第三章流体动力学基础 §1-1描述流体运动的两种方法 §1-2流体运动的一些基本概念 13流体运动的连续性方程 §1-4理想流体的运动微分方程 §1-5理想流体微元流束的伯努力方程 §1-6伯努利( Bernoulli)方程的应用 §1-7定常流动的动量方程和动量矩方程 §1-8液体的空化和空蚀现象 2021/25
2021/2/5 1 第三章 流体动力学基础 §1–1 描述流体运动的两种方法 §1–6 伯努利（Bernoulli）方程的应用 §1–8 液体的空化和空蚀现象 §1–7 定常流动的动量方程和动量矩方程 §1–2 流体运动的一些基本概念 §1–4 理想流体的运动微分方程 §1–3 流体运动的连续性方程 §1–5 理想流体微元流束的伯努力方程
流体运动学研究流体的运动规律,如速度、加速度等 运动参数的变化规律,而流体动力学则研究流体在外力作 用下的运动规律,即流体的运动参数与所受力之间的关系。 本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知识,推导 出流体动力学中的几个重要的基本方程:连续性方程、动 量方程和能量方程,这些方程是分析流体流动问题的基础。 2021/2/5
2021/2/5 2 流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等 运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作 用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系。 本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知识，推导 出流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、动 量方程和能量方程，这些方程是分析流体流动问题的基础
第一节描述流体运动的两种方法 连续介质模型的引入,使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质,并且无间隙地充满它所 占据的空间。我们把流体质点运动的全部空间称为流场。 由于流体是连续介质,所以描述流体运动的各物理量(如 速度、加速度等)均应是空间点的坐标和时间的连续函数。 根据着眼点的不同,流体力学中研究流体的运动有两种不 同的方法,一种是拉格朗日( Lagrange)方法,另一种是 欧拉(Euer)方法 拉格朗日方法又称随体法,是从分析流场中个别流体 质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法,最基本 2021/2/5
2021/2/5 3 第一节 描述流体运动的两种方法 连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。我们把流体质点运动的全部空间称为流场。 由于流体是连续介质，所以描述流体运动的各物理量(如 速度、加速度等)均应是空间点的坐标和时间的连续函数。 根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动有两种不 同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange）方法，另一种是 欧拉（Euler）方法。 拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体 质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本
的参数是流体质点的位移,在某一时刻,任一流体质点的 位置可表示为: Ⅹ=X(a,b,c,t y=y( a, b, C,t) z=Z(a, b, C,t) (3-1) 式中a、b、C为初始时刻任意流体质点的坐标,即不同的a、 b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点,a、 b、c为常数,而t为变量,则得到流体质点的运动规律 对于某个确定的时刻,t为常数,而a、b、C为变量,得到 某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉 格朗日变量,它不是空间坐标的函数,而是流体质点标号 2021/2/5
2021/2/5 4 的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的 位置可表示为： X=x (a，b，c，t) y=y (a，b，c，t) z=z (a，b，c，t) (3-1) 式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、 b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、 b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。 对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到 某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉 格朗日变量，它不是空间坐标的函数，而是流体质点标号
将式(3-1)对时间求一阶和二阶导数,可得任意流体 质点的速度和加速度为: ula. b,c (a,b,c,) (3-2) at z w(a, b,c, ou aa x (a, b, c,t) at ot at2 a,(a, b, c, (33) o az (a, b, c, t) 2021/2/5
2021/2/5 5 将式（3-1）对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体 质点的速度和加速度为： (3-2) (3-3) u(a,b,c,t) t x u = = v(a,b,c,t) t y v = = w(a,b,c,t) t z w = = ( , , , ) 2 2 a a b c t t x t u ax = x = = ( , , , ) 2 2 a a b c t t y t v ay = y = = ( , , , ) 2 2 a a b c t t z t w az = z = =
同样,流体的密度、压强和温度也可写成a、b、C、的 函数,即p=p(a,b,c,),P=P(a,b,c,),t-t(a, c,) 欧拉法,又称局部法,是从分析流场中每一个空间点 上的流体质点的运动着手,来研究整个流体的运动的,即 研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化 规律。所以流体质点的流动是空间点坐标(X,y,z)和 时间t的函数,例如:流体质点的三个速度分量、压强和 密度可表示为:U=u(x,y,z,t Fv(x, y, Z, t) (3-4) W=W(x, y, Z, t) 式中,U,V,W分别表示速度矢量在三个坐标轴上的分量: V=ui+vi +wk 2021/2/5
2021/2/5 6 同样，流体的密度、压强和温度也可写成a、b、c、的 函数，即ρ= ρ （a，b，c，），P=P (a，b，c，)，t=t (a， b，c，)。 欧拉法，又称局部法，是从分析流场中每一个空间点 上的流体质点的运动着手，来研究整个流体的运动的，即 研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化 规律。所以流体质点的流动是空间点坐标（x，y，z）和 时间t的函数，例如：流体质点的三个速度分量、压强和 密度可表示为： u=u (x，y，z，t) v=v (x，y，z，t) （3-4） w=w (x，y，z，t) 式中，u，v，w分别表示速度矢量在三个坐标轴上的分量： V ui vj wk = + +
P=p(x, y, Z, P=p(X, y, Z,t) (3-5) 式(3-4)中,当参数x,y,z不变而改变时间t,则表 示空间某固定点的速度随时间的变化规律。当参数t不变, 而改变X,y,z,则代表某一时刻,空间各点的速度分布。 X,y,2有双重意义,一方面它代表流场的空间坐标, 另一方面它代表流体质点在空间的位移。根据流体连续介 质假设,每一个空间点上都有流体质点所占据。而占据每 个空间点上的流体质点都有自己的速度,有速度必然产 生位移。也就是说,空间坐标X,y,z也是流体质点位移 的变量,它也是时间t的函数: =X(t y=y(t z=z(t (3-6) 2021/2/5
2021/2/5 7 P=p (x，y，z，t) Ρ=ρ（x，y，z，t) (3-5) 式（3-4）中，当参数x，y，z不变而改变时间t，则表 示空间某固定点的速度随时间的变化规律。当参数t不变， 而改变x，y，z，则代表某一时刻，空间各点的速度分布。 x，y，z有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标， 另一方面它代表流体质点在空间的位移。根据流体连续介 质假设，每一个空间点上都有流体质点所占据。而占据每 一个空间点上的流体质点都有自己的速度，有速度必然产 生位移。也就是说，空间坐标x，y，z也是流体质点位移 的变量，它也是时间t的函数： x= x (t) y= y (t) z= z (t) (3-6)
式(36)是流体质点的运动轨迹方程,将上式对时间 求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量 Z W dt dt dt (3-7) 现在用欧拉法求流体质点的加速度。由于加速度定义 为在d时刻内,流体质点流经某空间点附近运动轨迹上 段微小距离时的速度变化率,于是可按复合函数的求导法 则,分别将式(3-4)中三个速度分量对时间取全导数, 并将式(3-7)代入,即可得流体质点在某一时刻经过某 空间点时的三个加速度分量 2021/2/5 8
2021/2/5 8 式（3-6）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间 求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量 （3-7） 现在用欧拉法求流体质点的加速度。由于加速度定义 为在dt时刻内，流体质点流经某空间点附近运动轨迹上一 段微小距离时的速度变化率，于是可按复合函数的求导法 则，分别将式（3-4）中三个速度分量对时间取全导数， 并将式（3-7）代入，即可得流体质点在某一时刻经过某 空间点时的三个加速度分量 t x u d d = t v d dy = t w d dz =
au au a +l-+V一+1 at +u-+y-+w at (3-8) +l-+1-+ 用矢量d表示加速度,即a=axl+ay)+a=k。根 据矢量分析的点积公式 +(·V at (3-9) 式中卩o xj+k是矢量微分算子 z 由式(3-8)可知,用欧拉法求得的流体质点的加速度 由两部分组成;第一部分是由于某一空间点上的流体质点 2021/2/5 9
2021/2/5 9 (3-8) 用矢量 表示加速度，即 。根 据矢量分析的点积公式 （3-9） 式中 是矢量微分算子。 由式（3-8）可知，用欧拉法求得的流体质点的加速度 由两部分组成；第一部分是由于某一空间点上的流体质点 z w w y w v x w u t w a z v w y v v x v u t v a z u w y u v x u u t u a z y x + + + = + + + = + + + = a a a i a j a k x y z = + + V V t V a + ( • ) = k z j y i x + + =
的速度随时间的变化而产生的,称为当地加速度,即式 (3-8)中等式右端的第一项 m、"、";第二部分是 某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化称为迁移加 速度,即式(3-8)中等式右端的后三项u 当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。为了加深对 当地加速度和迁移加速度的理解,现举例说明这两个加速 度的物理意义。如图3-1所示,不可压缩流体流过一个中 间有收缩形的变截面管道,截面2比截面1小,则截面2的 速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2 点时,由于截面的收缩引起速度的增加,从而产生了迁移 加速度,如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变 化(增加或减少),则管道中每一点上流体质点的速 2021/2/5 10
2021/2/5 10 的速度随时间的变化而产生的，称为当地加速度，即式 （3-8）中等式右端的第一项 、 、 ；第二部分是 某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化称为迁移加 速度，即式（3-8）中等式右端的后三项 、 、 等； 当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。为了加深对 当地加速度和迁移加速度的理解，现举例说明这两个加速 度的物理意义。如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中 间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的 速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2 点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移 加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变 化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速 t u t v t w x u u y u v z u w