材料力学(乙) 第八章能量法(2) 赵济 浙江大学交叉力学中心 浙江大学工程力学条 2019年5月21日
赵 沛 浙江大学交叉力学中心 浙江大学工程力学系 2019年5月21日 第八章 能量法（2）
重要基本概念的回顾与强化 1、能量方法、功能原理 v=w 2、轴向拉压的应变能 V=W=F!I F =A/=E △ 2EA 2 2 3、扭转的应变能 171T2lG, W=-To 2 G 2G1 2
重要基本概念的回顾与强化 1、能量方法、功能原理 2、轴向拉压的应变能 Vε = W 3、扭转的应变能 2 1 1 2 2 2 2 2 p p p Tl T l GI V W T T GI GI l = = = = = 2 2 F l V W EA = = 2 F = l 2 2 EA l l =
重要基本概念的回顾与强化 4、纯弯曲的应变能 M MI El =W=-M=-M 2E2E27 5、横力弯曲的应变能 M(x)dx °02E(x) 6、组合变形的应变能 FN(x)dx lT(x)dx, r M(x)dx 0 2EA(x) J0 2Gl,(x)J0 2EI(x)
重要基本概念的回顾与强化 4、纯弯曲的应变能 2 1 1 2 2 2 2 2 z z z Ml M l EI V W M M EI EI l = = = = = 2 0 ( ) 2 ( ) l M x dx V EI x = 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) l l l N p F x dx T x dx M x dx V EA x GI x EI x = + + 5、横力弯曲的应变能 6、组合变形的应变能
重要基本概念的回顾与强化 7、总结 功 应变 应变 正应力 2E E oEet 能密度 切应力 G 力 2功 1 G 变形 拉压 V=2EA V=5F△v=EA △P 应变能 扭转 2G/ 弯曲 M El Ve 2EI VE=2Me 6=27 仅适用于满足胡克定律的线性情况,其他形式需要求积分V=W=」「Fd△
7、总结 应变 能密度 应力 功 应变 正应力 切应力 应变能 力 功 变形 拉压 扭转 弯曲 仅适用于满足胡克定律的线性情况，其他形式需要求积分 重要基本概念的回顾与强化
重要基本概念的回顾与强化 8、应变能的普遍表达式 v=5(F,+F22+F3) 克拉贝依隆原理(只限于线性结构) 9、功的互等定理 F161+F202=F303+F40 10、位移互等定理 61′=0
克拉贝依隆原理（只限于线性结构） 8、应变能的普遍表达式 9、功的互等定理 10、位移互等定理 重要基本概念的回顾与强化
第八章 能量法(2)
第八章 能量法（2）
84卡氏第一定理(135) 1、概述 阿尔伯托卡斯蒂利亚诺(意大利工 程师,1847~1884)导出了用于计 算弹性杆件力和位移的两个定理 卡氏第一定理 (求力,弹性变形) 卡氏第二定理 (求位移,线弹性变形
1、概述 8.4 卡氏第一定理（13.5） 阿尔伯托·卡斯蒂利亚诺（意大利工 程师, 1847～1884）导出了用于计 算弹性杆件力和位移的两个定理： 卡氏第一定理 卡氏第二定理 （求力，弹性变形） （求位移，线弹性变形）
84卡氏第一定理(135) 2、推导 图示梁(材料为线性,也可为非线性) 作用n个集中载荷F(=1,2.n), 相应位移为△(=1,2.n)
2、推导 8.4 卡氏第一定理（13.5） 图示梁（材料为线性，也可为非线性） 作用n个集中载荷Fi (i=1, 2…n)， 相应位移为Δi (i=1, 2…n) F1 F2 Fi F n 1 2 i n
84卡氏第一定理(135) 2、推导 图示梁(材料为线性,也可为非线性) 作用n个集中载荷F(=1,2.n), 相应位移为△(=1,2.n) F引起的应变能: do Vei=W=f,d& 第个载荷的F-Δ变化曲线
2、推导 8.4 卡氏第一定理（13.5） 图示梁（材料为线性，也可为非线性） 作用n个集中载荷Fi (i=1, 2…n)， 相应位移为Δi (i=1, 2…n) Fi 第i个载荷的F-Δ变化曲线 Fi O i f δi Δi i Fi引起的应变能： V W i i = = Δ 0 d i i i f dδi
84卡氏第一定理(135) 2、推导 图示梁(材料为线性,也可为非线性) 作用n个集中载荷F(=1,2.n), 相应位移为△(=1,2.n) F引起的应变能: 梁内的总应变能 Vei=W=f,d8, V W=2 fdo
2、推导 8.4 卡氏第一定理（13.5） 梁内的总应变能： V W = = 1 n i= Δ 0 d i i i f 图示梁（材料为线性，也可为非线性） 作用n个集中载荷Fi (i=1, 2…n)， 相应位移为Δi (i=1, 2…n) F1 F2 Fi F n 1 2 i n Fi引起的应变能： V W i i = = Δ 0 d i i i f