第六章理翘流体动力学 s6.1流体微团的砂分析 §6.2迤度势函数与流函数 §6.3几种基本平面勢流 §6.4势流的彙加 °§6.5圆柱体绕流 §6.6理规流体的旋涡运动 §6.7理翘流体旋涡坛动的基本定理 §6.8旋涡诱导遠度 °§6.9平面有势流动的复势
第六章 理想流体动力学 §6.1 流体微团的运动分析 §6.2 速度势函数与流函数 §6.3 几种基本平面势流 §6.4 势流的叠加 §6.5 圆柱体绕流 §6.6 理想流体的旋涡运动 §6.7 理想流体旋涡运动的基本定理 §6.8 旋涡诱导速度 §6.9 平面有势流动的复势
86.1流体微团的运动分析 亥姆霍兹速度分解定理 设一空间点M的坐标为xyz,它邻域内另一空间点M的坐标为 x+ax,y+d在酶定时刻,M处流体质点的速度投影vx 是以这点坐标给出的函数值,同一时刻,位于M处流体质点速度在 x轴上投影wx是M1点坐标按同一函数确定的另一确定值。由于v是 一多元函数,x的近似值可以按泰勒展开,以vx及其导函数表示 ax一dy+d
§6.1 流体微团的运动分析 一 亥姆霍兹速度分解定理 设一空间点 M0的坐标为x,y,z，它邻域内另一空间点M1的坐标为 ，在一确定时刻， M0处流体质点的速度投影vx 是以这点坐标给出的函数值，同一时刻，位于M1处流体质点速度在 x轴上投影vx ’ 是M1点坐标按同一函数确定的另一确定值。由于vx是 一多元函数， vx ’的近似值可以按泰勒展开，以vx及其导函数表示： x dx y dy z dz + + + , , x x x x x v v v v v dx dy dz x y z = + + +
根据需要,将上式整理成为: vx=vxt=+ Day )dz )dz Da y 2 az ax 02 或 Vx+Exrdx +Exydy+Exdz + Oydz-O-dy 同样,M1处流体质点的速度矢量在yz轴上投影和也可以 导出类似的表达式,现将三个投影表达式写出如下: vx=vx+ Exdx+Exydy+Exdz + Oydz-@:dy y=Vy+Eyadx+Eydy+Eydz +@xdx-Oxdz (6.1) v=v2+Eadx+Edy+Edz+@xdy-Oydx
根据需要，将上式整理成为： 或 同样，M1处流体质点的速度矢量在y,z轴上投影和也可以 导出类似的表达式，现将三个投影表达式写出如下： 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x x y x z x z y x x x v v v v v v v v v v v dx dy dz dz dy x y x z x z x x y = + + + + + + − − − v v dx dy dz dz dy x x xx xy xz y z = + + + + − x x xx xy xz y z y y yx yy yz z x z z zx zy zz x y v v dx dy dz dz dy v v dx dy dz dx dz v v dx dy dz dy dx = + + + + − = + + + + − = + + + + − (6.1)
上式中 Ex Ery= az (62) 0x= Ovx 由式(62)定义的各个系数,在恒定流动中,都是点坐标yz的 函数且应取处的坐标值。式(61)表明,M点邻域内点M处流体质点 的速度投影可以用M处速度投影及它们在M处的导数近似表示,这 表示称为亥姆霍兹速度分解定理
上式中 由式（6.2）定义的各个系数，在恒定流动中，都是点坐标x,y,z的 函数且应取处的坐标值。式（6.1）表明， M0点邻域内点M1处流体质点 的速度投影可以用M0处速度投影及它们在M0处的导数近似表示，这一 表示称为亥姆霍兹速度分解定理。 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 x y z xx yy zz x y xy yx y z yz zy z x zx xz z y x x z y y x z v v v x y z v v y x v v z y v v x z v v y z v v z x v v x y = = = = = + = = + = = + = − = − = − ， ， (6.2)
二速度分解的物理意义 下面分析式(62)定义的各项的物理意义。为清楚说明问题,考 察一结构较简单的平面流动。流体质点都在Xoy平面上流动 V≠在恒定流动的欧拉表达式中,速度在xy轴上投影只 是平面坐标xy的函数。于是,式(62)中 E==8:=y=8x=8x=0=0=0 方程(61)简化为 V+8.dx+8.dy-odi =V,+Edx+En dy+@dx (63) 在Xoy平面上取一各边与坐标轴平行的矩形流体微团,通过分析这 一平面流体微团的运动与变形即可认识式(62)中各非零项的物 理意义
二 速度分解的物理意义 下面分析式（6.2）定义的各项的物理意义。为清楚说明问题，考 察一结构较简单的平面流动。流体质点都在xoy平面上流动 ，在恒定流动的欧拉表达式中，速度在x,y轴上投影只 是平面坐标x,y的函数。于是，式（6.2)中 方程（6.1）简化为 在xoy平面上取一各边与坐标轴平行的矩形流体微团，通过分析这 一平面流体微团的运动与变形即可认识式（6.2）中各非零项的物 理意义。 Vz = 0 zz yz zy = = = zx xz x y = = = = 0 v v dx dy dx v v dx dy dy y y yx yy z x x xx xy z = + + + = + + − (6.3)
1平移运动 图6,1a中,平面矩形流体微团四个顶点A、B、C、D所在点坐标为 (xy),(x+dxy)、x+dxy+dy),(xy+dy)A点处流体质点速度的 在xy轴投影分别为vxv 假设式(63)中 Cx=Ey= Exy=Cyx=O==0 式(63)写为 表明,A点邻域矩形流体微团中任一流体质点与A点处流体质点运 动速度完全相等,流体微团象刚体一样在自身平面作平移运动
1 平移运动 图6.1a中，平面矩形流体微团四个顶点A、B、C、D所在点坐标为 (x,y)，(x+dx,y),(x+dx,y+dy),(x,y+dy).A点处流体质点速度的 在x,y轴投影分别为vx ,vy。 假设式（6.3）中 式（6.3）写为 表明，A点邻域矩形流体微团中任一流体质点与A点处流体质点运 动速度完全相等，流体微团象刚体一样在自身平面作平移运动。 xx yy xy yx z = = = = = 0 x x y y v v v v = =
2线变形运动 B点处流体质点速度x的投影vx可以用A点处的投影值及其导数表示 经过间段,A处流体质点向右水平位移vdt(假 定vx>0),B流体质点水平右移vx'dt,两质点在水平距离的改变量 为 (E那么在单位时间单位距离上两流体质点水平距离 的改变量显然为这就是 exrdxdt/thd=Ex 项的物理意义。 同样可以说明,ε是铅垂方向上两流体质点在单位间单位距离的改变量, 如果和都不等于0,原矩形ABCD的长边与短边都将随时间伸长或缩 短,变成一新的矩形,如图(6-1b)。矩形边的这种伸缩变形叫流体 线变形运动
2 线变形运动 B点处流体质点速度x的投影vx ’可以用A点处的投影值及其导数表示 。经过dt时间段，A处流体质点向右水平位移vxdt（假 定vx>0），B处流体质点水平右移vx ’dt，两质点在水平距离的改变量 为 ，那么，在单位时间单位距离上两流体质点水平距离 的改变量显然为 ，这就是 项的物理意义。 同样可以说明， 是铅垂方向上两流体质点在单位时间单位距离的改变量。 如果 和 都不等于0，原矩形ABCD的长边与短边都将随时间伸长或缩 短，变成一新的矩形，如图（6-1b）。矩形边的这种伸缩变形叫流体 线变形运动。 x x x x x xx v v v v dx dy v dx x y = + + = + ( ) xx xx dxdt dx dx dxdt + − = xx xx dxdt dxdt / = yy xx yy xx
3旋转运动 设A点处流体质点静止,即=聪点与A点y坐标差 令小=0,即流体无线形运动,再假定 ,由式 (63)4B点处流体质点 即B点处流体质点向上运动。 在类似假定下,可以得到D处流体质点v=0dv=0 质点D向左运动,(假定)或者说,AB和AD以相同的角速度 绕A点同向旋转,因而流体微团以这一角速度逆时绕A点族转 如图(6-1c。这种运动与刚体作轴旋转的方式一致
3 旋转运动 设A点处流体质点静止，即 ，B点与A点y坐标差 ， 令 ，即流体无线变形运动，再假定 ，由式 （6.3），B点处流体质点 即B点处流体质点向上运动。 在类似假定下，可以得到D处流体质点 ， 质点D向左运动，（假定 ）或者说，AB和AD以相同的角速度 绕A点同向旋转，因而流体微团以这一角速度逆时针绕A点旋转。 如图（6-1c）。这种运动与刚体作绕轴旋转的方式一致。 v v x y = = 0 dy = 0 xx yy = = 0 = = 0 xy yx v v dx x y z = = 0, v dy v x z y = − = , 0 z 0 z
4纯剪变形运动 设A点处流体质点静止,即1=1同时假定 =O==0 即流体微团设有发生线变形,也未绕A点旋转。B点与A点y坐标之差dy =0,由式(6-3)可得到流体质点B点的vx=0,v=Emx 即质点B向上运动(设Ex)0 在类似假定下,可以得到流体质点D点v=6 du p处流体质点向右运 动(设。=Ex>0 B、D两流体质点这种运动的结果,使原平面矩形微团ABCD变成一平行 四边形BCD如图(6-1d)。流体微团的这一运动称为纯剪变形运动。 这种变形运动也是流体特有的,刚体固态质点不可能出现这种运动
4 纯剪变形运动 设A点处流体质点静止，即 ，同时假定 即流体微团设有发生线变形，也未绕A点旋转。B点与A点y坐标之差dy =0,由式（6-3）可得到流体质点B点的 即质点B向上运动（设 ）。 在类似假定下，可以得到流体质点D点 ，D处流体质点向右运 动（设 ）。 B、D两流体质点这种运动的结果，使原平面矩形微团ABCD变成一平行 四边形 ，如图（6-1d）。流体微团的这一运动称为纯剪变形运动。 这种变形运动也是流体特有的，刚体固态质点不可能出现这种运动。 v v x y = = 0 xx yy z = = = 0 v v dx x y yx = = 0, yx 0 v dy v x xy y = = , 0 xy yx = 0 A B C D
L出 图6平面流体微团速度分解
平面流体微团速度分解图6-1 a a b c d
