《有限单元法初步》PPT教学课件：§1 杆系结构的有限单元法 第一章 §1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元（自由式单元）的单元分析

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元的单元分析 q1(x) e EA X } 单元杆F单元杆 端力F 端位移 v(X 、确定形函数 x 、广义坐标法 u(x 设单元内任一点位移为 (x)=1+a2x v(0)=82w()=85 (x)=P+B2x+B3x+B4x e(0) e() 任一截面转角为 a1 0 6(x)==+B2+2B3x+364x dx

                    = e e e e e e e 6 5 4 3 2 1        §1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 3 4 2 1 2 3 1 2 ( ) ( ) v x x x x u x x       = + + + = + 设单元内任一点位移为 E,A, I , l x e F1 F2 2 1 F5 F4 F3 F6 q (x) x q (x) y x y 1 2 e  1 e  2 e  3 e e  5  4 e  6                     = e e e e e e e F F F F F F F 6 5 4 3 2 1 单元杆 端力 单元杆 端位移 一、确定形函数 x u (x) v(x)  1、广义坐标法 3 6 2 5 1 4 (0) ( ) (0) ( ) (0) ( )         = = = = = = l v v l u u l 2 2 2 3 3 4 ( ) x x dx dv  x = = + +  +  任一截面转角为             − =       2 1 2 1 1/ 1/ 1 0     l l

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元的单元分析 00016 q1(x) F EA X 3/72-2/l3/2-1/l B4JL 2/71/72 -2/721/78 (x)=N11+N2O2 v(x)=n202+N3O3+NSS5+N606 Se v(X 、确定形函数 x 、广义坐标法 u(x 设单元内任一点位移为 (x)=1+a2x v(0)=82w()=85 (x)=P+B2x+B3x+B4x e(0) e() 任一截面转角为 a1 0 6(x)==+B2+2B3x+364x dx

§1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析                           − − − − =               6 5 3 2 3 2 3 3 2 2 4 3 2 1 2 / 1/ 2 / 1/ 3/ 2 / 3/ 1/ 0 1 0 0 1 0 0 0         l l l l l l l l 2 2 3 3 5 5 6 6 1 1 2 2 ( ) ( )       v x N N N N u x N N = + + + = + E,A, I , l x e F1 F2 2 1 F5 F4 F3 F6 q (x) x q (x) y x y 1 2 e  1 e  2 e  3 e e  5  4 e  6 x u (x) v(x)  3 6 2 5 1 4 (0) ( ) (0) ( ) (0) ( )         = = = = = = l v v l u u l             − =       2 1 2 1 1/ 1/ 1 0     l l 3 4 2 1 2 3 1 2 ( ) ( ) v x x x x u x x       = + + + = + 设单元内任一点位移为 一、确定形函数 1、广义坐标法 任一截面转角为 2 2 2 3 3 4 ( ) x x dx dv  x = = + +  + 

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元的单元分析 00016 q1(x) F EA X 3/72-2/l3/2-1/l BL2/P1/P2-2/P1/P (x)=M11+N2O2 v(x)=n202+N3O3+NSS5+N606 Se v(X x N2=1-322+25 u(x N3=l5-212+l2 ()=6 e(0) e() l22+l5 a1 0 N30N5

§1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析                           − − − − =               6 5 3 2 3 2 3 3 2 2 4 3 2 1 2 / 1/ 2 / 1/ 3/ 2 / 3/ 1/ 0 1 0 0 1 0 0 0         l l l l l l l l 2 2 3 3 5 5 6 6 1 1 2 2 ( ) ( )       v x N N N N u x N N = + + + = + 2 3 6 2 3 5 4 2 3 3 2 3 2 1 3 2 2 1 3 2 1            N l l N N N l l l N N = − + = − = = − + = − + = −                   =       = 6 1 2 3 5 6 1 4 0 0 0 0 0 0    N N N N N N v u d E,A, I , l x e F1 F2 2 1 F5 F4 F3 F6 q (x) x q (x) y x y 1 2 e  1 e  2 e  3 e e  5  4 e  6 x u (x) v(x)  3 6 2 5 1 4 (0) ( ) (0) ( ) (0) ( )         = = = = = = l v v l u u l             − =       2 1 2 1 1/ 1/ 1 0     l l

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元的单元分析 00016 q1(x) F EA X 3/72-2/l3/2-1/l B4JL 2/71/72 -2/721/78 (x)=M11+N2O2 v(x)=n202+N3O3+NSS5+N606 Se v(X x N2=1-322+25 u(x N3=l5-212+l2 WNIo l22+l5 N30N5

§1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 E,A, I , l x e F1 F2 2 1 F5 F4 F3 F6 q (x) x q (x) y x y 1 2 e  1 e  2 e  3 e e  5  4 e  6 x u (x) v(x)                            − − − − =               6 5 3 2 3 2 3 3 2 2 4 3 2 1 2 / 1/ 2 / 1/ 3/ 2 / 3/ 1/ 0 1 0 0 1 0 0 0         l l l l l l l l 2 2 3 3 5 5 6 6 1 1 2 2 ( ) ( )       v x N N N N u x N N = + + + = + 2 3 6 2 3 5 4 2 3 3 2 3 2 1 3 2 2 1 3 2 1            N l l N N N l l l N N = − + = − = = − + = − + = −                   =       = 6 1 2 3 5 6 1 4 0 0 0 0 0 0    N N N N N N v u d                  = 2 1 1 2   d N N               =           = 6 5 4 2 3 2 1 1            e = N 

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元的单元分析 q1(x) F 0N,N2 0N、N EA X N1为发生D=1,=0(=1…6:j≠ 杆端位移时,杆中位移。如: N2为发生62=1,61=63=64=65=86=0 v(X 杆端位移时,杆中竖向位移。 x u(x Nx)?3=1N3(x) WNIo N(0)=?N(1)=? N30N5

§1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析                   =       = 6 1 2 3 5 6 1 4 0 0 0 0 0 0    N N N N N N v u d E,A, I , l x e F1 F2 2 1 F5 F4 F3 F6 q (x) x q (x) y x y 1 2 e  1 e  2 e  3 e e  5  4 e  6 x u (x) v(x)                   = 2 1 1 2   d N N               =           = 6 5 4 2 3 2 1 1            e = N            =       = 5 6 4 2 2 3 1 1 0 0 0 0 0 0 N N N N N N N N Ni 为发生 1, 0( j 1, 6; j i)  i =  j = =   杆端位移时,杆中位移。如： N2 为发生 1, 0  2 =  1 =  3 =  4 =  5 =  6 = 杆端位移时,杆中竖向位移。 1  2 = ( ) 2 N x x ( )? 3 N x x 1  3 = ( ) 3 N x (0) = ? (1) = ? Ni Ni

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元的单元分析 q1(x) F 0N,N2 0N、N EA X N1为发生D=1,=0(=1…6:j≠ 杆端位移时,杆中位移。如: N2为发生62=1,61=63=64=65=86=0 v(X 杆端位移时,杆中竖向位移。 x u(x Nx)?3=1N3(x) N(0)=1N()=0N(0)=0N4(1)=1 0)=1M2(U)=0N0)=0N5()=1 N30)=0N3()=0N60)=0N6()=0 N(0)=?N(1)=? N30N5

§1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 E,A, I , l x e F1 F2 2 1 F5 F4 F3 F6 q (x) x q (x) y x y 1 2 e  1 e  2 e  3 e e  5  4 e  6 x u (x) v(x)                    =       = 6 1 2 3 5 6 1 4 0 0 0 0 0 0    N N N N N N v u d           =       = 5 6 4 2 2 3 1 1 0 0 0 0 0 0 N N N N N N N N Ni 为发生 1, 0( j 1, 6; j i)  i =  j = =   杆端位移时,杆中位移。如： N2 为发生 1, 0  2 =  1 =  3 =  4 =  5 =  6 = 杆端位移时,杆中竖向位移。 1  2 = ( ) 2 N x x ( )? 3 N x x 1  3 = ( ) 3 N x (0) = ? (1) = ? Ni Ni (0) 0 (1) 0 (0) 0 (1) 0 (0) 1 (1) 0 (0) 0 (1) 1 (0) 1 (1) 0 (0) 0 (1) 1 3 3 6 6 2 2 5 5 1 1 4 4 = = = = = = = = = = = = N N N N N N N N N N N N

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元的单元分析 、确定形函数 f(1)+(1-1)f(1),=0 2、试凑法 dx 利用形函数的性质建立形函数矩阵f()=(1-5)g() (1)确定N1() N2=(1-5)2g() 由5=1,M=0可设 dw (1-5)g(2)+(1-)2g(2) (1-5)f(2) dx 由5=0,N1=1可知 dx =-1(-0g(0+0-0)2g(0,7=0 f()=1 2 所以 g(0)+g(0)·=0 (2)确定N2(5) N2(O)=g(0)=1 由5=1,N2=0可设 g(0)=2g(5)=1+25 N2=(1-f() N2(5)=(1-5)(1+25)=1-352+25 a5=0dN2l0=0 dx N(0)=1M(l)=0N4(0)=0N()=1 N20)=1M2)=0N0)=0N()=1 2=-f(5)+(1-5)f dx

§1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 一、确定形函数 2、试凑法 利用形函数的性质建立形函数矩阵 (1)确定 ( ) 1 N  1, 0 由  = N1 = 可设 (1 ) ( ) N1 = − f  由  = 0,N1 =1 可知 f ( ) =1 所以 N1 =1− (2)确定 ( ) 2 N  由  =1,N2 = 0 可设 (1 ) ( ) N2 = − f  0; 0 0 2 1 2  = =  = = dx dN dx dN l f f dx l dN 1 ( ) (1 ) 1 2 = −  + −  0 1 (1) (1 1) (1) 1 1 2 = = − + −  = l f f dx l dN  f ( ) = (1− )g( ) (1 ) ( ) 2 N2 = − g  l g g dx l dN 1 (1 ) ( ) (1 ) ( ) 2 2 2 = − −  + −    (0) 0 (1) 0 (0) 0 (1) 0 (0) 1 (1) 0 (0) 0 (1) 1 (0) 1 (1) 0 (0) 0 (1) 1 3 3 6 6 2 2 5 5 1 1 4 4 = = = = = = = = = = = = N N N N N N N N N N N N 0 1 (1 0) (0) (1 0) (0) 2 2 0 2 = = − − + −   = l g g dx l dN  0 1 (0) (0) 2 − +   = l g g l (0) (0) 1 N2 = g = g (0) = 2 g( ) =1+ 2 2 2 3 2 N () = (1−) (1+ 2) =1−3 + 2

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元的单元分析 、确定形函数{}=[N]l5} 4ⅢNl[N]] 二、确定应变矩阵(建立几何方程) au ⅡA^][Ax]2] dx IBl Bkl K BI=AINI 0 03 dx N 00 2 O NN [INl}=[1} 0 0 0-6/12+125/12-4/l+65/1 微分算子矩阵 0 1/l 0 06/12-125/-2/+6/7 [B]=[A4I]

§1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 一、确定形函数 二、确定应变矩阵(建立几何方程)               =       = 2 2 dx d v dx du x x                      = v u dx d dx d 2 2 0 0          e N N dx d dx d                   = 2 1 1 2 2 2 0 0       e = A N     e = B                = 2 2 0 0 dx d dx d A 微分算子矩阵 B= AN = AN1 N2  = AN1 AN2  = B1 B2       B 1 = A N 1                   = 2 3 1 2 2 0 0 0 0 0 N N N dx d dx d       − + − + − = l l l l l 0 6 / 12 / 4 / 6 / 1/ 0 0 2 2           − − + = l l l l l B 0 6 / 12 / 2 / 6 / 1/ 0 0 2 2 2        e d = N 

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元的单元分析 、确定形函数{}=[N]l5} q1(x) 二、确定应变矩阵(建立几何方程) 或或、或JJ s}=[B EA X 三、确定弹性矩阵(建立物理方程) y。δ N= EA8 x物理方程 M= ElK v(X Nx)「EA01 x M(x)0 EI k u(x 66 [DIBJ o=6(/)+s(dy lg(a)dx EA 0 弹性矩阵 j q2(x) O El 四、确定单刚和单元等效结点荷载硎=6{+6Nx (建立平衡方程 (+y(x))

§1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 一、确定形函数 二、确定应变矩阵(建立几何方程)             =       x x EI EA M x N x   0 0 ( ) ( )      e  = B          = EI EA D 0 0 弹性矩阵 三、确定弹性矩阵(建立物理方程) x x M EI N EA   = = 物理方程      e d = N      e = D B  四、确定单刚和单元等效结点荷载 (建立平衡方程) E,A, I , l x e F1 F2 2 1 F5 F4 F3 F6 q (x) x q (x) y x y 1 2 e  1 e  2 e  3 e e  5  4 e  6 x u (x) v(x)   1  2  3          = + l e T Te We F d q x dx 0     ( )         = ( ) ( ) ( ) q x q x q x y x            = + l e T T Te We F N q x dx 0      ( )   (     ( ) ) 0 = + l e T Te   F N q x dx

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元的单元分析 =}=[Bls} N(r) q1(x) DIBNS) 或或、或JJ EA X SW= NSax+ MSkdx y so da N 0 dEy v(X =}[B[D1 e6g4) x u(x ={8[BDIx25 e66 V.= y=6+o((x δ}[DIk j q2(x) =65({5+N(x)) =68+。yNy(x)

§1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析     e D B M x N x =        ( ) ( )      e  = B  E,A, I , l x e F1 F2 2 1 F5 F4 F3 F6 q (x) x q (x) y x y 1 2 e  1 e  2 e  3 e e  5  4 e  6 x u (x) v(x)   1  2  3          = + l e e T We F d q x dx 0     ( )         = ( ) ( ) ( ) q x q x q x y x            = + l e T T Te We F N q x dx 0      ( )   (     ( ) ) 0 = + l e T Te   F N q x dx   = + l l Wi N dx M dx 0 0      dx M l N T y x              = 0       B DB  dx l T e Te  = 0              = l T e Te B D B dx 0    Wi = We           = l T e Te B D B dx 0      (     ( ) ) 0 = + l e T Te   F N q x dx        + l e T F N q x dx 0        = ( )  l T e B D B dx 0 