材料力学 第八章弯曲变形
第八章弯曲变形 回§8-1概述 §8-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §83求梁的挠度与转角的共轭梁法 §84按叠加原理求梁的挠度与转角 回§85梁的刚度校核 □§86梁内的弯曲应变能 □]§8-7简单超静定梁的求解方法 §88梁内的弯曲应变能
§8–1 概述 §8–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §8–3 求梁的挠度与转角的共轭梁法 §8–4 按叠加原理求梁的挠度与转角 §8–5 梁的刚度校核 第八章 弯曲变形 §8–6 梁内的弯曲应变能 §8–7 简单超静定梁的求解方法 §8–8 梁内的弯曲应变能
§8-1概述 桥式吊梁在自重及 重量作用下发生弯曲变形 研究范围:等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的:①对梁作刚度校核; ②解超静定梁(变形几何条件提供补充方程)
§8－１ 概 述 研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核； ②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）
意曲卖 、度量梁变形的两个基本位移量 1.挠度:横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用ν表示。 与∫同向为正,反之为负。 P 2.转角:横截面绕其中性轴转 动的角度。用表示,顺时 ●● 针转动为正,反之为负。 1 ∫ 二、挠曲线:变形后,轴线变为光滑曲线,该曲线称为挠曲线。 其方程为: v=for) 小变形 三、转角与挠曲线的关系:g0=00=f dx
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。 与 f 同向为正，反之为负。 2.转角：横截面绕其中性轴转 动的角度。用 表示，顺时 针转动为正，反之为负。 二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为： v =f (x) 三、转角与挠曲线的关系： 一、度量梁变形的两个基本位移量 (1) d d tg f x f = = 小变形 P x v C C1 f
意曲卖 §8-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分 一、挠曲线近似微分方程 1M:(x) x p EI M0 f"(x)0 El 式(2)就是挠曲线近似微分方程
§8-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 z z EI 1 M (x) = 一、挠曲线近似微分方程 z z EI M x f x ( ) ( ) = 式（2）就是挠曲线近似微分方程。 EI M x f x ( ) ( ) = − …… （2） ( ) (1 ) 1 ( ) 2 3 2 f x f f x + = 小变形 f x M>0 f (x) 0 f x M<0 f (x) 0
对于等截面直梁,挠曲线近似微分方程可写成如下形式: E"(x)=-M(x) 二、求挠曲线方程(弹性曲线) 1.微分方程的积分 El"(x)=-M(x) E](x)=GM(x)dx+C Ef(x)=GM(x)dx)dx+Cx+C2 2.位移边界条件 P P C B D ●
EIf (x) = −M (x) 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式： 二、求挠曲线方程（弹性曲线） EIf (x) = −M (x) d 1 EIf (x) = (−M (x)) x +C d 1 2 EIf (x) = ( (−M (x))dx) x +C x +C 1.微分方程的积分 2.位移边界条件 P A C B P D
0支点位移条件: f4=0fB=0 fD=00p=0 e连续条件:=f或写成C=fC 3光滑条件: 或写成已左=日 讨论: ①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件(边界条件、连续条 件)确定。 ④优点:使用范围广,直接求出较精确;缺点:计算较繁
讨论： ①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。 支点位移条件： 连续条件： 光滑条件： f A = 0 f B = 0 f D = 0 D = 0 − = + C C f f − = + C C 或写成 左 右 C C = 或写成 左 右 C C f = f
意曲卖 例1求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 解: L o建立坐标系并写出弯矩方程 x M(x)=P(x-l) 2写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数 E"=M(x)=P(L-x)E()=2P+C2=0 E"=-P(L-x)2+C E(O)=Ef(0)=-P2+C1=0 Elf==P(L-x)+Cx+C2:CI =-PL: C PL 6 2 6
例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 建立坐标系并写出弯矩方程 M (x) = P(x − L) 写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数 EIf = −M (x) = P(L − x) 1 2 ( ) 2 1 EIf = − P L − x +C 1 2 3 ( ) 6 1 EIf = P L − x +C x +C 0 6 1 (0) 2 3 EIf = PL +C = 0 2 1 (0) (0) 1 2 EI = EIf = − PL +C = 3 2 2 1 6 1 ; 2 1 C = PL C = − PL 解： P L x f
a写出弹性曲线方程并画出曲线 P x LL-x)+3Lx-L 6El ⑤最大挠度及最大转角 PL PL m=6(L)= ∫m=f(L= 2EI BEI
写出弹性曲线方程并画出曲线 3 2 3 ( ) 3 6 ( ) L x L x L EI P f x = − + − EI PL f f L 3 ( ) 3 max = = EI PL L 2 ( ) 2 max = = 最大挠度及最大转角 x f P L
解:◎建立坐标系并写出弯矩方程♂ P M(x)= P(x-a)(0≤x≤a) (a≤x≤L)籌 L x e写出微分方程的积分并积分 /的 a-x (0≤x≤a) 0 (a≤x≤D) Elf=2 P(a-x)2+C1E=16 P(a-x)+Cix+C D Dx+ D2
解：建立坐标系并写出弯矩方程 − = 0 ( ) ( ) (0 ) ( ) a x L P x a x a M x 写出微分方程的积分并积分 − − + = 1 1 2 ( ) 2 1 D P a x C EIf + − + + = 1 2 1 2 3 ( ) 6 1 D x D P a x C x C EIf − = 0 ( ) ( ) (0 ) a x L P a x x a EIf x f P L a