第六章 弹性力学问题求 解一二维平面问题1 平面应变问题 平面应力问题
第六章 弹性力学问题求 解 — 二维平面问题1
6.|平面应变问题 1、几何条件:横截面形状不变, 横截面尺度远小于与其垂直方向的尺度。 2、力学条件:体力在横截面垂直方向分力为零, 面力沿x3方向分布固定不变(即与x3无关) 3、边界条件:两端固定(可近似视为刚性固定), 端面沿x3方向位移为零,即a31端面=0。 水坝问题
6.1 平面应变问题 水坝问题
①位移场 花L1(x1,x 2(11,2 0 au: au ②应变场5y=2(a E1-0x1 i1(x1,x2),E22 0x2 E22(1,12) 1/0u10 12 0x20x1 21 1,L2 花L E33 0 E23=E32=E13=831=0 dx 6=n=1222=6(x1,x2)
③应力场=21+16 1=A+2u11=011(x1,x2) 02=6+2e22=02(x1,x2) 03=16+2423=6=v(01+022)=03(x1,x2) 12 ue 12 12(1,x 3 31 0 ④平衡方程F1+9n,=0将应力分量代 入三维方程得) 11 +F1=0 dx1 dx2 00y+0%2 22 +F2=0 ax 2
(将应力分量代 入三维方程得)
⑤协调方程Ak+EkLi=Ek,+别ik 02E10 11 E22 =2 12 ax ax 0x10x 除第一个方程外,其余五个均自动满足 可由此求得平面应变问题的应力协调方程 利用本构关系((G)形式的 6 l10 0 01 11 0 +σ E 33 1+v 11 1-n(01+02+a3) E E 记E (a11-v02 11 22 v E 22 便于和平面应力对比
可由此求得 便于和平面应力对比
得 E1 (a1 同理可得 e11=r(011-v02) 注意到: 22 v01 1+v 1+v 11 1 1 E E 12 012 E 12 E 12 0 0 0 代入应变的协调方程 2 0x10x 得 1 11 22 v 2(1+y) 12 ax ax2 ax 0 0x10x
注意到: 代入应变的协调方程 得
对两个力的平衡方程分别作x和x2,并相加得 02612-= 020110202.0F1,OF2 2 dxrd ax 2+2+0x1 2 代入应变协调方程得 2 0F10F (a5+ )(01+02)=-(1+v)( 0x10x 记2=02,a2 2+为二维拉氏算符 af, aF V2(G1+a2)=-(1+v)(x+ 0x1x2 最终得平面应变问题的应力协调方程
代入应变协调方程得: 最终得平面应变问题的应力协调方程 对两个力的平衡方程分别作 和 , 并相加得
因此使用应力为未知数表达的平面应变问题的基本方程为: 0σ1 11 0012+F ax. 0021,002 +F2=0 0x10x2 0F10F 2(a1+a22)=-(1+v)(x+ 0x10x2 求出叮1,0.再利用33=v(1+02)3 ⑥边界条件 在侧面边界上:n=(n1,n2,0) 1111 (叮1,02,03)是给定的应力矢量的边界条件 21n1+0212=02 0 01=02=0 在端面边界上:n=(0,0,±1) n303=±v(011+02) 方程加边界条件构成平面应变的定解问题
因此使用应力为未知数表达的平面应变问题的基本方程为： 求出 后再利用 得 方程加边界条件构成平面应变的定解问题
62平面应力问题 1、几何条件:横截面尺寸L远大于板的厚度2h, 且板厚均匀。 2、力学条件:体力与x3无关(即体力沿厚度方向不变), 且没有沿x3方向的体力分力。 所受面力均匀分布在侧面上,且与x3轴垂直。 俯视图 侧视图
6.2 平面应力问题
3、边界条件:与0x1x2坐标平面平行的两个端面上不受外力 由静力边界条件: 0 =(00,±1) 可知,在两个端面上有a13=023=033=0 几何条件正好相反 平面应力 与平面应变 力学条件相同 条件对比 边界条件的区别 平面应变143端面=0 平面应力(3=023=033)端面=0
平面应力 与平面应变 条件对比: