理论力学(三) 刚体力学,非线性系统 2011.11
理论力学（三） 刚体力学，非线性系统 2011.11
刚体的概念和性质 刚体是一种质点系,其中所有质点的相对 位置一直保持不变。 刚体不发生任何形变。固体的物体受力时, 如果形变较小,可以近似地视为刚体。 刚体有形状,有大小,有质量分布。我们 研究宏观世界的物体运动时,如果物体的 大小不能忽略,用质点模型就不够全面, 这时可以使用刚体模型
刚体的概念和性质 • 刚体是一种质点系，其中所有质点的相对 位置一直保持不变。 • 刚体不发生任何形变。固体的物体受力时， 如果形变较小，可以近似地视为刚体。 • 刚体有形状，有大小，有质量分布。我们 研究宏观世界的物体运动时，如果物体的 大小不能忽略，用质点模型就不够全面， 这时可以使用刚体模型
刚体的自由度 在三维空间中运动的刚体,其自由度为6 平动自由度3。决定了刚体上的一点的位置 转动自由度3。其中,2个自由度决定刚体上的 某根轴线的方向,剩下的1个自由度决定刚体 绕此轴旋转的角度。 决定刚体上的一点的坐标需要3个自由度。决 定刚体上的另一点又需要2个自由度(3个自由 度,减去这两点之间的距离固定的约束条件) 决定第三个点还需要1个自由度(3个自由度, 减去它与前这两点之间的距离固定的2个约束 条件)。再增加点自由度不增。一共还是6个 自由度
刚体的自由度 • 在三维空间中运动的刚体，其自由度为6。 – 平动自由度3。决定了刚体上的一点的位置。 – 转动自由度3。其中，2个自由度决定刚体上的 某根轴线的方向，剩下的1个自由度决定刚体 绕此轴旋转的角度。 – 决定刚体上的一点的坐标需要3个自由度。决 定刚体上的另一点又需要2个自由度（3个自由 度，减去这两点之间的距离固定的约束条件）。 决定第三个点还需要1个自由度（3个自由度， 减去它与前这两点之间的距离固定的2个约束 条件）。再增加点自由度不增。一共还是6个 自由度
刚体的本体坐标 本体坐标系是固定在刚体上的坐标系 是随刚体一起运动的。刚体上的任意一点 在本体坐标系中的坐标值恒定不变。 空间坐标是我们所在的实验室惯性系的坐 (可视为“静止”坐标)。 要表示一个刚体的状态,首先要用三个空 间坐标表示本体坐标系的原点位置,此外 还要能表征本体坐标的坐标轴方向
刚体的本体坐标 • 本体坐标系是固定在刚体上的坐标系。它 是随刚体一起运动的。刚体上的任意一点 在本体坐标系中的坐标值恒定不变。 • 空间坐标是我们所在的实验室惯性系的坐 标（可视为“静止”坐标）。 • 要表示一个刚体的状态，首先要用三个空 间坐标表示本体坐标系的原点位置，此外 还要能表征本体坐标的坐标轴方向
刚体的运动方式 平动。刚体上任何一点都有相同的速度(和加速 度)。本体坐标方向保持不变。可以用刚体上的 点的运动表征整个刚体的运动。自由度为3(3 平动自由度)。 ·定轴转动。刚体围绕一个固定的轴作转动。自由 度为1。 平面运动。刚体每个质点的运动都限制在一个平 面内,限制不同质点的平面彼此平行。自由度为3 (2个平动自由度,1个转动自由度)。 定点转动。刚体转动时,其上某一点固定。(3个 转动自由度) ·一般运动。自由度为6(3个平动,3个转动)
刚体的运动方式 • 平动。刚体上任何一点都有相同的速度（和加速 度）。本体坐标方向保持不变。可以用刚体上的 一点的运动表征整个刚体的运动。自由度为3（3 个平动自由度）。 • 定轴转动。刚体围绕一个固定的轴作转动。自由 度为1。 • 平面运动。刚体每个质点的运动都限制在一个平 面内，限制不同质点的平面彼此平行。自由度为3 （2个平动自由度，1个转动自由度）。 • 定点转动。刚体转动时，其上某一点固定。（3个 转动自由度） • 一般运动。自由度为6（3个平动，3个转动）
欧拉定理 定理:具有一个固定点的刚体的任意位移 等效于绕该定点的某一轴线的转动。 如果能寻找到轴线和旋转的角度,使原始 位置的刚体经过一次旋转就能到达指定位 置,则欧拉定理即获得证明。 实际上,由于原点不动,只需要本体坐标 的x轴单位向量和y轴单位向量到达目标位 刚体整个就到达目标位
欧拉定理 • 定理：具有一个固定点的刚体的任意位移 等效于绕该定点的某一轴线的转动。 • 如果能寻找到轴线和旋转的角度，使原始 位置的刚体经过一次旋转就能到达指定位 置，则欧拉定理即获得证明。 • 实际上，由于原点不动，只需要本体坐标 的x轴单位向量和y轴单位向量到达目标位， 刚体整个就到达目标位
欧拉定理的证明 确定旋转轴是x的垂直平分 面与yy的垂直平分面的交线。 轴上任意一点到X和x等距, 同时到y和y也等距。 图中黑的球面三角与红的球 面三角全等。因此当x转到x 时,y同时转到y。因此, 刚体通过一次旋转,到达了 指定位置。这样,描述原点 固定的刚体的状态就等价于 描述一次转动 第24次课
欧拉定理的证明 • 确定旋转轴是xx'的垂直平分 面与yy'的垂直平分面的交线。 轴上任意一点到x和x'等距， 同时到y和y'也等距。 • 图中黑的球面三角与红的球 面三角全等。因此当x转到x' 时，y也同时转到y'。因此， 刚体通过一次旋转，到达了 指定位置。这样，描述原点 固定的刚体的状态就等价于 描述一次转动。 第24次课
转动后刚体上某一点的 新位置 设e为转轴的方向向量。刚体上的任 意一点的位置r在三个方向上分解: 平行方向:r=(re)e 垂直方向:r1=r-(r:e)e=(exr)xe 速度切向:(exr)=(e×r) 在绕e轴旋转一定角度θ之后,新 位置为: r=(re)e+cos Or, +sin (exr
• 设e为转轴的方向向量。刚体上的任 意一点的位置 r 在三个方向上分解： – 平行方向： – 垂直方向： – 速度切向： • 在绕 e 轴旋转一定角度q之后，新 位置为： 转动后刚体上某一点的 新位置 ( ) cos sin q q ⊥ r r e e r e r = + + || r r e e = ( )( ) ( ) r r r e e e r e ⊥ = − = ( ) ( ) = ⊥ e r e r e r o
转动的4元数描述 也可以用4元数来表示转动。 4元数是具有实部及3个虚数单位〔,k)虚部 的4元复数,表示为: q=n+xi+yj+Zk 其中虚数自身的乘积都是-1,可代表三维空 间的三个相互垂直的方向。不同虚数相互的 乘积(这里用*表示)满足矢量叉乘的规则: i*=j米=化米k=-1 i*j=k, j*k=i, k*i=j,j*i=-k, k*j=-i, i*k
• 也可以用4元数来表示转动。 • 4元数是具有实部及3个虚数单位(i, j, k) 虚部 的4元复数，表示为： • 其中虚数自身的乘积都是-1，可代表三维空 间的三个相互垂直的方向。不同虚数相互的 乘积（这里用 * 表示）满足矢量叉乘的规则： 转动的4元数描述 1, , , , , , i i j j k k i j k j k i k i j j i k k j i i k j = = = − = = = = − = − = − q n xi yj zk = + + +
四元数的运算规则 4元数可以进行加减乘运算。由于矢量叉 乘规则,因此4元数的乘法也同样不满足 交换律。但结合律和分配律都是满足的, 可进行一般的代数运算。将4元数q写为纯 数n和矢量v两部分,运算结果为: g=n+(xi+y + zk)=n+v =n: number, (x,y,z):vector q1=h1+v1,q2=n2+v2,q=n=v q1*q2=n1n2+nv2+m2V1+1×12-v1V2,(q1*g2)=q2*q1 q1*q2-q2*q1=2V×2,V1*V2=V×V2-V1:V2
• 4元数可以进行加减乘运算。由于矢量叉 乘规则，因此4元数的乘法也同样不满足 交换律。但结合律和分配律都是满足的， 可进行一般的代数运算。将4元数q写为纯 数n和矢量v两部分，运算结果为： 四元数的运算规则 * 1 1 1 2 2 2 * * * 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) : number, ( , , ) : vector , , , ( ) 2 , q n xi yj zk n v n x y z q n v q n v q n v q q n n n v n v v v v v q q q q q q q q v v v v v v v v = + + + = + = + = + = − = + + + − = − = = −