五.采用面积坐标时的单元分析 1.面积坐标 MPik △Pjk 三角形单元中任一点P可用直角坐标(x,y表示。 连Pi、Pj、Pk,则可得三个小三角形。它们和 △Pii 大三角形△123的面积比,记作 L;=△Pjk/△ijk L=△Pik/△ijk 面积坐标 Lk=△Pij/△ijk 由于L1+L+Lk=1,只有两个是独立的。 三角形中任一点P的位置可用面积坐标L、L;确定。 当P点在结点时=k=0,L1=1。余类推。 L+;+Lk=1 可见面积坐标具有“形函数”的性质
五.采用面积坐标时的单元分析 j i k y x P 1 .面积坐标 三角形单元中任一点P 可用直角坐标 (x , y)表示。 连P i、 P j、 P k，则可得三个小三角形。它们和 大三角形123的面积比，记作 Pij Pik Pjk L i= P jk/ ijk L j= P ik/ ijk L k= P ij/ ijk 面积坐标 由于 L i+ L j + L k = 1，只有两个是独立的。 三角形中任一点P 的位置可用面积坐标Li、 L j 确定。 当P 点在i结点时Lj = L k= 0， L i= 1。余类推。 可见面积坐标具有“形函数”的性质。 L i+ L j + L k=1
五.采用面积坐标时的单元分析 2.位移模式 MPik △Pjk 由于面积坐标有形函数性质,因此根据 试凑法可得到形函数矩阵。 △Pii 形函数N=L;面积坐标 如果结点位移为l、吟(i=,j,k) 则单元位移模式(位移场)为 =ΣN;;vΣNv 面积坐标和直角坐标关系: x X J △Ppik1 2×△jk=1xy=22×△P=1x △k2△ k y k (a; +b,x+cy i,,k=1,2,3 2△ ai=x yk-yj* b=y,-yk ci x:+
五.采用面积坐标时的单元分析 j i k y x P 2 .位移模式 Pij Pik Pjk 由于面积坐标有形函数性质，因此根据 试凑法可得到形函数矩阵。 形函数 Ni=Li 面积坐标 如果结点 i 位移为ui、vi，（i=i，j，k） 则单元位移模式（位移场）为 u= Niui ； v= Nivi 面积坐标和直角坐标关系: = = 2 1 1 1 2 k k j j i i x y x y x y ijk k k i j j x y x y x y ijk Pjk L 1 1 1 2 1 = = ( y) 2 1 i i i i L a + b x + c = i j k j k a = x y − y x i j k b = y − y i j k c = −x + x i, j, k =1,2,3 k k j j x y x y x y Pjk 1 1 1 2 =
L=.(a,+bx+cy) 2△ (a; +b,x+cy) MPik △Pjk 2△ (ak+bx+cky) △Pii 2A 2△ k k k x Yk ill (a; +b,x+cy i,jk=1,2,3 2△ ai=x yk-yj* b=y,-yk ci x:+
j i k y x P Pij Pik Pjk ( y) 2 1 i i i i L a + b x + c = i j k j k a = x y − y x i j k b = y − y i j k c = −x + x i, j, k =1,2,3 ( y) 2 1 i i i i L a + b x + c = ( y) 2 1 j j j j L a + b x + c = ( y) 2 1 k k k k L a + b x + c = = y x a b c a b c a b c L L L k k k j j j i i i k j i 1 2 1 = k j i i j k i j k L L L y y y x x x y x 1 1 1 1
L=.(a,+bx+cy) 2△ (a; +b,x+cy) MPik △Pjk 2△ (ak+bx+cky) △Pii 2A C X 2△ k k k 后面的分析过程与结果与 前面广义坐标法一致 x x: x x,kL L;+L;+L=1 x=Lx:+;t L y=LiV:+ LiV;+ Lkk
j i k y x P Pij Pik Pjk ( y) 2 1 i i i i L a + b x + c = ( y) 2 1 j j j j L a + b x + c = ( y) 2 1 k k k k L a + b x + c = = y x a b c a b c a b c L L L k k k j j j i i i k j i 1 2 1 = k j i i j k i j k L L L y y y x x x y x 1 1 1 1 Li+ Lj + Lk=1 x=Lixi+ Ljxj + Lkxk y=Liyi+ Ljyj + Lkyk 后面的分析过程与结果与 前面广义坐标法一致
§3平面问题的有限元分析 531常应变三角形单元 532矩形双线性单元 离散化 水坝 i=12,3.4) 。。。。。2 F {}2 4(x4,y4) 3(x3,y3) F b 1(x1,y1) 2(x2,y2) 单元结点位移向量单元结点力向量 VI
§3.1 常应变三角形单元 §3 平面问题的有限元分析 一.离散化 ( =1,2,3,4) = i v u i i i = 4 3 2 1 e 单元结点位移向量 §3.2 矩形双线性单元 水坝 x y x y 1 2 3 4 (x1 , y1 ) a a b b (x2 , y2 ) (x3 , y3 ) (x4 , y4 ) u1 1 v = 4 3 2 1 F F F F F e 单元结点力向量
y 单元分析 4(x4,y4) 3(x3,y3) 单元位移 设单元内位移为 u(x,y)=a,+a2x+a3y+aaxy 1(x1,y1) 2(x2,y2) v( x, y)=as+asx+a,y+axy 若用广义坐标法,则与三角形单元类似的可得到 7-1=0 4(-1,1) 下面用试凑法确定形函数矩阵 3(1,1) 令5=x/a,=y/b 正则(自然) N(5,m)=1N(2n)=N53,)=N(54,7)=01(1)27410 由形函数性质 坐标系 可设N(5,7)=a(5-1(-1)同理,有 N1(-1-1)=a×4=1 (2)=(5+1)(1-m) 4 N3(5,m)=,(5+1)(1+7) N1(5,m7)=:(5-1)(7-1 N4(52m)=(1-5)(1+m)
同理,有 ( 1)(1 ) 4 1 ( , ) N2 = + − ( 1)(1 ) 4 1 ( , ) N3 = + + (1 )(1 ) 4 1 ( , ) N4 = − + 二.单元分析 若用广义坐标法,则与三角形单元类似的可得到 下面用试凑法确定形函数矩阵 1.单元位移 设单元内位移为 v x y x y x y u x y x y x y 5 6 7 8 1 2 3 4 ( , ) ( , ) = + + + = + + + e d = N x y 1 2 3 4 (x1 , y1 ) a a b b (x2 , y2 ) (x3 , y3 ) (x4 , y4 ) 4 1 2 3 (-1,-1) 1 1 1 1 (1,-1) (1,1) (-1 ,1) 令 = x / a, = y / b −1 = 0 −1 = 0 由形函数性质 ( , ) 1 N1 1 1 = ( , ) ( , ) ( , ) 0 N1 2 2 = N1 3 3 = N1 4 4 = 可设 ( , ) ( 1)( 1) N1 = − − ( 1, 1) 4 1 N1 − − = = =1/ 4 ( 1)( 1) 4 1 ( , ) N1 = − − 正则(自然) 坐标系
或(,)=(1-55)(1+mn)(i=12,34) N10:N,0:N20:N0 思考题:这种单元是收敛的单元吗?为什么? 2.单元应力与应变 7-1=0 4(-1,1) 3(1,1) 0/ax0 /a·a/a50 =00/0y=01/b。0/0n 1=0 0/00/axl/b-a/n1/a./02 1(-1,-1) 2(1 同理,有 (2)=(5+1)(1-m) 4 N3(5,m)=,(5+1)(1+7) N1(5,m7)=:(5-1)(7-1 N4(52m)=(1-5)(1+m)
( 1)( 1) 4 1 ( , ) N1 = − − 或 (1 )(1 ) ( 1,2,3,4) 4 1 Ni (,) = − i +i i = 思考题:这种单元是收敛的单元吗?为什么? 2.单元应力与应变 A d T = = = 1/ / 1/ / 0 1/ / 1/ / 0 / / 0 / / 0 b a b a y x y x A T = 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) N N N N N N N N N = N 1 N 2 N 4 同理,有 ( 1)(1 ) 4 1 ( , ) N2 = + − ( 1)(1 ) 4 1 ( , ) N3 = + + (1 )(1 ) 4 1 ( , ) N4 = − + 4 1 2 3 (-1,-1) 1 1 1 1 (1,-1) (1,1) (-1 ,1) −1 = 0 −1 = 0
或(,)=(1-55)(1+mn)(i=12,34) N10:N,0:N20:N0 0N10N20N30N4 思考题:这种单元是收敛的单元吗?为什么? 2.单元应力与应变 0/ax0 /a·a/a50 =00/0y=01/b。0/0n 0/00/axl/b-a/n1/a./02 s}=[4[N(5,n)P =[4[N[4N…by IB][B…[B1]o =BS
T e = A N(,) T T e = A N 1 A N 2 或 (1 )(1 ) ( 1,2,3,4) 4 1 Ni (,) = − i +i i = = 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) N N N N N N N N N 思考题:这种单元是收敛的单元吗?为什么? 2.单元应力与应变 A d T = = = 1/ / 1/ / 0 1/ / 1/ / 0 / / 0 / / 0 b a b a y x y x A T = N 1 N 2 N 4 e = B 1 B 2 B 4 e = B
[B=[4[N b5(1+n) 0 0 a(1+5) (i=1,2,3,4) a(1+5)b5(1+n,) 2.单元应力与应变 0/ax0 /a·a/a50 =00/0y=01/b。0/0n 0/00/axl/b-a/n1/a./02 s}=[4[N(5,n)P =[4[N[4N…by IBI Bk.Alloy 应变矩阵 =[B6
2.单元应力与应变 A d T = = = 1/ / 1/ / 0 1/ / 1/ / 0 / / 0 / / 0 b a b a y x y x A T T e = A N(,) T T e = A N 1 A N 2 e = B 1 B 2 B 4 e = B 应变矩阵 i T B i = A N ( 1,2,3,4) (1 ) (1 ) 0 (1 ) (1 ) 0 = + + + + = i a b a b i i i i i i i i
[B=[4[N b5(1+n) 0 0 a(1+5) (i=1,2,3,4) a(1+55)b5(+)应力矩阵 G}=[D DIBRO)=skSe S=IDBIDBL DBI DB]=shs) s sI 对于平面应力问题 b5;(1+m) a(1+5) E b/l5;(1+nm) a(1+55) 4ab(-2)1 a(1+55) b5;(1+n }=[4j[N(,n){y =[4[N[4N…by (i=1,2,3,4) IBI Bk.Alloy 应变矩阵 [B(
= D (i =1,2,3,4) T e = A N(,) T T e = A N 1 A N 2 e = B 1 B 2 B 4 e = B 应变矩阵 e e = D B = S 应力矩阵 S = D B 1 D B 2 D B 3 D B 4 = S 1 S 2 S 3 S 4 对于平面应力问题 + − + − + + + + − = (1 ) 2 1 (1 ) 2 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 4 (1 ) 2 i i i i i i i i i i i i i a b b a b a ab E S i T B i = A N ( 1,2,3,4) (1 ) (1 ) 0 (1 ) (1 ) 0 = + + + + = i a b a b i i i i i i i i