第四章弹性力学的方程和一般性 原理 1.基本方程 |.|力学方程 21 0-u ax +f1=0 01200y+0x3 +f2=0 Ox℃ O L dx +f3=0 dx 0+f=0(pa2 02u i,j=1,2, 应力分量约束关系G=听
第四章 弹性力学的方程和一般性 原理 1.基本方程 1.1 力学方程
12变形方程 dx du de22063 E23 E1= 11 dx, dx3 x du u 08 2 822 dx e3= 68*8x dxa dx du, du e33= E12 0-0 0830630811= dx, dx 2 ax 06208x83 deu dx3 d., de3 d8 dx Ei.k+Eu, j=Eih j+ei,ik
1.2 变形方程
1.3本构方程(应力应变关系) iker (其中c只有21个是独立的) CL C 对各向同性介质 - uEu +ne E 2ue22+ e E U3=2A3+A E 22 1+p 31 E E 12 xov E i= 2ue,+ 108 1+ 0: E0E10
1.3 本构方程(应力应变关系) , 对各向同性介质:
2弹性力学问题的建立 未知量: 3个位移分量(u1、u2、u3) 6个应变分量 811、22、33、E23、E31、E12 6个应力分量 (1、02、O3、O2、O31、12)
2. 弹性力学问题的建立 未知量:
边界条件与对应的问题: (第一类)位移边界条件: 边界(S)上,给定其位移分量 f1(x1、x2、x3) l2=f2( x1、x、x S u3=f(x S (第二类)应力边界条件: 边界(Sn)上规定其应力矢量7 71=a11+a2O12+a3O3 72=a101+a2022+a3O23 a, a 333 T
边界条件与对应的问题: （第一类） （第二类）
般问题的边界条件都是既有位移又有应力的 混合边界条件 理论上可以求解任意形状弹性体的变形与波动问题, 或是应力场变化问题等。 但是,实际上只有少数简单的形状才有解析解。 在工程问题中, 柱体、板、薄壳等简单形状的弹性体具有重要意义 地球物理问题中 弹性全空间、半空间、平行分层半空间、球体等则是重要模型
一般问题的边界条件都是既有位移又有应力的 混合边界条件
弹性静力学问题和动力学问题的区分 静力学一般是指被研究物体受到的外力的合力为零、 所受到的外力矩的合力矩为零时, 物体处于静力平衡状态的各种问题。 弹性体上的位移场、应变场、应力场、密度场等 都只是位置坐标的函数,而不随时间变化 我们关心的是弹性体上各点元间产生相对距离变化的问题, 并不关心弹性体作为整体的运动。 所以,弹性体受到不随时间变化的体力时, 这类问题依然是弹性静力学问题。 问题分类:弹性体在重力场中自由下落? 地球自转引起的形状变化? 大地震激发起的地球自由振荡?
引起的形状变化 ? ? ? 问题分类 :
3.弹性力学问题的典型方程 〈I>以位移为未知函数的运动方程—拉梅方程 (u1,u2,u3)作为基本未知量 02u +f=0(p =2ti;+266; dxi at 将应力和应变)都用位移表示 00 1/0u;0 0x;0 (λ06n+27)= λ61+21 dx dxi 0 =6δ; dx rd. a0 ou: 0i /Ok 04 + x dx: ax 000/0u;0v4)a 0/0 0-u 0—+—+ + x +a2 =8 0 00d 82x0对 02,0)0 x.+(+p)0x tu ax2 axi axj
3. 弹性力学问题的典型方程 将应力(和应变)都用位移表示
代入力的平衡方程得: 0 000/0 0u4;\0 后+(+1)x+0x++ at dxi 0x1(: 0x;0 ox 若认为λ,μ均为常数,方程简化为: 000 02=/+(+p)ax+ax2 下标形式:pa2=+(2+01+p 拉梅方程
代入力的平衡方程得： 若认为 ， 方程简化为： 下标形式： 拉梅方程
如果边界条件给定的是应力,则转化为位移的梯度的 边界条件 T1=O101+O1202+O133 du L +Aa1+ x
如果边界条件给定的是应力，则转化为位移的梯度的 边界条件
