材料力学(乙) 第五章基本变形(4):穹曲(4) 赵济 浙江大学交叉力学中心 浙江大学工程力学条 2019年4月29日
赵 沛 浙江大学交叉力学中心 浙江大学工程力学系 2019年4月29日 第五章 基本变形（4）：弯曲（4）
520弯曲切应力(54) 1、横截面切应力的普适表达式 两个假设 (1)横截面上各点切应力与剪力平行(∥F); (2)切应力沿截面宽度均匀分布。 (即与中性轴等距离处剪应力相等) M:O F:F分τ?
两个假设 （2）切应力沿截面宽度均匀分布。 （即与中性轴等距离处剪应力相等） （1）横截面上各点切应力与剪力平行 ( // ) F s ； = M y Iz F s ？ M： FS： z y dx 1、横截面切应力的普适表达式 5.20 弯曲切应力（5.4）
520弯曲切应力(54) 1、横截面切应力的普适表达式 分析方法 (1)用横截面m-m,n从梁中截取dx-段。两横截面上 的弯矩不等,所以两截面同一y处的正应力也不等 b
5.20 弯曲切应力（5.4） （1）用横截面m-m, n-n从梁中截取dx一段。两横截面上 的弯矩不等，所以两截面同一y处的正应力也不等。 q(x) F1 F2 m m n n x dx b h 分析方法 1、横截面切应力的普适表达式
520弯曲切应力(54) 1、横截面切应力的普适表达式 分析方法 (2)假想地从梁段上截出体积元素mB1,在两端面mA1, nB1上两个法向内力不等 B x N2 B dx
5.20 弯曲切应力（5.4） 分析方法 （2）假想地从梁段上截出体积元素mB1，在两端面mA1， nB1上两个法向内力不等。 m n m x y z O b dx h n y A B A1 B1 A B B1 A1 m n x z y y FN1 FN2 q(x) F1 F2 m m n n x dx 1、横截面切应力的普适表达式
520弯曲切应力(54) 1、矩形截面梁的切应力 分析方法 (3)在纵截面上有沿x方向切向内力dFs',故在此面上就 有切应力r。 B FN2
1、矩形截面梁的切应力 5.20 弯曲切应力（5.4） 分析方法 （3）在纵截面上有沿x方向切向内力dFs’，故在此面上就 有切应力τ’。 A B B1 A1 m n x z y y FN1 FN2 dFS ’
520弯曲切应力(54) 1、矩形截面梁的切应力 分析方法 4)根据假设,横截面上 距中性轴等远的各点处切应 力大小相等。各点的切应力 B 方向均与截面侧边平行,取 B 分离体的平衡即可求出 b d
1 、矩形截面梁的切应力 5.20 弯曲切应力（5.4 ） 分析方法 （4）根据假设 ，横截面上 距中性轴等远的各点处切应 力大小相等 。各点的切应力 方向均与截面侧边平行 ， 取 分离体的平衡即可求出 。 mm n x y z o y A B A 1 B 1 b dx m ’ m ’ h n τ τ ’
520弯曲切应力(54) 1、矩形截面梁的切应力 公式推导 x (1)假设m-m,n-n上弯 矩为M和M+dM。两截面 上距中性轴y处的dA的正 NI B 应力为σ和a2。 R,dA R,dA y m My M M ∮*为距中性轴为ν的横线以外部分的横截面面积 式中:S=J,y4为面积A*对中性轴的静矩
1、矩形截面梁的切应力 5.20 弯曲切应力（5.4） 公式推导 （1）假设m-m，n-n上弯 矩为M和M+dM。两截面 上距中性轴y1处的dA的正 应力为1和2。 A B B1 A1 m n x z y y m’ FN1 FN2 dFS ’ 1dA = * A FN1 σ1 dA y dA I M dA I My * * A A = = 1 z z 1 * S I M z z = A*为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积 式中： = * 为面积A*对中性轴的静矩。 A * Sz y1 dA
520弯曲切应力(54) 1、矩形截面梁的切应力 公式推导 x (1)假设m-m,n-n上弯 矩为M和M+dM。两截面 上距中性轴y处的dA的正 NI B 应力为σ和a2。 R,dA y m M+dM A*为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积 式中:S=J,y4为面积A*对中性轴的静矩
1、矩形截面梁的切应力 5.20 弯曲切应力（5.4） 公式推导 （1）假设m-m，n-n上弯 矩为M和M+dM。两截面 上距中性轴y1处的dA的正 应力为1和2。 A B B1 A1 m n x z y y m’ FN1 FN2 dFS ’ 1dA A*为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积 式中： = * 为面积A*对中性轴的静矩。 A * Sz y1 dA * A S I M dM F * σ dA z z N2 2 + = =
520弯曲切应力(54) 1、矩形截面梁的切应力 公式推导 x (2)F NI mtdM NI B R,dA dF=t bdx y m 由平衡方程∑F=0 fu-df.=o
1、矩形截面梁的切应力 5.20 弯曲切应力（5.4） 公式推导 （2） A B B1 A1 m n x z y y m’ FN1 FN2 dFS ’ 1dA * S I M F z z N1 = * S I M dM F z z N2 + = dF τ bdx ' ' S = 由平衡方程 Fx = 0 N2 − N1 − S = 0 ' F F dF
520弯曲切应力(54) 1、矩形截面梁的切应力 公式推导 x (2)化简后得 × B dx , b R,dA dm y m FS b
1、矩形截面梁的切应力 5.20 弯曲切应力（5.4） 公式推导 （2） A B B1 A1 m n x z y y m’ FN1 FN2 dFS ’ 1dA 化简后得 ， I b S dx dM τ * z z = FS dx dM = I b F S τ z S * z =