第三章一元流体动力学 53.1研究流体运动的两种方法 ●532欧拉法的基本概念 §33连续性方程 53.4元流的伯努利方程 §3.5总流的伯努利方程 53.6总流的动量方程 537动量矩方程 2021/28 杨小林制作
2021/2/8 杨小林制作 1 第三章 一元流体动力学 §3.1 研究流体运动的两种方法 §3.2 欧拉法的基本概念 §3.3 连续性方程 §3.4 元流的伯努利方程 §3.5 总流的伯努利方程 §3.6 总流的动量方程 §3.7 动量矩方程
83.1研究流体运动的两种方法 3.1.拉格朗日法 拉格朗日法:以流体质点为研究对象,追踪观测某 一流体质点的运动轨迹,并探讨其运动要素随时间 变化的规律。拉格朗日法通常用初始时刻流体质点 的空间坐标(a,b,c)来标识和区分不同的流体 质点,因此流体质点的空间位置可表示为 x=x(a, b, c, t) y=y(a, b,c,t) a 式中(a,b,c,t)称为拉格朗日变量。 2021/28 杨小林制作
2021/2/8 杨小林制作 2 §3.1 研究流体运动的两种方法 3.1.1 拉格朗日法 拉格朗日法：以流体质点为研究对象，追踪观测某 一流体质点的运动轨迹，并探讨其运动要素随时间 变化的规律。拉格朗日法通常用初始时刻流体质点 的空间坐标（a，b，c）来标识和区分不同的流体 质点，因此流体质点的空间位置可表示为： 式中（a，b，c，t）称为拉格朗日变量。 ( ) ( ) ( ) = = z z a b c t y y a b c t x x a b c t ， ， ， ＝ ， ， ， ， ，
流体质点速度 Orla, b oy(a, b,c, t) azla, b,c,t t 流体质点加速度 Ou,8x(a, b, c,t) at 0102y(a,b,c cla 2021/28 杨小林制作
2021/2/8 杨小林制作 3 流体质点速度 流体质点加速度 ( ) ( ) ( ) = = = t z a b c t u t y a b c t u t x a b c t u z y x ， ， ， ， ， ， ， ， ， ( ) ( ) ( ) = = = = = = 2 2 2 2 2 2 t z a b c t t u a t y a b c t t u a t x a b c t t u a z z y y x x ， ， ， ， ， ， ， ，
3.12欧拉法 欧拉法:着眼于流场中的固定空间或空间上的固定 点,研究空间每一点上流体的运动要素随时间的变 化规律。显然,欧拉法中运动要素是空间坐标和时 间的函数,即 =以(x,y,2, p=plx, y, 2,t) p=p(, y, 式中(x,y,z,t)称为欧拉变量。 2021/28 杨小林制作
2021/2/8 杨小林制作 4 3.1.2 欧拉法 欧拉法：着眼于流场中的固定空间或空间上的固定 点，研究空间每一点上流体的运动要素随时间的变 化规律。显然，欧拉法中运动要素是空间坐标和时 间的函数，即 式中（x，y，z，t）称为欧拉变量。 ( ) ( ) ( ) = = p p x y z t x y z t x y z t ， ， ， ＝ ， ， ， ， ， ， u u
欢拉法中质点的加速度应按复合函数求导法则导出 du au au dx ou dy ou dz dt ot Ox dt Oy dt az dt u auauau tu-tu-+u +1 +1 +1 其分量式 O +1 +1 +1 +1 O 式中称为时变加速度,以你+u,+n.位变 加速度。 2021/28 杨小林制作
2021/2/8 杨小林制作 5 欧拉法中质点的加速度应按复合函数求导法则导出 其分量式 式中 称为时变加速度； 称为位变 加速度。 + + + = = + + + = = + + + = = z u u y u u x u u t u t du a z u u y u u x u u t u t du a z u u y u u x u u t u t du a z z z y z x z z z y z y y y x y y y x z x y x x x x x z u y u x u t dt dz dt z dy dt y dx dt t x d x y z + + + = + + + = = u u u u u u u u u a t u z u y u x ux y z + + u u u
例3-1已知流场的速度分布:u3=2X-yt,u=3y-xt试求 t=1时,过点M(2,1)上流体质点的加速度a 解:由式(3-8)得 + +u x-yt)×2+(3y-xt)×( 当t=1、x=2、y=1时,有 4m/s2 同理 -2m/s 即 2021/28 杨小林制作
2021/2/8 杨小林制作 6 例3-1 已知流场的速度分布： 。试求： t＝1时，过点M（2，1）上流体质点的加速度a。 解：由式（3-8）得 当t＝1、x＝2、y＝1时，有 同理 即 = −y + (2x − yt) 2 + (3y − xt) (− t) + + = y u u x u u t u a x y x x x x 2 = 4m/s ax 2 y a = −2m/s a = 4i − 2 j u 2x yt u 3y xt x = − ， y = −
§3.2欧拉法的基本概念 3.2.1恒定流与非恒定流 若流场中所有空间点上一切运动要素均不随时 间变化,这种流动称为恒定流,否则称为非恒定流。 恒定流中:a==9=0 at a 3.2.2三维流动、二维流动、一维流动 若流体运动要素是三个空间坐标和时间函数, 这种流动称为三维流动。若只是两个空间坐标和时 间的函数,就称为二维流动。若仅是一个空间坐标 和时间的函数,则称为一维流动。 2021/28 杨小林制作
2021/2/8 杨小林制作 7 §3.2 欧拉法的基本概念 3.2.1 恒定流与非恒定流 若流场中所有空间点上一切运动要素均不随时 间变化，这种流动称为恒定流，否则称为非恒定流。 恒定流中： 3.2.2 三维流动、二维流动、一维流动 若流体运动要素是三个空间坐标和时间t的函数， 这种流动称为三维流动。若只是两个空间坐标和时 间t的函数，就称为二维流动。若仅是一个空间坐标 和时间t的函数，则称为一维流动。 = 0 = = t t p t u
3.2.3迹线与流线 1迹线:流体质点在某一时段的运动轨迹。迹线微 分方程 u dx dy d dt 式中时间是自变量。 2流线 u4 03 流线:指某一时刻流场中的一条空间曲线,曲线上 所有流体质点的速度矢量都与这条曲线相切,如图 所示。 2021/28 杨小林制作
2021/2/8 杨小林制作 8 3.2.3 迹线与流线 1.迹线：流体质点在某一时段的运动轨迹。迹线微 分方程 ： 式中时间t是自变量。 2.流线 流线：指某一时刻流场中的一条空间曲线，曲线上 所有流体质点的速度矢量都与这条曲线相切，如图 所示。 dt u dz u dy u dx x y z = = = u u4 u3 u2 u1 ds 4 3 2 1 M
如图,点M处的速度为u,ds为流线在M点的微 元线段矢量,根据流线定义,u与ds共线,则 U×dS=0 流线微分方程 式中时间t是常数 流线的特性: (1)流线除驻点、奇点等特殊点,在一般情况下 不能相交,也不能是折线,而是光滑的曲线或直线。 2021/28 杨小林制作 9
2021/2/8 杨小林制作 9 如图，点M处的速度为u，ds为流线在M点的微 元线段矢量，根据流线定义，u与ds共线，则 流线微分方程 式中时间t是常数。 流线的特性： （1）流线除驻点、奇点等特殊点，在一般情况下 不能相交，也不能是折线，而是光滑的曲线或直线。 uds = 0 x y uz dz u dy u dx = =
(2)不可压缩流体中,流线的疏密程度反映了该时 刻流场中各点的速度大小,流线越密,流速越大, 流线越稀,流速越小。 (3)恒定流动中,流线的形状不随时间而改变,流 线与迹线重合;非恒定流动中,一般情况下,流线 的形状随时间而变化,流线与迹线不重合 2021/28 杨小林制作 0
2021/2/8 杨小林制作 10 （2）不可压缩流体中，流线的疏密程度反映了该时 刻流场中各点的速度大小，流线越密，流速越大， 流线越稀，流速越小。 （3）恒定流动中，流线的形状不随时间而改变，流 线与迹线重合；非恒定流动中，一般情况下，流线 的形状随时间而变化，流线与迹线不重合