第七章 弯曲变形
本章要点 (1)梁绕曲线近似微分方程 (2)叠加法求梁变形 (3)简单静不定梁的求解 重要概念 挠度、转角、边界条件、连续性条件、变形比较法
本章要点 （1）梁绕曲线近似微分方程 （2）叠加法求梁变形 （3）简单静不定梁的求解 重要概念 挠度、转角、边界条件、连续性条件、变形比较法
目录 §7-1概述 §72梁的挠曲线近似微分方程用其积分 §73用叠加法求梁的变形 §7-4简单静不定梁的解法 §7-5梁的刚度校核及提高梁的刚度措施 §7-6梁内的弯曲应变能
§7-1 概 述 目录 §7-2 梁的挠曲线近似微分方程用其积分 §7-3 用叠加法求梁的变形 §7-4 简单静不定梁的解法 §7-5 梁的刚度校核及提高梁的刚度措施 §7-6 梁内的弯曲应变能
§7-1概述 在上一章中,我们对各种截面梁中横截面上的应力,作 了比较详尽的介绍和分析,但是,对一根梁来说,它是不是只 要满足了应力要求,即强度条件,就能够使得整个构件正常, 安全的工作呢?为了回答这个问题,下面我们先看一看几个简 单的例子 ASS 齿轮轴弯曲变形过大,就要影 响齿轮的正常啮合,加速齿轮 的磨损,产生较大的噪音 齿轮轴弯曲
§7-1 概述 *在上一章中，我们对各种截面梁中横截面上的应力，作 了比较详尽的介绍和分析，但是，对一根梁来说，它是不是只 要满足了应力要求，即强度条件，就能够使得整个构件正常， 安全的工作呢？为了回答这个问题，下面我们先看一看几个简 单的例子： 齿轮轴弯曲变形过大，就要影 响齿轮的正常啮合，加速齿轮 的磨损，产生较大的噪音。 齿轮轴弯曲
○吊车梁若变形过大,一方面会使 吊车在行驶过程中发生较大的振 动,另一方面使得吊车出现下坡 和爬坡现象。 吊车梁变形 *从上面两个例子我们可看出:梁即使满足了强度条件,若变 形过大的话,它仍然不能够正常安全的工作。由此,我们可 以得出:要使梁正常安全的工作,一方面梁不仅要满足强度 条件,另一方面梁还必须满足一定的变形条件。只有在这两 方面同时得到满足的条件下,整个构件才能正常安全工作
吊车梁若变形过大，一方面会使 吊车在行驶过程中发生较大的振 动，另一方面使得吊车出现下坡 和爬坡现象。 吊车梁变形 从上面两个例子我们可看出：梁即使满足了强度条件，若变 形过大的话，它仍然不能够正常安全的工作。由此，我们可 以得出：要使梁正常安全的工作，一方面梁不仅要满足强度 条件，另一方面梁还必须满足一定的变形条件。只有在这两 方面同时得到满足的条件下，整个构件才能正常安全工作。 *
第九章的内容就告诉了我们上面所提到的梁所必须满足 的变形条件以及计算这种弯曲变形的方法,下面我们首先来 看几个基本概念: 举例:如图所示:取梁变形前的轴线为x轴,与x轴垂直的 为y轴。弯曲变形后,在x平面内,AB弧ACB,挠曲 线—平面曲线ACB。 B
第九章的内容就告诉了我们上面所提到的梁所必须满足 的变形条件以及计算这种弯曲变形的方法，下面我们首先来 看几个基本概念： 举例：如图所示：取梁变形前的轴线为x 轴，与 x 轴垂直的 为y轴。弯曲变形后，在 xy 平面内，AB——弧AC1B，挠曲 线——平面曲线AC1B。 A B F C1 x y x
1.挠度—梁的轴线上某一个点在垂直于x轴的方向(y方向) 所发生的位移。 2.转角—梁上某一横截面在梁发生变形后,绕其中性轴转 动的角度θ,就称为该横截面的转角 3.挠曲线方程—从图中我们可以看出:梁的轴线上每一点 的挠度y是随着点的位置x的改变而变化的,因此它是x的函数, y=f(x)—挠曲线方程 4.转角方程由截面的平面假设可知:变形前垂直于轴线 的横截面,变形后仍垂直于挠曲线,故,当我们通过挠曲线上 任意一点C1作切线时,它与水平线的夹角显然等于C1点所在 横截面的转角θ,于是:
1．挠度——梁的轴线上某一个点在垂直于x轴的方向（y方向） 所发生的位移。 2．转角——梁上某一横截面在梁发生变形后，绕其中性轴转 动的角度 ，就称为该横截面的转角。 3．挠曲线方程——从图中我们可以看出：梁的轴线上每一点 的挠度y是随着点的位置x的改变而变化的，因此它是x的函数, 即： y = f (x) ——挠曲线方程 4．转角方程——由截面的平面假设可知：变形前垂直于轴线 的横截面，变形后仍垂直于挠曲线，故，当我们通过挠曲线上 任意一点C1作切线时，它与水平线的夹角 点所在 横截面的转角 ，于是： 显然等于C1
冷挠曲线:y=f(x) 令任一点的斜率与转角之间的关系为:=g0 由于:极其微小一日=g0 6 转角方程 x 物理意义: 反应了挠度与转角之间的关系,即挠曲线上任意一点处切 线的斜率等于该点处横截面的转角。 结论:由转角方程我们可看出:梁上某点处横截面的转角等于 f(x)在该点处的大小。研究梁的变形的关键在于提出 挠曲线方程y=f(x)
y = f (x) ❖任一点的斜率与转角之间的关系为： tg dx dy = ❖挠曲线： 物理意义： 反应了挠度与转角之间的关系，即挠曲线上任意一点处切 线的斜率等于该点处横截面的转角。 由于： 极其微小 = tg f (x) dx dy ' = = ——转角方程 结论：由转角方程我们可看出：梁上某点处横截面的转角等于 f (x) ' 在该点处的大小。研究梁的变形的关键在于提出 挠曲线方程 y = f (x)
5.挠度,转角的正负号规定: ◆挠度:向下的挠度为正,向上的挠度为负 转角:顺时针的转向为正,逆时针的转向为负 目录
❖挠度：向下的挠度为正，向上的挠度为负 ❖转角：顺时针的转向为正，逆时针的转向为负 5．挠度，转角的正负号规定： 目录
§7-2梁的挠曲线近似微分方程用其积分 一挠曲线近似微分方程(的推导) 在上一章,讨论纯弯曲变形时,得出:梁纯弯曲时轴 线的曲率为: 1 M=K P EI (a) 在橫力弯曲中,我们知道梁的横截面上的内力除弯矩外 还有剪力,但同时我们又知道:工程上常用的梁,由 于L(跨长)远大于h(横截面高度),剪力的影响很小 可忽略不计。故我们仍可将其当作纯弯曲梁来处理。有(a) 式来表示曲率大小。但由于在横力弯曲中,曲率和弯矩都 是x的函数。故而应写为:
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程用其积分 一.挠曲线近似微分方程（的推导） 在上一章，讨论纯弯曲变形时，得出：梁纯弯曲时轴 线的曲率为： K EI M Z = = 1 （a） 在横力弯曲中，我们知道梁的横截面上的内力除弯矩外， 还有剪力，但同时我们又知道：工程上常用的梁，由 于L（跨长）远大于h（横截面高度），剪力的影响很小， 可忽略不计。故我们仍可将其当作纯弯曲梁来处理。有(a) 式来表示曲率大小。但由于在横力弯曲中，曲率和弯矩都 是x的函数。故而应写为：