第六章弹性力学问题求 解一二维平面问题2
第六章 弹性力学问题求 解 — 二维平面问题2
67极坐标下的平面问题的基本公式 对于边界形状关于坐标原点对称的平面问题, 用极坐标求解就简单多了。 如圆盘、圆柱和圆管等,如下图所示: 极坐标(r,6)与直角坐标(x1,x2)的关系为: 1=rcos 6, x2= rsin 6 或r=x2+x2,日=arct!
6.7 极坐标下的平面问题的基本公式
〈1>平衡方程 在物体中取如图所示的扇形微元(x3方向为单位厚度)abcd, 中心角为dB,内半径为r,外半径为r+dr。 图中所有应力分量均为正,与直角坐标中符号规定相同 2 doa 0 a+-d6 06 doe ger+ dO dore dr ore a de 66
图中所有应力分量均为正, 与直角坐标中符号规定相同
将图中所示应力乘上其作用的微分面积, 再分别投影到r和方向上 dede 在y方向: sin( ,cos(-)÷1 ×0dr)(+dr)·d·1-arr:d·1 m0)t,1(2)-omt1s(2 00 de de +oer de|·dr,1·cos Or‘a7·1·cos + f r r. dr·d6.1=0 整理得(注意分量的正负号指向r或θ的正向的定义为正): 00 6 rT 06 +fr
整理得(注意分量的正负号,指向r或 的正向的定义为正)：
在6方向 00e de de 0a+ d6·dr·1·cos 06 e:dnr·1·cOs 00r0 dr dr)(r+ar)de·1-ae·r·de.1 de de +(or+=de)·dr:1·sin(-)+ Oer. dr:1·sin 06 2 +fa·r·dr·d6·1=0 0011006e2 整理得: 0r06y +-0+f6=0 得极坐标下平面问题的平衡方程: 00,-100, 6 r 000 06 +f=0 001 dee 2 +f6 dr 0
整理得：
2>应变与位移关系 分两种位移情况讨论(其中u和v分别为径向和切向位移: , B (a)v=0 (b)u=0
分两种位移情况讨论(其中u和v分别为径向和切向位移)：
当切向位移为零时: AA= W du BB′=t+md ar CC′=t+=de 00 ut +dr-u A'B′-ABBB′-AA′ r L AB AB dr ar A'C′-AC_(r+u)de-rd AC rde 剪应变的定义(角度变化) CC'-AA' 1.u+de-u 00 au 8r2 AC rde 2r08
当切向位移为零时： 剪应变的定义(角度变化)
当径向位移为零时: AA"= 1 BB=v+=dr ar CC =v+sde B 06 0 (b)u=0 〃_A"C"-ACCC"-A"U+d- AC AC rde BB"-AAυ rO AB (“ 剪应变的定义(角度变化)
当径向位移为零时： 剪应变的定义(角度变化)
当径向位移和切向位移同时存在时 8 =8+E 于是我们得到极坐标系下应变与位移的关系 au ar 1 du u 00 十 r d0 r (上-2)
当径向位移和切向位移同时存在时： 于是我们得到极坐标系下应变与位移的关系:
3>应力协调方程 由坐标旋转公式(见讲述应力和应变时的公式): 011=Orr 8+ e sin-8-20re singcose 22= Orr sin-8+Oee cos0+ 20re sinecose 应力协调方程为 V2(1+a2)=0→V2(onr+0e)=0 这表明直角坐标下的应力协调方程 与极坐标下的应力协调方程形式完全相同
由坐标旋转公式（见讲述应力和应变时的公式）： 应力协调方程为：