§26虚功方程、结构势能表达式 SW =SL(b o(d A+S,(Fy8ida4 hik 外力虚功 微元体上外力在虚变形位移上作的虚功 dm=o、dy:SE,dx+o,dx:δE,dhy+ g +=xdx In, dx ady+Iu dy. Bdx X r +—ax O、CEd4+o,OE,dA+t、Cy,dA daf o da dx Sa.dy oW,=J。y{oh 虚功方程 SW= sw? Se dx yb+14=J6 y=a+
dx x y dy y y y + yx xy dy y xy xy + dx x yx yx + dx x x x + dy X Y §2.6 虚功方程、结构势能 表达式 外力虚功 = + A T L T We d dL F d dA dA T = dx dx x dWi = x dy x dx + y dx y dy + 微元体上外力在虚变形位移上作的虚功 dy dy y xy = + xydx dy + yxdy dx = x x dA+ y y dA+ xy xydA W dA A T i = ddL F ddA dA T A A T L T + = 虚功方程: We = Wi
§26虚功方程、结构势能表达式 外力势能 =-(,y比+Fy(4) 应变能 e=Lead 结构势能 En=。+
§2.6 虚功方程、结构势能 表达式 外力势能 = − + A T L T VP ( d dL F d dA) * 应变能 V dA A T e = 2 1 EP =VP +Ve * 结构势能: = − − A T L T T A dA d dL F d dA 2 1
§3平面问题的有限元分析 531常应变三角形单元 离散化 y 水坝 单元编码 结点编码 整体编码 结点位移编码 单元分析 单元结点编码(局部编码)按逆时针顺序排序 6} (i,j, k k个k(x,yk) 个y ={6}}单元结点位移向量 (x2,y2
§3.1 常应变三角形单元 §3 平面问题的有限元分析 x y 水坝 单元编码 结点编码 结点位移编码 整体编码 一.离散化 二.单元分析 x y ( , ) i i i x y ( , ) j j j x y ( , ) k k k x y 单元结点编码(局部编码)按逆时针顺序排序 (i, j, k) v u i i i = i u i v k u k v j v j u = k j i e 单元结点位移向量
F F={P}}单元结点力向量 F F F 单元体积力向量 by FJ 单元边界外力向量 二.单元分析 单元结点编码(局部编码)按逆时针顺序排序 (i,j, k k(x,yi) 个y ={6}}单元结点位移向量 (x2,y2
x y ( , ) i i i x y ( , ) j j j x y ( , ) k k k x y i u i v k u k v j v j u 二.单元分析 单元结点编码(局部编码)按逆时针顺序排序 (i, j, k) v u i i i = = k j i e 单元结点位移向量 = k j i e F F F (i, j, k) F 单元结点力向量 F F F yi xi i = = by bx b F F F Fbx Fby 单元体积力向量 = sy sx s F F F 单元边界外力向量
1.单元位移 其中 三角形面积 设单元内位移为 =2△ u(x, y)=d+a,x+a,y k 人 V(x,y)=a4+asx+ay u 在单元结点处有 u(x y L 代入上式,得 k k l1=c1+2x1+a2y u =a,+ax: ta,y k个k(x,yk) uk =a+a,xk tasK k ixi,y 解方程,得 个y b D D (x2,y2 X
x y ( , ) i i i x y ( , ) j j j x y ( , ) k k k x y i u i v k u k v j v j u 1.单元位移 代入上式,得 v x y x y u x y x y 4 5 6 1 2 3 ( , ) ( , ) = + + = + + Fbx Fby 设单元内位移为 k k k j j j i i i u x y u u x y u u x y u = = = ( , ) ( , ) ( , ) 在单元结点处有 k k k j j j i i i u x y u x y u x y 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = + + = + + = + + 解方程,得 D D D D D D 3 3 2 2 1 1 = ; = ; = 其中 = = 2 1 1 1 k k j j i i x y x y x y D 三角形面积 k k k j j j i i i u x y u x y u x y D1 = k k j j i i u y u y u y D 1 1 1 2 = k k j j i i x u x u x u D 1 1 1 3 =
其中 三角形面积 1.单元位移 设单元内位移为 =2△ u(x, y)=d+a,x+a,y k 人 V(x,y)=a4+asx+ay u 在单元结点处有 u(x y L 代入上式,得 k k l1=c1+2x1+a2y 整理后,得 (a, u, +a, u,+aruk) 2△ u =a,+ax: ta,y 2A(b, u,+bu, +buk uk =a+a,xk tasK 2△c4+c1+cklk) 解方程,得 其中 x (i→j>k->i) D D C k
1.单元位移 代入上式,得 v x y x y u x y x y 4 5 6 1 2 3 ( , ) ( , ) = + + = + + 设单元内位移为 k k k j j j i i i u x y u u x y u u x y u = = = ( , ) ( , ) ( , ) 在单元结点处有 k k k j j j i i i u x y u x y u x y 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = + + = + + = + + 解方程,得 D D D D D D 3 3 2 2 1 1 = ; = ; = 其中 = = 2 1 1 1 k k j j i i x y x y x y D 三角形面积 k k k j j j i i i u x y u x y u x y D1 = k k j j i i u y u y u y D 1 1 1 2 = k k j j i i x u x u x u D 1 1 1 3 = ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 3 2 1 i i j j k k i i j j k k i i j j k k c u c u c u b u b u b u a u a u a u + + = + + = + + = 其中 整理后,得 i k j i j k i j k k j c x x b y y i j k i a x y x y = − = − → → → = − ( )
1.单元位移 u(x, y)=a+a,x+a,y 2△ (a4+a0+a4)+(b4+b1+b4)x+(c+cl+C4 2△ 2△ Nu..tnu 其中N_1 (a,+bx+cy 2 同理v(x,y)=NV+N+Nkvk 整理后,得 (a, u, +a, u,+aruk) 2△ (b1+b,11+bk) 2△ 2△c4+c1+cklk) 其中a1=x1yk-xky (i→j>k->i) C k
1.单元位移 a u a u a u b u b u b u x c u c u c u y u x y x y i i j j k k i i j j k k i i j j k k ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( , ) 1 2 3 + + + + + + + + = = + + ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 3 2 1 i i j j k k i i j j k k i i j j k k c u c u c u b u b u b u a u a u a u + + = + + = + + = 其中 整理后,得 i k j i j k i j k k j c x x b y y i j k i a x y x y = − = − → → → = − ( ) = Ni ui + N j u j + Nk uk 其中 ( ) ( , , ) 2 1 N a b x c y i j k i i + i + i = 同理 i i j j k k v(x, y) = N v + N v + N v
1.单元位移 u(x, y)=a+a,x+a,y 2△ (a4+a0+a4)+(b4+b1+b4)x+(c+cl+C4 2△ 2△ Nu..tnu 其中N_1 (a,+bx+cy 2 同理v(x,y)=Nv+N"+Nkk }=「N0N0N01 0N.0N.:0N x,[[N] INIS [N]-形函数矩阵N(x,y)--形函数
e k k j j i i i j k i j k v u v u v u N N N N N N v u d = = 0 0 0 0 0 0 1.单元位移 a u a u a u b u b u b u x c u c u c u y u x y x y i i j j k k i i j j k k i i j j k k ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( , ) 1 2 3 + + + + + + + + = = + + = Ni ui + N j u j + Nk uk 其中 ( ) ( , , ) 2 1 N a b x c y i j k i i + i + i = 同理 i i j j k k v(x, y) = N v + N v + N v e k j i i j Nk I N I N I = e = N N ---形函数矩阵 N (x, y) i ---形函数
k 2.形函数的性质 若l1=1;v 0 则(x,y)=N(x,y) ①.N(x,y)=1;N2(x,y)=N(xk,yk)=04=1 2. N(x,y)+N (x, y)+NK(x,y)=l 若 则(x,y )=N,+N,+N k N,0:N:0:N,0 0N,0N0N4 x,[[N] INIS [N]-形函数矩阵N(x,y)--形函数
e k k j j i i i j k i j k v u v u v u N N N N N N v u d = = 0 0 0 0 0 0 2.形函数的性质 e k j i i j Nk I N I N I = e = N N ---形函数矩阵 N (x, y) i ---形函数 若 ui =1;vi = u j = vj = uk = vk = 0 u(x, y) N (x, y) 则 = i i j k =1 i u ①. Ni (xi , yi ) =1;Ni (xj , y j ) = Ni (xk , yk ) = 0 ②. Ni (x, y) + Nj (x, y) + Nk (x, y) =1 若 ui = u j = uk =1 Ni N j Nk 则 u(x, y) = + +
k 2.形函数的性质 若l1=1;v 0 则(x,y)=N(x,y) ①.N(x2y1)=1,N(x2y)=N1(xk2yk)=0 2. N(x, y)+N,(x,y)+NK(x,y)=1 D=1 若 则(x,y )=N,+N,+N k di yi u(x,y)=a,+a2x+a,y ×C D xty D,=DD2=D2=0 由此可知:所设位移可反应单元的刚体位移.D3
2.形函数的性质 若 ui =1;vi = u j = vj = uk = vk = 0 u(x, y) N (x, y) 则 = i i j k =1 i u ①. Ni (xi , yi ) =1;Ni (xj , y j ) = Ni (xk , yk ) = 0 ②. Ni (x, y) + Nj (x, y) + Nk (x, y) =1 若 ui = u j = uk =1 Ni N j Nk 则 u(x, y) = + + u x y x y 1 2 3 ( , ) = + + y D D x D D D D1 2 3 = + + k k j j i i x y x y x y D 1 1 1 = k k k j j j i i i u x y u x y u x y D1 = k k j j i i u y u y u y D 1 1 1 2 = k k j j i i x u x u x u D 1 1 1 3 = D1 = D;D2 = D3 = 0 u(x, y) =1 由此可知:所设位移可反应单元的刚体位移
