第二篇运动学 运动学研究物体运动的与运动产生原因无关的几何属性。对刚体而言,运动学是在给 定的惯性参考系中,研究刚体相对惯性参考的空间位置变化科学 第六章点的运动 本章对质点(一种特殊的刚体)在惯性参考系中的位置变化进行分析。并给出动点 动点的轨迹,动点的速度矢量,动点的加速度矢量等基本概念。并以不同的几种方试对上 述概念进行数学描述 §6-1矢量法 在地球惯性参考系(体)上任取一定点O。对空间中任意一点A,以O点为起始点 A点为末端点作有向值线段,OA且记 r=OA 则称r4为A点相对O点的位置矢量。若A点泛指空间中的一般点,r4也记为r 质点作为仅由孤立物质点构成的刚体,在宏观尺度上,质点在空间所占具的位置可由 与质点在空间重叠的几何点的位置矢量r唯一对应 、质点的运动方程和轨迹 质点在空间的位置随时间的不同而发生变化,质点在空间位置随时间的变化而导致变 化称为质点的运动。质点运动的数学表述称为质点的运动方程。 在地球惯性参考系(体)中取定O点时,在任意时刻t,质点的空间位置矢量唯一确 r() (6-1) 随r=r()中时刻t在其取值区间段的不同取值,质点将在空间占具不同的位置。参数t被称 为时间参数,或称为时间 对质点,在时间的取值区间[ab位置矢量时间(参数)变 化的函数表达式(矢量表示) r=r(1) 称为质点在给定的时间取值区间内的运动方程。在一般的运动学分析中,质点运动方程中 的时间参数取值区间总被认为是任意给定了的。因此通常就称r=r()是质点的运动方程
1 第二篇 运动学 运动学研究物体运动的与运动产生原因无关的几何属性。对刚体而言，运动学是在给 定的惯性参考系中，研究刚体相对惯性参考的空间位置变化科学。 第六章 点的运动 本章对质点（一种特殊的刚体）在惯性参考系中的位置变化进行分析。并给出动点， 动点的轨迹，动点的速度矢量，动点的加速度矢量等基本概念。并以不同的几种方试对上 述概念进行数学描述。 §6-1 矢量法 在地球惯性参考系（体）上任取一定点 O。对空间中任意一点 A，以 O 点为起始点， A 点为末端点作有向值线段，OA且记 rA = OA 则称 rA为 A 点相对 O 点的位置矢量。若 A 点泛指空间中的一般点，rA 也记为 r。 质点作为仅由孤立物质点构成的刚体，在宏观尺度上，质点在空间所占具的位置可由 与质点在空间重叠的几何点的位置矢量 r 唯一对应。 一、质点的运动方程和轨迹 质点在空间的位置随时间的不同而发生变化，质点在空间位置随时间的变化而导致变 化称为质点的运动。质点运动的数学表述称为质点的运动方程。 在地球惯性参考系（体）中取定 O 点时，在任意时刻 t，质点的空间位置矢量唯一确 定。即 r = r(t) （6-1） 随 r=r(t)中时刻 t 在其取值区间段的不同取值，质点将在空间占具不同的位置。参数 t 被称 为时间参数，或称为时间。 对质点，在时间的取值区间[a,b]>位置矢量时间（参数）变 化的函数表达式（矢量表示） r = r(t) 称为质点在给定的时间取值区间内的运动方程。在一般的运动学分析中，质点运动方程中 的时间参数取值区间总被认为是任意给定了的。因此通常就称 r = r(t) 是质点的运动方程
当质点的运动方程r=r()一但给定,位置矢量在时间参数的取值区间的每一个时间 参数取值所确定的位置矢量末端点集合称为质点的运动轨迹。质点的运动轨迹在三维空间 中的几何表示为一条空间曲线。且该曲线就是位置矢量r=r(1)末端点在时间参数的取值 区间的每一个时间参数取值的三维空间矢端曲线。 质点的运动方程r=r();质点的运动轨迹;矢量运动 方程的矢端曲线分别描述了质点空间的位置变化、质点在空 间可能占具的位置、质点运动轨迹的几何表示。如图6-1所 示质点在oxy面内的运动。图6-1中M为在oxy面内运动的 质点,或称为动点M 动点M的运动方程: r=r()=x(1)i+y(1)j t∈[t1,t2 动点M的运动轨迹: 图6 (xy)x=x(,y=y(O)1≤1≤2} 动点M的矢端曲线: Oxy平面内的AB曲线段 般情况下,运动轨迹所满足的方程称 为轨迹方程。而运动方程rr(1)的矢端曲线 习惯上称为运动轨迹曲线,或称为运动轨 迹 、运动质点的速度矢量(v) 对于运动的质点M,当其运动已知时, 运动轨迹 r=r() 考虑在t和t+△(t∈[1,2)时间间隔内r=z r(1)的变化率。如图6-2所示。 r(t+△)-r(1) 图 定义平均速度矢量 (6-2) y*是在t时刻到t+△t时刻运动质点每单位时间内r(t+△t)与r(t两矢量差。值得注意
2 当质点的运动方程 r = r(t) 一但给定，位置矢量在时间参数的取值区间的每一个时间 参数取值所确定的位置矢量末端点集合称为质点的运动轨迹。质点的运动轨迹在三维空间 中的几何表示为一条空间曲线。且该曲线就是位置矢量 r = r(t) 末端点在时间参数的取值 区间的每一个时间参数取值的三维空间矢端曲线。 质点的运动方程 r = r(t) ；质点的运动轨迹；矢量运动 方程的矢端曲线分别描述了质点空间的位置变化、质点在空 间可能占具的位置、质点运动轨迹的几何表示。如图 6-1 所 示质点在 oxy 面内的运动。图 6-1 中 M 为在 oxy 面内运动的 质点，或称为动点 M。 动点 M 的运动方程： ⎩ ⎨ ⎧ ∈ = = + [ , ] ( ) ( ) ( ) 1 2 t t t r r t x t i y t j 动点 M 的运动轨迹： 图 6-1 { } 1 2 (x, y) x = x(t), y = y(t);t ≤ t ≤ t 动点 M 的矢端曲线： oxy 平面内的 AB 曲线段 一般情况下，运动轨迹所满足的方程称 为轨迹方程。而运动方程 r=r(t)的矢端曲线 习惯上称为运动轨迹曲线，或称为运动轨 迹。 二、运动质点的速度矢量（v） 对于运动的质点 M，当其运动已知时， 即给定： r = r(t) 考虑在t 和 ( [ , ]) 1 2 t + Δt t ∈ t t 时间间隔内r = r(t)的变化率。如图 6-2 所示。 t t t t t Δ Δ = Δ r( + Δ ) − r( ) r 图 6-2 定义平均速度矢量： Δt Δ = r v* （6-2） v*是在 t 时刻到 t + Δt 时刻运动质点每单位时间内 r ( t +Δt ) 与 r (t)两矢量差。值得注意 运动轨迹 △
的是在t和t+△t的时间隔内p的方向保持不变 由平均速度矢量ν可定义一动点在时刻t的速度v 定义:质点在其运动时刻t的速度矢量ν为极限 v= lim r(+△)-r(=limv* (6-3a) 或将运动质点在t时刻的速度矢量记为 dr(1) d 即运动质点在t时刻的速度矢量v定义为质点运动方程r=r()对时间参数t的一阶导数。 质点速度矢量ν在运动轨迹上的几何意。如图6-3所示在球面曲线AB上运动的质点, 其运动方程为 r=r(1) 在什t时刻,r(t*)确定o’点。由(6-3a)可求得 vo=OC; O 将OD矢量平行移动到OE。则OC和OE矢量构成一平面。显然速度矢量v在OC和OE 矢量构成的平面内。且随t的不同取值,OC和OE矢量构成的平面也将变化。但无论t 怎样取值,v速度矢量总在OC和OE矢量构成的平面内。由此定义当障*→0时的OC和 OE矢量构成的平面为密切面。且v沿运动轨迹上r=r(t)未端点的密切面内的切线方向 密切面是过同一点的不同曲线所具有的几何性质。过同一点的两条曲线在这一点的密 切面是可以不同的。密切面不是空间一点所具有的性质,而是曲线所具有的性质。如图6-3 中过O点的另一质点的运动轨迹ab(虚线)曲线。在t时刻,在ab曲线上运动的质点 的运动方程r=r(t+1)确定O点。由(6-3a)可求得 显然当1*→0时,Od与v构成在ab曲线上运动的质点的t时刻速度矢量v所在的密切 面。且AB曲线和ab曲线在O点的密切面一般不是同一个平面 速度矢量v=f(1)的大小记为v=√p;"=√r(1)r(1)。则 (6-4) 式中ν是在r点的ν矢量指定的一个正方向的矢量
3 的是在 t 和 t+Δt 的时间隔内 v*的方向保持不变。 由平均速度矢量 v * 可定义一动点在时刻 t 的速度 v。 定义：质点在其运动时刻 t 的速度矢量 v 为极限 lim * ( ) ( ) lim 0 0 v r r v Δ → Δ → = Δ + Δ − = t t t t t t （6-3a） 或将运动质点在 t 时刻的速度矢量记为 r r v = = dt d (t) （6-3b） 即运动质点在 t 时刻的速度矢量 v 定义为质点运动方程 r=r(t)对时间参数 t 的一阶导数。 质点速度矢量 v 在运动轨迹上的几何意。如图 6-3 所示在球面曲线 AB 上运动的质点， 其运动方程为 r = r(t) 在 t+t*时刻，r=r(t+t*)确定o′ 点。由（6-3a）可求得 vO = OC ； vO′ = O′D 将O′D 矢量平行移动到OE 。则OC 和OE 矢量构成一平面。显然速度矢量 vo 在OC 和OE 矢量构成的平面内。且随 t * 的不同取值，OC 和OE 矢量构成的平面也将变化。但无论 t * 怎样取值，v0 速度矢量总在OC 和OE 矢量构成的平面内。由此定义当t* → 0 时的OC 和 OE 矢量构成的平面为密切面。且 vo 沿运动轨迹上 r=r(t)未端点的密切面内的切线方向。 密切面是过同一点的不同曲线所具有的几何性质。过同一点的两条曲线在这一点的密 切面是可以不同的。密切面不是空间一点所具有的性质，而是曲线所具有的性质。如图 6-3 中过 O 点的另一质点的运动轨迹 ab（虚线）曲线。在 t+t*时刻，在 ab 曲线上运动的质点 的运动方程 r = r(t + t*)确定O 点。由（6-3a）可求得 v r = o ；vo = Od 显然当t* → 0 时，Od 与 o v 构成在 ab 曲线上运动的质点的 t 时刻速度矢量 0 v 所在的密切 面。且 AB 曲线和 ab 曲线在 O 点的密切面一般不是同一个平面。 速度矢量v = r(t) 的大小记为| v |= v ⋅ v = r(t)⋅r(t) 。则 0 | | v v v v = v ⋅ = ⋅ + v （6-4） 式中 v+是在 r 点的 v 矢量指定的一个正方向的矢量
由r=n(n)运动方程所确定的速度矢量v是: ①矢量形式的运动方程的时间变化率; ②速度v的大小为|v=√p: V(ta) ③速度v在w上的投影为p=v·w ④速度v的量纲(单位)为v的量 纲(单位),即[米]秒](或记为m/) (t) 例61如图所示在圆弧上运动 的质点M若圆的半径为R:小球的速度 =r(t)矢端曲线 矢量v的大小|vsin(W为一常数) 1.试确定M质点的运动方程。 2.给出质点的运动方程矢端曲线 =v(t)矢端曲线 3.给出质点的速度矢量端曲线 图6-4 r(1)=(Rc0s0) +(rsin g t) (0°≤qt<90°) OB r(O=-(Rcos(150-1)-+(Rsin n) (90°≤qt<150°) R R OA (Rcos1)+(Rsin R M质点的运动方程(矢量)为 r(=ACos o t+OBsin t (0°≤qt<1509) 质点的运动轨迹为图中AB圆弧 3. v=r((=-OA sin t+OB cos o I v2=(O4|q)2+(OB|)2=R2q2=i 规定由A到B为正方向。则 v=Ro=v 速度矢曲线如图6-4所示
4 由 r=r(t)运动方程所确定的速度矢量 v 是： ① 矢量形式的运动方程的时间变化率； ② 速度 v 的大小为| v |= v ⋅ v ； ③ 速度 v 在 v0上的投影为 v=v·v0； ④ 速度 v 的量纲（单位）为 v 的量 纲（单位），即[米]/[秒]（或记为 m/s）。 例 6-1 如图所示在 12 5 圆弧上运动 的质点 M。若圆的半径为 R；小球的速度 矢量 v 的大小| v |= v sinϕt(v 为一常数)。 1．试确定 M 质点的运动方程。 2．给出质点的运动方程矢端曲线。 3．给出质点的速度矢量端曲线。 解： 1. 图 6-4 R OB R t R OA r(t) = (Rcosϕ t) + ( sinϕ ) ； (0° ≤ ϕ t < 90°) R OB R t R OA r(t) = −(Rcos(150° −ϕ t)) + ( sinϕ ) ； (90° ≤ ϕ t < 150°) R OB R t R OA = (Rcosϕ t) + ( sinϕ ) ∴ M 质点的运动方程（矢量）为 r(t) = OAcosϕ t + OBsinϕ t ； (0° ≤ ϕ t < 150°) 2．质点的运动轨迹为图中 AB 圆弧。 3．v = r(t) = −OA ϕ sinϕ t + OB ϕ cosϕ t 2 2 2 2 2 2 | v | = (| OA |ϕ) + (| OB |ϕ) = R ϕ = v 规定由 A 到 B 为正方向。则 v = Rϕ = v 速度矢 曲线如图 6-4 所示。 矢端曲线 轨迹 矢端曲线
三、运动质点的加速度矢量(a) 对运动质点的运动方程的矢量表达式r=r(1)求一阶时间变化率得质点在t时刻的速度 矢量v=ν()。对速度矢量,在t和+△t时刻的速度矢量分别为v()和v(计+△D)。作t和 +△t两时刻的速度矢量差,也可以求得△t时间间隔内的平均速度变化率: (+△)-v(1)△v(t) a*称为t和H△t时间间隔内的平均加速度。由平均加速度同样可以定义运动质点在t时刻 的加速度。 定义:质点在其运动时刻t的加速度矢量a为极限 lim v(l+ At)-v(1=lima* (6-6a) 或将运动质t时刻的加速度矢量记为 r() (6-6b) dt 即运动质点在t时刻的加速度矢量a定义为质点运动方程rr()对时间参数的二阶导数;或 是运动质点的速度矢量v=w1)对时间参数t的一阶导数 质点加速矢量a的几何意义如图6-5所示。将在运动轨迹上每点的质点运动速度矢量 v(D)作为自由矢量。按平行性,将w)的起始点平行移o点。速度矢量w)的未端点构成 矢量η(t)矢端曲线>。为了更为直观,以质点的平面运动为例,如图6-5所示。显然加速 度矢量a是速度矢量u的矢端曲线上对应的t时刻密切面内的切线上的矢量。但必须胆确 的是加速度矢量a()是在t时刻的运动轨迹上对应点处的加速度矢量 运动轨迹 运动轨迹 r=r(t)矢端曲线 v(t. a(t3) 图65 对加速度矢量a=li(t)=f()同样可以定义其大小a和a。即 a|=√a·a=√v(t)v)=vF(t),r(t)
5 三、运动质点的加速度矢量（a） 对运动质点的运动方程的矢量表达式 r = r (t)求一阶时间变化率得质点在 t 时刻的速度 矢量 v = v (t)。对速度矢量，在 t 和 t+Δt 时刻的速度矢量分别为 v (t) 和 v (t+Δt)。作 t 和 t+Δt 两时刻的速度矢量差，也可以求得Δt 时间间隔内的平均速度变化率： t t t t t t Δ Δ = Δ + Δ − = ( ) ( ) ( ) * v v v a （6-5） a*称为 t 和 t+Δt 时间间隔内的平均加速度。由平均加速度同样可以定义运动质点在 t 时刻 的加速度。 定义：质点在其运动时刻 t 的加速度矢量 a 为极限 lim * t (t t ) (t ) lim t t a v v a Δ →0 Δ →0 = Δ + Δ − = （6-6a） 或将运动质 t 时刻的加速度矢量记为 ( ) ( ) 2 2 t dt d t dt d r r v v a = = = = （6-6b） 即运动质点在 t 时刻的加速度矢量 a 定义为质点运动方程 r=r(t)对时间参数的二阶导数；或 是运动质点的速度矢量 v = v(t)对时间参数 t 的一阶导数。 质点加速矢量 a 的几何意义如图 6-5 所示。将在运动轨迹上每点的质点运动速度矢量 v(t)作为自由矢量。按平行性，将 v(t)的起始点平行移 o 点。速度矢量 v(t)的未端点构成一 矢量 v(t)矢端曲线>。为了更为直观，以质点的平面运动为例，如图 6-5 所示。显然加速 度矢量 a 是速度矢量 u 的矢端曲线上对应的 t 时刻密切面内的切线上的矢量。但必须胆确 的是加速度矢量 a(t)是在 t 时刻的运动轨迹上对应点处的加速度矢量。 速度矢端曲线 运动轨迹 运动轨迹 矢端曲线 图 6-5 对加速度矢量a = u(t) = r(t) 同样可以定义其大小|a|和 a。即 | a |= a ⋅ a = v(t)⋅ v(t) = r(t)⋅ r(t)
·t 式中a是在r点的a矢量指定的一个正方向矢量 由r=r()运动方程,或ν=ν(速度方程所确定的加速度矢量a是 ①矢量形式运动方程r=n(1)对时间的二阶变化。或是矢量形式速度方程v=v(1)对 时间的变化率 ②加速度的a的大小为|aF=√a·a ③加速度a在a上的投影为a ④加速度a是速度矢量v=w1)矢量端图上t是刻密切面内切线上的矢量所确定的; ⑤加速度a是质点运动轨迹上r=r(1所确定的点处的矢量 ⑥加速度的量纲(单位)为a的量纲(单位) 即[米秒秒](或记为ms2) 例62如图6-6所示在半径为R的四分之一圆上 作平面运动的动点M。动点M的运动方程为: I R r()=(sinφr+ cospp r2)R =(312+61)2/720 Q(七)= ①M动点的速度矢量端图 ②在速度矢量端图上给出当=时的加速度矢 R 量 ③在运动轨迹上给出当q=时的加速度矢量a 丿o(t)l v(o=r(0=(cos P)R =(t+1)2/120 a(0)=r((=v((=-(osin P, r+cos p,r)R+(coso r)OR a(t)=(cos- sin p)Rr-(sin+ cos)Rr, =(t+1)x/120 =x/120 ①M动点的速度矢量端图 t=0 120’ 0
6 a a a a = a ⋅ = ⋅ + | | a 0 式中 a+是在 r 点的 a 矢量指定的一个正方向矢量。 由 r = r(t)运动方程，或 v = v(t)速度方程所确定的加速度矢量 a 是： ① 矢量形式运动方程 r = r(t)对时间的二阶变化。或是矢量形式速度方程 v = v(t)对 时间的变化率； ② 加速度的 a 的大小为| a |= a ⋅ a ； ③ 加速度 a 在 a0 上的投影为 a； ④ 加速度a 是速度矢量v = v(t)矢量端图上t 是刻密切面内切线上的矢量所确定的； ⑤ 加速度 a 是质点运动轨迹上 r = r(t)所确定的点处的矢量； ⑥ 加速度的量纲（单位）为 a 的量纲（单位）， 即[米]/[秒][秒]（或记为 m/s2 ）。 例 6-2 如图 6-6 所示在半径为 R 的四分之一圆上 作平面运动的动点 M。动点 M 的运动方程为： ⎩ ⎨ ⎧ = + = + (3 6 ) / 720 ( ) (sin cos ) 2 2 1 2 t t t R ϕ r ϕ r ϕ r 试求： ①M 动点的速度矢量端图； ②在速度矢量端图上给出当 4 π ϕ = 时的加速度矢 量 a； ③在运动轨迹上给出当 4 π ϕ = 时的加速度矢量 a。 解： ⎩ ⎨ ⎧ = + = = − ( 1) /120 ( ) ( ) ( cos sin ) 2 1 2 t t t R ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ v r r r 图 6-6 a(t) = r(t) = v (t) = −(ϕsinϕ1r1 +ϕ cosϕ1r2 ) ϕ R + (cosϕ r1 − sinϕ r2 ) ϕ R ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + = − − + /120 ( 1) /120 ( ) ( cos sin ) ( sin cos ) 2 2 1 2 ϕ π ϕ π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ t a t Rr Rr ①M 动点的速度矢量端图 t = 0 120 π ϕ = ，ϕ = 0 11π 6π π 61π
v(Olso=R r 120’=2625° v(Oles=(cos 26.25r-sin 26.25 E)OT R 120 11丌 10 1209=90 11 T R M动点的速度矢量端图如图6-6所示。 ②=45°=/4 120 120 a()l=4s=R(-q(p+@2nll=s a(t)L=s=×R√2(G2+q+) clR 120)120 a(t)Lb-的几何表示如图6-6(轨迹表示和速度矢量端图表示) §6-2点的运动(直角坐标法) 当点的运动方程r=r(t)但给定。则按(6-3a)或(6-3b)可确定点运动时的速度矢 量ν=r(t);按(6-6a)或(6-6b)可确定点运动时的加速度矢量a=v1)=(1)。由于 r(1)、v(1)、a(1)都是三维空间中的矢量。且r(1)是起始点固定在O点的约束矢量,v(1)、a(1)则是自由矢量>。无论是约束矢量,还是自由矢量都可以在矢量起点处的一组(三维空 间是三个)线性无关的矢量线性表示。这一组线性无关的矢量称为矢量表示的基底。而任 意矢量在基底上线性表示的系数称为矢量在该基底上的坐标。对r()、v()、a(1)矢量的分 析可采用在一组给定基底上的分析。这样的分析方法称为坐标法。本章中只考虑直角坐标 法和自然坐标法两种基本矢量坐标分析
7 0 1 1 120 v( ) | r r R t t R π = = ϕ = t = 5 120 6π ϕ = ，ϕ = 26.25° 120 6 ( ) | (cos 26.25 sin 26.25 ) 5 1 2 R t t π v = ° r − ° r = t = 10 120 11π ϕ = ，ϕ = 90° 10 2 120 11 v( ) | r R t t π = = − M 动点的速度矢量端图如图 6-6 所示。 ② ϕ = 45° = π / 4 t = 61 −1 120 61π ϕ = 120 π ϕ = a(t ) | R 2 2 ϕ = 45° = [(ϕ -ϕ 2 )r1-(ϕ +ϕ 2 )r2] ϕ=45° | 120 120 61 2 1 2 2 2 2 4 45 R | (t )| | R ( ) π π ϕ ϕ ϕ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ a = ° = + = + 0 ϕ=45 a(t )| 的几何表示如图 6-6（轨迹表示和速度矢量端图表示） §6-2 点的运动（直角坐标法） 当点的运动方程 r = r (t)一但给定。则按（6-3a）或（6-3b）可确定点运动时的速度矢 量 v = r(t) ；按（6-6a）或（6-6b）可确定点运动时的加速度矢量 a = v(t ) = r(t )。由于 r(t)、 v (t)、a (t)都是三维空间中的矢量。且 r (t)是起始点固定在 O 点的约束矢量>，v (t)、a (t)则是自由矢量>。无论是约束矢量，还是自由矢量都可以在矢量起点处的一组（三维空 间是三个）线性无关的矢量线性表示。这一组线性无关的矢量称为矢量表示的基底。而任 意矢量在基底上线性表示的系数称为矢量在该基底上的坐标。对 r (t)、v (t)、a (t)矢量的分 析可采用在一组给定基底上的分析。这样的分析方法称为坐标法。本章中只考虑直角坐标 法和自然坐标法两种基本矢量坐标分析
所谓直角坐标法是在三维空间的每一点处按矢 量的平行性给出一组三个相互正交的单位长度基底 i、j、k。并给定任一确定不变的点,由该点和该点 处一组基底i、j k构成直角坐标系。若该点标记为O,则{O;i、j k}称为三维空间的一个直角坐标系。且称O点为该 坐标系的原点,ijk称为该坐标系的基矢量,而 过O点沿jk的三条分别与、jk指向一致的 有向直线称为该坐标系的x、y、z坐标轴。如图6-7 对运动的动点的运动学分析,当给定直角坐标系 图6-7 {O;i、j、k},其运动方程r=r(1);速度矢量ν=r(D);加速度矢量a=v1)=r()都可以 在{O;i、j、k坐标系中表示为 r=r(o=x(i+y(oj+=(o k (6-7a) =P(1=V2t)i+V,1)j+v2(k (67b) a=F(D)=a2(1)i+a1(1)j+a2(D)k (6-7a)称为运动方程的{O;i、jk}直角坐标系表示的运动方程,x(1)、()、x(1称为运动 方程r=n(1)在{O;ijk}坐标系中的坐标。对给定的时刻、x(1)、y()、x(1完全确定了运 动质点在三维空间中的位置。当将t作为x(1)、1(1)、(1)坐标的参数时,由 y=y(1) (6-8) 二==(1) 中消去参数t所得三维空间的{O;i六坐标系表示的空间曲线就是运动轨迹。 在{O;i、六k}直角坐标系中,j、k不随位置的变化而改变(即三维空间的每一点 处的j、k都是相同的);ijk不随时间的变化而改变(即在任何时刻i、、k也都是 相同的)。因此有 ai ol Ol Ol =0 可=0:9=0:9=0:9 (6-9) 0 0 0 az dt
8 所谓直角坐标法是在三维空间的每一点处按矢 量的平行性给出一组三个相互正交的单位长度基底 i、j、k。并给定任一确定不变的点，由该点和该点 处>一组基底 i、j、 k 构成直角坐标系。若该点标记为 O，则{O；i、j、 k}称为三维空间的一个直角坐标系。且称 O 点为该 坐标系的原点，i、j、k 称为该坐标系的基矢量，而 过 O 点沿 i、j、k 的三条分别与 i、j、k 指向一致的 有向直线称为该坐标系的 x、y、z 坐标轴。如图 6-7 所示。 对运动的动点的运动学分析，当给定直角坐标系 图 6-7 {O；i、j、k}，其运动方程 r = r(t)；速度矢量v = r(t) ；加速度矢量a = v(t) = r(t) 都可以 在{O；i、j、k}坐标系中表示为： r = r(t) = x (t)i + y (t) j + z (t)k （6-7a） v = r(t ) = vx (t )i + vy (t )j + vz (t )k （6-7b） a = r(t) = ax (t)i + ay (t) j + az (t)k （6-7c） （6-7a）称为运动方程的{O；i、j、k}直角坐标系表示的运动方程，x(t)、y(t)、z(t)称为运动 方程 r=r(t)在{O；i、j、k}坐标系中的坐标。对给定的时刻 t、x(t)、y(t)、z(t)完全确定了运 动质点在三维空间中的位置。当将 t 作为 x(t)、y(t)、z(t)坐标的参数时，由 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t （6-8） 中消去参数 t 所得三维空间的{O；i、j、k}坐标系表示的空间曲线就是运动轨迹。 在{O；i、j、k}直角坐标系中，i、j、k 不随位置的变化而改变（即三维空间的每一点 处的 i、j、k 都是相同的）；i、j、k 不随时间的变化而改变（即在任何时刻 i、j、k 也都是 相同的）。因此有 = 0 ∂ ∂ x i ； = 0 ∂ ∂ y i ； = 0 ∂ ∂ z i ； = 0 ∂ ∂ t i = 0 ∂ ∂ x j ； = 0 ∂ ∂ y j ； = 0 ∂ ∂ z j ； = 0 ∂ ∂ t j （6-9） = 0 ∂ ∂ x k ； = 0 ∂ ∂ y k ； = 0 ∂ ∂ z k ； = 0 ∂ ∂ t k
由(67b)式: v()=r(1)=,[x()i+y(t)j+z(1)k] =x(i+x(1)o+j(t)j+y(1)o+()k+z(1)0 =x()i+j(1)j+i()k =v2(t)i+v,(t)j+v2()k 所以有 dx(0) x() dx(t) =j() (6-10) ly(t) 该式表明速度矢量vO)在ν的起始矢量点处的基底j k上的坐标等于r(1)在O点基底ijk上的坐标对时间 (参数)的一阶导数。如图6-8所示,对直角坐标系{O; i六k},Fr1)的坐标与r)在对应轴上的投影相等;=v(n) (t) 在j、k基底上的坐标与w)在对应轴上的投影相等 因此(6-10)式也可以表述为,动点的速度矢量1)在其 起始点处i、j、k上的投影等于其对应的运动方程r1)在 O点处i、jk上的投影时间(参数)的一阶导数。 图68 由(6-7b)和(6-10)可得 2+(,)2+(2)2=√(x)2+(0)2+() (6-11) cos(v, i) cos(v,j) cos(vk) 由(6-7c)式同样可得 a(1)=)i+j0)j+)k i+,)j+v20)k a,i+ayj+ak v2(t) dt d2=x() (6-12) y=i:(t)=2=20 d2()
9 由（6-7b）式： i j k i j k i o j o k v r i j k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] 2 v t v t v t x t y t z t x t x t y t y t z t z t o x t y t z t dt d t t = x + y + = + + = + + + + + = = + + 所以有 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z t dt dx t v y t dt dx t v x t dt dx t v z y x （6-10） 该式表明速度矢量 v(t)在 v 的起始矢量点处的基底 i、j、 k 上的坐标等于 r(t)在 O 点基底 i、j、k 上的坐标对时间 （参数）的一阶导数。如图 6-8 所示，对直角坐标系{O； i、j、k}，r=r(t)的坐标与 r(t)在对应轴上的投影相等；v=v(t) 在 i、j、k 基底上的坐标与 v(t)在对应轴上的投影相等。 因此（6-10）式也可以表述为，动点的速度矢量 v(t)在其 起始点处 i、j、k 上的投影等于其对应的运动方程 r(t)在 O 点处 i、j、k 上的投影时间（参数）的一阶导数。 图 6-8 由（6-7b）和（6-10）可得 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = + + = + + | | ;cos( , ) | | ;cos( , ) | | cos( , ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 v v k v v j v v i v x y z x y v v v v v v x y z （6-11） 由（6-7c）式同样可得 i j k i j k a i j k x y z x y z a a a v t v t v t (t ) x t y t z t = + + = + + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = = = = = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 z t dt d z t v dt dv a y t dt d y t v t dt dv a x t dt d x t v t dt dv a z z z y y y x x x t （6-12）
a=a)2+(a,)2+(a:)2 cos(a, i) coS(aJ= cos(a, k)= (6-12)式表明加速度矢量a()在a的起始矢量点处的基底六k上的坐标等于r()在O 点基底i、jk上的坐标对时间(参数)的二阶导数。或者表述为,动点的加速度矢量a() 在其起点处ijk上的投影等于其对应的运动方程r0)在O点处i、jk上的投影对时间 (参数)的二阶导数。 对于动点作平面运动情况,取动点运动平面为i、j所在平面。则有 r=r(o=x(oi+y(oj v=r(1)=v2(i+v,()j (6-14) F(D)=a1()i+a,() dx(o) x(o -0 p=yn)+(,)=√(x)+()2 s(v, 1) s(v,j v()=x(1) a,=i()=x() a=√(a,)2+(a,)2=√(x)2+(y)2 s(a, i) cos(a,j La 例6-3如图6-9所示。(质点抛射运动)若动点在{O;ij坐标系所在平面的运动方程为 r=r(=v. ai+ (vot sina -=gt")j 式中1为初速度的大小,a是初速倾角,g是重力加速度。求: 1.质点的运动轨迹方程。 质点运动轨迹曲线。 3.速度矢量端图 4.、a的表达。如a=?p?
10 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = + + | | ;cos( , ) | | ;cos( , ) | | cos( , ) | | ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a a k a a j a a i a x y z x y z a a a a a a （6-13） （6-12）式表明加速度矢量 a (t) 在 a 的起始矢量点处的基底 i、j、k 上的坐标等于 r(t)在 O 点基底 i、j、k 上的坐标对时间（参数）的二阶导数。或者表述为，动点的加速度矢量 a(t) 在其起点处 i、j、k 上的投影等于其对应的运动方程 r(t)在 O 点处 i、j、k 上的投影对时间 （参数）的二阶导数。 对于动点作平面运动情况，取动点运动平面为 i、j 所在平面。则有： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + = = + = = + a r i j v r i j r r i j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t a t a t t v t v t t x t y t x y x y （6-14） ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) y t dt dy t v x t dt dx t v y x （6-15） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = + = + | | ;cos( , ) | | cos( , ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 v v j v v i v x y x y v v v v x y （6-16） ⎩ ⎨ ⎧ = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) a v t x t a v t x t y y x x （6-17） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = + = + | | ;cos( , ) | | cos( , ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 a a j a a i a x y x y a a a a x y （6-18） 例 6-3 如图 6-9 所示。（质点抛射运动）若动点在{O；i、j}坐标系所在平面的运动方程为： r r( ) i ( )j 2 0 0 2 1 = t = v t cosα + v t sinα − gt 式中 v0 为初速度的大小，α 是初速倾角，g 是重力加速度。求： 1．质点的运动轨迹方程。 2．质点运动轨迹曲线。 3．速度矢量端图。 4．v、a 的表达。|a|=？|v|=？ 解：
