的计算公式,以备查用。 例12-1一摆由一均质杆及一均质圆球刚连而成如图12-5所示。均质杆质量为 m,圆球质量为m2,半径为r。试计算摆对于通过O点并垂直于杆的轴的转动惯量。 解以J1和J分别表示杆与球对于〓轴转动惯量,则摆对于z轴的转动惯量为 两者之和,即 J2=J21+J2 m2+m2(+r) 于是 J=-m1 m,r+m 图
3 设有一刚体，质量为 M，z 轴通过质心 C， z′ 轴与 z 轴平行且相距为 d，取 x、y 轴如图 12-4 所示。现研究刚体对 z 轴和 z′ 轴的转动惯量之间的关系。 刚体内任一点 Mi 的质量 mi，它距 z 轴和 z′ 轴的距离分别为 ri 和 ir′ 。由转动惯量 的定义，刚体对于 z′ 轴的转动惯量可表示为 ( ) 2 2 2 22 2 2 z i ii i ii i i J mr mx y d m x y yd d ′ i = ′ = +− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = +− + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ 整理得 ′ = ∑ ( + )− ∑ + ∑ 2 2 2 J z mi xi yi 2d mi yi mid 上式中 ( ) 22 2 2 ∑ ∑ m x y J m d Md i i i zC i += = 据质心坐标公式 ∑my My ii C = 因 yC = 0，故 ∑ = 0 i i m y 把上述这些项代入 z J ′ 中得 2 z zC J J Md ′ = + 证毕。 表 12-1 给出了一些常见均质刚体的转动惯量和回转半径的计算公式，以备查用。 例 12-1 一摆由一均质杆及一均质圆球刚连而成如图 12-5 所示。均质杆质量为 m1，圆球质量为 m2，半径为 r。试计算摆对于通过 O 点并垂直于杆的 z 轴的转动惯量。 解 以 Jz1 和 Jz2 分别表示杆与球对于 z 轴转动惯量，则摆对于 z 轴的转动惯量为 两者之和，即 z z1 z2 J = J + J 2 1 1 3 1 J m l z = 而 ( )2 2 2 2 2 22 2 1 5 z C J J md mr m r =+ = + + 于是 ( )2 2 2 2 2 1 1 5 2 3 1 J m l m r m r z = + + + ir′ C y z d ri Mi zi yi xi O′ z′ ( y′ ) x′ O x 图 12-4 A O r z y x l 图 12-5
表12-1转动惯量 匀质 简图 转动惯量 回转半径 物体 J≈0 P,≈0 细直 杆 J,=J2=,Ml2 =p 6 J 矩形 薄板 M(G2+b2) J,=1M(b2+c2) 3(b2+c2 12 长方 体 nM(2+b2) la J=J 薄圆 盘 Px =p 4,==12b2+) 3r2+12 圆柱 J=-Mr
1 表 12-1 转动惯量 匀质 物体 简图 转动惯量 回转半径 细直 杆 J x ≈ 0 2 12 1 J J M l y = z = ρ x ≈ 0 l y z 6 3 ρ = ρ = 矩形 薄板 2 12 1 J Mb x = 2 12 1 J Ma y = ( ) 2 2 12 1 J z = M a + b b x 6 3 ρ = y a 6 3 ρ = ( ) 2 2 3 6 1 a b ρ z = + 长方 体 ( ) 2 2 12 1 J M b c x = + ( ) 2 2 12 1 J y = M c + a ( ) 2 2 12 1 J z = M a + b ( ) 2 2 3 6 1 b c ρ x = + ( ) 2 2 3 6 1 ρ y = c + a ( ) 2 2 3 6 1 ρ z = a + b 薄圆 盘 2 4 1 J J Mr x = y = 2 2 1 J Mr z = r x y 2 1 ρ = ρ = r z 2 2 ρ = 圆柱 ( ) 2 2 3 12 r l M J J x = y = + 2 2 1 J Mr z = ( ) 2 2 3 3 6 1 r l x y = + ρ = ρ r z 2 2 ρ = C x z y l b C x z y l y c z x a b z x y r C C r z y x l
空心 圆柱 13 1=prVi+r2 ) Px=p 正圆 10 锥体 10 实心 J=J=J=-Mr 球 Pr=Pv=p 球壳 Jx=J,=J:=,Mr √6 Px=p,=p 注:M—物体的质量,C—质心,P—密度 例12-2计算均质正圆锥体(见图12-6)对其底面直径的转动惯量。已知圆锥体 质量为M,底圆半径为R,高为h。 解把圆锥体分成许多厚度为d的薄圆片,这薄圆片的质量为dm=prd(式 中p为圆锥体的密度,r为薄圆片的半径)。圆锥体的质量为M=pzR2h。这薄圆片 对其自身直径的转动惯量可查表知为1dm,由几何关系可知,r=(h-2).于是 薄圆片对y轴转动惯量dJ,为
2 空心 圆柱 J x = J y = [ ( ) ] 2 2 2 2 3 1 12 r r R M + + ( ) [ ] M ( ) r r l J M r r z 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 = + = + ρπ ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 9 3 6 1 r r r r l z x y = + = + + = ρ ρ ρ 正圆 锥体 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = = + M r h J Mr r h M J J z x y 2 2 2 2 3 1 10 3 3 2 20 ρπ ( ) 2 2 5 3 2 10 1 r h x y = + ρ = ρ r z 30 10 1 ρ = 实心 球 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = = 3 2 3 4 5 2 M r J J J Mr x y z ρπ r x y z 10 5 1 ρ = ρ = ρ = 球壳 2 3 2 J J J Mr x = y = z = r x y z 6 6 ρ = ρ = ρ = 注：M——物体的质量，C——质心， ρ ——密度。 例 12-2 计算均质正圆锥体（见图 12-6）对其底面直径的转动惯量。已知圆锥体 质量为 M，底圆半径为 R，高为 h。 解 把圆锥体分成许多厚度为 dz 的薄圆片，这薄圆片的质量为 dm = 2 ρ π r zd （式 中 ρ 为圆锥体的密度，r 为薄圆片的半径）。圆锥体的质量为 M= R h 2 3 1 ρ π 。这薄圆片 对其自身直径的转动惯量可查表知为 1 2 d 4 r m ，由几何关系可知， ( ) h z h R r = − 。于是 薄圆片对 y 轴转动惯量 dJy 为 r2 C z y x l r1 r C z y x z y x r r z y x C O h 3h/
d/,=ir2dm+=2dm=r2+ 2 pards=pr R 因此,整个圆锥体对于y轴的转动惯量为 1R4 4h+ Q IRh h R2+=4(3R2+2h2 20 图12-6 12-2质点和质点系的动量矩 如同力矩一样,质点和质点系的动量也可以取矩,描述质点和质点系的转动特征。 动量矩( Moment of momentus)和动量一样,也是度量物体机械运动的一种物理量。 1.质点的动量矩( Moment of momentum of a particle 设质点某瞬时的动量为mν,对固定点O的矢径为r,如图12-7所示。质点的动 量对固定点O的矩为一矢量,定义为质点对固定点O的动量矩,记为M0(m),即 Mn(mv)=r×mv (12-5) 类似于静力学中力对轴之矩,可得到动量mν对各直角M(mv) 坐标轴之矩,即 m(yv:=y M(m)=m(=V2-xv:) (12-6 图12-7 yVr 类似力矩关系定理,质点对O点的动量矩在通过O点的任意轴上的投影,等于 质点对该轴的动量矩。例如 M6(m)1=M(m) (1-7) 2.质点系的动量矩( Moment of momentum of system of particles) 质点系内各质点对固定点O的动量矩的矢量和,称为质点系对点O的动量矩 用L。表示,则有 L。=∑M(m)=∑rx(m (12-8
3 ( ) ( ) 4 2 4 2 2 2 22 2 2 4 2 11 1 d dd d d 44 4 y R R J rmzm r z rz hz hz z z h h ρπ ρπ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = + = + = −+ − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 因此，整个圆锥体对于 y 轴的转动惯量为 ( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 2 4 2 0 2 2 2 22 1 d 4 3 3 2 3 20 10 20 h y R R J hz hzz z h h Rh h M R R h ρ π ρ π ⎡ ⎤ = −+ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ = += + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 12-2 质点和质点系的动量矩 如同力矩一样，质点和质点系的动量也可以取矩，描述质点和质点系的转动特征。 动量矩（Moment of momentus）和动量一样，也是度量物体机械运动的一种物理量。 1．质点的动量矩（Moment of momentum of a particle） 设质点某瞬时的动量为 mv，对固定点 O 的矢径为 r ，如图 12-7 所示。质点的动 量对固定点 O 的矩为一矢量，定义为质点对固定点 O 的动量矩，记为 M v 0 ( ) m ，即 M vr v 0 ( ) m m = × （12-5） 类似于静力学中力对轴之矩，可得到动量 mv 对各直角 坐标轴之矩，即 ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) x zy y xz z yx M m m yv zv M m m zv xv M m m xv yv v v v = − ⎫ ⎪ ⎪ = − ⎬ ⎪ = − ⎪⎭ （12-6） 类似力矩关系定理，质点对 O 点的动量矩在通过 O 点的任意轴上的投影，等于 质点对该轴的动量矩。例如： 0 ( ) z ( ) z ⎡ ⎤ Mv v m Mm = ⎣ ⎦ （12-7） 2．质点系的动量矩（Moment of momentum of system of particles） 质点系内各质点对固定点 O 的动量矩的矢量和，称为质点系对点 O 的动量矩， 用 Lo 表示，则有 Lo o = =× ∑ ∑ Mv r v (m m ) ( ) （12-8） O R r z y x dz h z 图 12-6 O M (mv) M z y x z y x r mv 图 12-7
类似地也可得到质点系对各坐标轴动量矩的表达式 L.=∑M1(m)=∑m(y-,) L,=∑M(m)=∑m(=2-x) (12-9 L2=∑M(m)=∑m(x,-yn 同样,质点系对O点的动量矩在通过O点的任意轴上的投影,等于质点系对该 轴的动量矩。例如: L L 在法定计量单位中,动量矩的常用单位是牛·米·秒(N·m·s)。 3.定轴转动刚体的动量矩 设刚体以角速度o绕固定轴转动,如图128所示。对于刚体内任一质点M 其质量为m1,转动半径为r,动量mv,。于是质点M对轴 的动量矩为 =m7 而整个刚体对z轴的动量矩为 L2=∑1=∑m=o∑m 因为∑m2=J,是刚体对=轴的转动惯量,故 图12-8 L (12-11) 即,定轴转动刚体对于转轴的动量矩,等于刚体对于转轴的转动惯量与角速度之乘积 L的正负号与O的正负号相同。 例12-3图12-9所示一复摆以角速度绕O轴转动。已知均质杆OA长为l,质 量为m1,均质圆盘C2的半径为r,质量为m2,试求复摆对O轴的动量矩。 解本题先计算复摆对O轴的转动惯量J,再由公式(12-11)计算复摆对O轴 的动量矩。 关于J的计算,可以分别计算OA杆和圆盘C2对O轴的动量矩 然后再相加。其中用到平行轴定理,有 J。 m2+m12+2l+-r 图
4 类似地也可得到质点系对各坐标轴动量矩的表达式 ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) x x zy y y xz z z yx L M m m yv zv L M m m zv xv L M m m xv yv v v v = =− ⎫ ⎪ ⎪ = =− ⎬ ⎪ = =− ⎪⎭ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ （12-9） 同样，质点系对 O 点的动量矩在通过 O 点的任意轴上的投影，等于质点系对该 轴的动量矩。例如： [ o z ]z L = L （12-10） 在法定计量单位中，动量矩的常用单位是牛·米·秒（N·m·s）。 3．定轴转动刚体的动量矩 设刚体以角速度ω 绕固定轴 z 转动，如图 12-8 所示。对于刚体内任一质点 Mi， 其质量为 mi，转动半径为 ri，动量 mi i v 。于是质点 Mi 对轴 的动量矩为 2 z i ii ii l mvr mr = = ω 而整个刚体对 z 轴的动量矩为 = ∑ = ∑ = ∑ 2 2 z z i i i i L l m r ω ω m r 因为 ∑ i i = z m r J 2 ，是刚体对 z 轴的转动惯量，故 Lz = J zω （12-11） 即，定轴转动刚体对于转轴的动量矩，等于刚体对于转轴的转动惯量与角速度之乘积。 Lz 的正负号与ω 的正负号相同。 例 12-3 图 12-9 所示一复摆以角速度ω 绕 O 轴转动。已知均质杆 OA 长为 l，质 量为 m1，均质圆盘 C2 的半径为 r，质量为 m2，试求复摆对 O 轴的动量矩。 解 本题先计算复摆对 O 轴的转动惯量 Jo，再由公式（12-11）计算复摆对 O 轴 的动量矩。 关于 Jo 的计算，可以分别计算 OA 杆和圆盘 C2 对 O 轴的动量矩， 然后再相加。其中用到平行轴定理，有 ( ) 2 2 2 2 11 2 2 22 2 1 2 1 1 12 2 2 1 3 2 3 2 o l J ml m m r m l r m l m l lr r ⎡ ⎤ ⎛⎞ ⎡ ⎤ = + + ++ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ = + ++ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ z ω mivi 图 12-8 Mi ri A O r C1 C l 图 12-9
1n2+m|2+2+r21o 例12-4图12-10系统中,物块A、B的质量分别为m1、m2,均质圆轮(视为圆 盘)的半径为r,质量为m。绳与轮间无滑动,不计绳的质量。图示瞬时已知A块的 速度为ν,试求系统对转轴O的动量矩。 解物块A、B与轮组成一质点系,质点系对转轴O的动量矩等于系内各物体对 转轴动量矩的代数和。 由运动学知,vB=v,O=v/r 物块A、B对转轴的动量矩分别为 L 2=Mo(mvB)=m,vr 圆轮对转轴的动量矩为 ,=Jo@=mr v/r=mvr 图12 Mt Lo=L+L2L=m,vr+m,vr+mvr=(m,+m2+m/2)vr 12-3动量矩定理 1.质点的动量矩定理( Theorems of moment of momentum of a partied) 由动量矩定义知 Mo(mv)=r×(my) 对时间求导数得 ]=[rx(m)=×(my)+r×0,(m)=vx(m)+rx2(m) 此式中右边第一项为零,根据动量定理 d (mv)=F d [Mo(mv)J=rxF=M(F) (12-12) 式(12-12)表明:质点对固定点O的动量矩对时间的一阶导数等于作用力对同一点 主矩。式(12-12)称为质点的动量矩定理 将式(12-12)投影到固定直角坐标轴上,则得
5 22 2 1 2 1 3 2 3 2 L m l m l lr r o ω ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = + ++ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 例 12-4 图 12-10 系统中，物块 A、B 的质量分别为 m1、m2，均质圆轮（视为圆 盘）的半径为 r，质量为 m。绳与轮间无滑动，不计绳的质量。图示瞬时已知 A 块的 速度为 v ，试求系统对转轴 O 的动量矩。 解 物块 A、B 与轮组成一质点系，质点系对转轴 O 的动量矩等于系内各物体对 转轴动量矩的代数和。 由运动学知， v v v r B = , ω = 。 物块 A、B 对转轴的动量矩分别为 ( ) ( ) 1 1 2 2 O A O B L M m m vr L M m m vr v v = = = = 圆轮对转轴的动量矩为 2 3 1 1 2 2 L J mr v r mvr = = ⋅= Oω 故 123 2 1 2 ( ) 1 2 2 L L L L m vr m v r mv r m m m v r O =++= + + = + + 1 12-3 动量矩定理 1．质点的动量矩定理（Theorems of moment of momentum of a partied） 由动量矩定义知 M vr v O (m m ) = × ( ) 对时间求导数得 ( ) ( ) ( ) () () ( ) d ddd d d d dd d O m m m mm m t t tt t r ⎡ ⎤⎡ ⎤ M v r v vr vv vr v = × = × +× =× +× ⎣ ⎦⎣ ⎦ 此式中右边第一项为零，根据动量定理 ( ) d d m t v F = 得 ( ) () d d O O m t ⎡ ⎤ M v rF M F =× = ⎣ ⎦ （12-12） 式（12-12）表明：质点对固定点 O 的动量矩对时间的一阶导数等于作用力对同一点 主矩。式（12-12）称为质点的动量矩定理。 将式（12-12）投影到固定直角坐标轴上，则得 ω r B A O vB vA 图 12-10
d M d M,(m)]=M,(F) (12-13) d M 即:质点对某一定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作用力对于同一轴的矩。 2.质点动量矩守恒定理( Theorems of conservation of moment of momentum of a article 如果质点所受力对某一定点O的矩恒为零,则由式(12-12)知,质点对该点的 动量矩保持不变,即Mo(F=0,则 M。(mv)=常矢量 如果作用于质点的力对于某一定轴的矩恒为零,则由式(12-13)知,质点对该轴 的动量矩保持不变。如M(F=0,则 M(m)=常量 以上结论称为质点动量矩守恒定理 3.质点系的动量矩定理( Theorems of moment of momentum of system of particles) 对于系统内各质点,对同一固定点应用动量矩定理,写出每个质点的动量矩方程, 并把作用于质点的力分解成外力F和内力F,有 M0(m)=M(F)+M(F) 把这些方程全部相加,得 ∑[M。(m)=∑ M。(F 由于内力总是成对的作用于质点系,每一对内力对任意点主矩的矢量和恒等于零,即 ∑M。(F")=0,设M=∑M(F)表示全部外力对固定点O主矩的矢量和(主 矩)。并将上式中左端交换导数和求和的运算次序,得 ∑M。(m)=∑M(F)=M5 (12-16) dt ∑M。( 将上式投影到直角坐标轴上,有
6 ( ) () ( ) () ( ) () d d d d d d x x y y z z Mm M t Mm M t Mm M t v F v F v F ⎫ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ⎬ ⎪ ⎪ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ⎪ ⎭ （12-13） 即：质点对某一定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作用力对于同一轴的矩。 2．质点动量矩守恒定理（Theorems of conservation of moment of momentum of a particle） 如果质点所受力对某一定点 O 的矩恒为零，则由式（12-12）知，质点对该点的 动量矩保持不变，即 MO (F) = 0， 则 M v O (m ) = 常矢量 （12-14） 如果作用于质点的力对于某一定轴的矩恒为零，则由式（12-13）知，质点对该轴 的动量矩保持不变。如 Mz (F) = 0，则 M m z ( v) = 常量 （12-15） 以上结论称为质点动量矩守恒定理。 3．质点系的动量矩定理（Theorems of moment of momentum of system of particles） 对于系统内各质点，对同一固定点应用动量矩定理，写出每个质点的动量矩方程， 并把作用于质点的力分解成外力 Fe 和内力 Fi ，有 ( ) () () d d e i O OO m t ⎡ ⎤ M v MF MF = + ⎣ ⎦ 把这些方程全部相加，得 ( ) () () d d e i O OO m t ⎡ ⎤ M v MF MF = + ∑ ∑∑ ⎣ ⎦ 由于内力总是成对的作用于质点系，每一对内力对任意点主矩的矢量和恒等于零，即 ( )i ∑ M O F =0，设 e MO = ( ) e ∑ M F O 表示全部外力对固定点 O 主矩的矢量和（主 矩）。并将上式中左端交换导数和求和的运算次序，得 ( ) ( ) d d e e O OO m t ∑ ∑ M v MF M = = 即 ( ) d d O e e O O t L = = ∑ MF M （12-16） 将上式投影到直角坐标轴上，有
dL =∑M2(F) M M dL ∑M:(F) 可见,质点系对某定点(或某定轴)的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的全 部外力对同一点(或同一轴)主矩的矢量和(代数和),这就是质点系的动量矩定理。 4.质点系动量矩守恒定理( Theorems of conservation of moment of momentum of system of pa 由质点系动量矩定理可知:质点系的内力不改变质点系的动量矩,只有作用于质 点系的外力才能使质点系的动量矩发生变化。当外力对于某定点(或某定轴)的主矩 (或力矩的代数和)等于零时,质点系对于该点(或该轴)的动量矩保持不变。这就 是质点系动量矩守恒定理。 例12-5高炉运送矿石用的卷场机如图12-11所示,已知鼓轮的半径为R,质量 为m1,轮绕O轴转动。小车和矿石总质量为m2,作用在鼓轮上的力偶矩为M,鼓轮 对转轴的转动惯量为J,轨道的倾角为θ。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计,求小 车的加速度a 解视小车为质点,取小车与鼓轮组成质 点系。以顺时针为正,此质点系对O轴的动量 矩为 Lo=Joo+m,VR 作用于质点系的外力除力偶M,重力P1 和P2外,尚有轴承O的反力Fax和Foy,轨道 图12-11 对车的约束力FN。其中P1,Fax,Fo对O轴力矩为零。将P2沿轨道有其垂直方向分 解为P和PnPn与FN相抵消,而P=P2sin=m2gsin0,则系统外力对O轴的矩为 M-m2g sin 6 由质点系对O轴的动量矩定理,有 J vRI sinb. R 因 ,于是解得 MR-m,gR sin B Je+mR
7 ( ) ( ) ( ) d d d d d d x e e x x y e e y y z e e z z L M M t L M M t L M M t F F F ⎫ = = ⎪ ⎪ ⎪ = = ⎬ ⎪ ⎪ = = ⎪ ⎭ ∑ ∑ ∑ （12-17） 可见，质点系对某定点（或某定轴）的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的全 部外力对同一点（或同一轴）主矩的矢量和（代数和），这就是质点系的动量矩定理。 4．质点系动量矩守恒定理（Theorems of conservation of moment of momentum of system of particles） 由质点系动量矩定理可知：质点系的内力不改变质点系的动量矩，只有作用于质 点系的外力才能使质点系的动量矩发生变化。当外力对于某定点（或某定轴）的主矩 （或力矩的代数和）等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变。这就 是质点系动量矩守恒定理。 例 12-5 高炉运送矿石用的卷场机如图 12-11 所示，已知鼓轮的半径为 R，质量 为 m1，轮绕 O 轴转动。小车和矿石总质量为 m2，作用在鼓轮上的力偶矩为 M，鼓轮 对转轴的转动惯量为 JO，轨道的倾角为θ 。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小 车的加速度 a。 解 视小车为质点，取小车与鼓轮组成质 点系。以顺时针为正，此质点系对 O 轴的动量 矩为 L J m vR O O = ω + 2 作用于质点系的外力除力偶 M，重力 P1 和 P2 外，尚有轴承 O 的反力 Fox 和 Foy，轨道 对车的约束力 FN。其中 P1，Fox，Foy 对 O 轴力矩为零。将 P2 沿轨道有其垂直方向分 解为 Pτ 和 Pn，Pn 与 FN 相抵消，而 Pτ = P2 sinθ = m2 g sinθ ，则系统外力对 O 轴的矩为 ( ) M M m g R e = − sinθ ⋅ 2 由质点系对 O 轴的动量矩定理，有 [ ] 2 2 d d OJ m vR M m g sin R t ω + =− ⋅ θ 因 d d v v , a R t ω = = ，于是解得 2 2 2 O 2 MR m gR sin a J mR − θ = + M Foy v O Pτ Fox 图 12-11 Pn θ P1 P FN